14. Методика изучения линейных и квадратичных функций.

Линейная функция

Цель: Познакомить учащихся с основными функциональными понятиями и с графиком функции.

Данная тема является начальным этапом в обеспечении систематической функциональной подготовки учащихся. Здесь вводятся понятия, как функция, аргумент, область определения, график. Функция трактуется как зависимость одной переменной от другой. В данной теме начинается работа по формированию у учащихся умения находить по формуле значение функции по известному значению аргумента, выполнять то же задание по графику и решать по графику обратную задачу. Учащиеся должны понимать, как влияет знак коэффициента к на расположение в координатной плоскости графика функции у=кх, как зависит от значений к и в взаимное расположение графиков двух функций вида у=кх+в. Построение графика линейной функции и чтение графика – важнейшие умения, необходимые для дальнейшего обучения. Прямая пропорциональность в разных учебниках рассматривается по разному: 1) как частный вид линейной функции (Ю.Н.Макарычев); 2) график линейной функции получается из графика у=кх в результате параллельного переноса вдоль оси ординат (К.С.Муравин, Г.В.Дорофеев)

Учебник Г.В. Дорофеева 8 класса. Тема «Линейная функция» дается отдельной главой (14), рассматривают параграфы:

1. Чтение графиков (2ч)

2. Что такое функции (2ч)

3. Графики функции (2ч)

4. Свойства функции (2ч)

5. Линейная функция (3ч)

Учебник Макарычева 7 класс. Глава «Функции». Разделен по параграфам:

п.1 Функции и графики

1. что такое функция

2. график функции

п. 2 Линейная функция

1. прямая пропорциональность

2. линейная функция и ее график

Квадратичная функция

Цель: выработать умение строить график функции у=ах² и описывать свойства и особенности функции

Нет методики введения квадратичной функции

Учебник Ш.А. Алимова 8 класса. «Квадратичная функция» дается отдельной главой. Разделили по параграфам:

п. 1 Определение квадратичной функции (2ч)

п. 2 Функция у=х² (2ч)

п. 3 Функция у=ах² (2ч)

п. 4 Функция у=ах²+bx+c (3ч)

п. 5 Построение графика квадратичной функции (3ч)

Контрольная работа

Учебник Н. Макарычева 9 класса. Тему «Квадратичная функция и ее график» , разделили по пунктам:

1. Функция у=ах², ее график и свойства (2ч)

2. Графики функции у=ах²+n и y=a(x-m)² (2ч)

3. Построение графика квадратичной функции (3ч)

Контрольная работа

Учебник Г.В. Дорофеева 9 класс. Тему « Квадратичная функция» разделили по параграфам:

1. Какую функцию называют квадратичной (4ч)

2. График и свойства функции у=ах² (2ч)

3. Сдвиг графика функции у=ах² вдоль осей координат (5ч)

4. График функции у=ах²+bx+c (4ч)

5. Квадратные неравенства (4ч)

15 . Методика изучения квадратных уравнений и неравенств

в школьном курсе алгебры.

Изучение квадратных уравнений. Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным, и применять их к решению задач. Для этой темы характерна большая глубина

изложения и богатства, устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств.

К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий и умений.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратных уравнений одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней квадратного уравнения и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению x²-a=0 или к уравнению x²=a. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ax²+bx+c=0, сводящееся уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, приводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате следования формулируется вывод: «если дискриминант кв. уравнения ax^2+bx+c=0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; D=0, то имеется один корень, равный –b/2a; если D>0 то уравнение имеет два корня –b±√D/2a». Учитывая этот вывод, решение конкретных кв. уравнений приводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем и если он не отрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

При изучении темы рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения.

Изучение квадратных неравенств. Основная цель – выработать умения решать квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции и метода интервалов. Изучение квадратных неравенств следует за изучением квадратного уравнения и квадратного трехчлена. К моменту его изучения учащиеся умеют строить графики квадратной функции, при чем на них отличаются нули функции, если они существуют. Поэтому переход к рассмотрению квадратных неравенств можно осуществить как переход от неравенства ax^2+bx+c>0 к построению и изучению графика функции y=ax^2+bx+с. Поскольку возможны различные случаи графика относительно оси абцисс, лучше начать с рассмотрения конкретного задания, для которого соответствующий трехчлен имеет различные корни. На этом примере устанавливается соответствие между двумя задачами: «Решить неравенство

ax^2+bx+c>0»; «Найти значения аргумента, для которых значения функции y=ax^2+bx+c положительны». Посредством этой связи производится переход к построению графика функции. Нули этой функции разбивают ось абцисс на три промежутка, в каждом из которых она сохраняет знак, поэтому ответ считывается прямо с чертежа. Другие случаи решения квадратных неравенств требуют дополнительного рассмотрения, но опираются на то же соответствие. В процессе дальнейшего изучения устанавливается, что нет нужды в точно вычерченном графике квадратного неравенства, достаточно наметить только положение корней, если они есть, и учесть на эскизе нужные особенности графика (направление ветвей параболы). В школьном курсе математики ограничиваются изучением только неравенств основных классов; задания, которые требуют сведения к основным классам встречаются сравнительно редко. Например, не изучаются биквадратные неравенства.

В учебнике А.Г.Мордковича квадратные уравнения и неравенства даются в 8-м классе. Даются основные понятия, обзор способов решения: метод разложения на множители, метод выделения полного квадрата, графические методы. Формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета, разложение на линейные множители, рациональные уравнения, задачи на составление уравнений. При рассмотрении неравенств дается определение квадратных неравенств, алгоритм решения квадратных неравенств с помощью графика; 2 теоремы о знаке квадратного трехчлена в зависимости от дискриминанта и коэффициента при x^2; метод интервалов.

А в учебнике Алимова в главе «Квадратные уравнения» дается в отличии от учебника А.Г.Мордковича дается уравнение окружности. Метод выделения полного квадрата специально не изучается. По квадратным неравенствам дается целая глава, в котором изучаются «Квадратные неравенства и его решение»; «решение квадратных неравенств с помощью графика»; «Метод интервалов».

По учебнику Макарычева Ю.Н. «Алгебра 8» по теме «Квадратные уравнения» дается целая глава «Квадратные уравнения»: «Квадратные уравнения и его корни»; «Формула корней квадратного уравнения»; «Дробно-рациональные неравенства». В каждом параграфе по 2-3 подпункта. В конце главе дается дополнительные упражнения к главе 3. По неравенствам дается глава 4. По учебнику Мордковичива А.Г. «Алгебра 9» по неравенствам дается глава 1 «Рациональные неравенства и их системы»: «Линейные неравенства и квадратные неравенства»; «Рациональные неравенства»; «Системы неравенств». В чем отличие от приведенных выше?

А по учебнику Виленкина Н.Я. «Алгебра 8» по квадратным уравнениям и неравенствам даются главы 6 и 7. В главе 6 «Квадратные уравнения. Системы нелинейных уравнений, квадратные уравнения проходят в §1 «Решение квадратных уравнений». Там дается 5 подпунктов. Во втором параграфе проходят уравнения и системы уравнений, сводящиеся к квадратным уравнениям. В конце главы даются дополнительные упражнения к главе 6. а в главе 7 «Решение неравенств, квадратные неравенства» проходят в §2 «Квадратные неравенства». В чем отличие от приведенных выше?

По учебнику Никольского С.М. «Алгебра 8» тему «Квадратные уравнения» проходят в главе 2 «Квадратные и рациональные уравнения» в параграфе 4. В параграфе 7 подпунктов.

А в учебнике Никольского С.М. «Алгебра 9» по неравенствам дается глава 1, в котором квадратные неравенства проходят в §2 «Неравенства 2-ой степени с одним неизвестным». Параграф содержит 5 подпунктов. В конце главы дополнения, который содержит 4 пункта. В чем отличие от приведенных выше?