Наближення функцій

Для практичного застосування важливі такі задачі. Перша задача полягає в заміні деякої функції, яка задана аналітично або таблично, іншою функцією, яка близька до вихідної, але є більш простою і зручною для обчислень. Наприклад, заміна функції багаточленом дозволяє отримати прості формули чисельного інтегрування і диференціювання, заміна таблиці наближаючою функцією дозволяють отримати значення в її проміжних точках. Друга задача – відновлення функції на деякому відрізку по заданим на цьому відрізку значенням функції у дискретній множині точок.

Схема розв’язку задачі наближення функції:

• визначаємо, який клас функції для наближення необхідно вибрати. Відповідь на це питання залежить від функції, наближення якої відшукується, і мети, для якої в подальшому буде використовуватись наближення функції. Широко застосовуються такі класи функцій: багаточлени, тригонометричні функції, показникові функції тощо;

• вибираємо критерій наближення вихідної функції. У якості критерію, можна вибрати, наприклад, збігання вихідної функції і наближення у вузлових точках (лагранжова інтерполяція) або мінімум суми квадратів відхилення у вузлових точках (метод найменших квадратів). Вибір критерію наближення визначається метою побудови наближаючої функції і може суттєво впливати на результати;

• вказуємо правило, яке із заданою степеню точності дозволяє отримати значення функції у проміжних точках (не вузлових), у тому числі даємо відповідь на питання, які вузли використовувати для побудови наближаючої функції та як їх розташовувати.

Існують два типи наближення функцій: інтерполяція і апроксимація.

Інтерполяція

Нехай на відрізку задана дискретна множина точок, які називаються вузлами, і в яких відомі значення функцій. Спосіб наближення функцій, коли наближаючи функціязбігається з вихідною функцією увузлі:

(1) називаєтьсяінтерполяцією, тобто при . Якщо, то маємо випадокінтерполяції. У такій постановці задача має нескінченну кількість розв’язків.

Найбільш поширений спосіб лінійної інтерполяції, якщо наближаючи функція шукається у вигляді лінійної комбінації деяких базисних функцій :

(2)

Система функцій повинна бути лінійна незалежною, крім того

Підставляючи (2) в (1), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів :.

У якості базисних функцій дуже часто вибирають степеневі функції , тобто функції, які наближають вихідну, записують у вигляді багаточлена степеня:

(3)

Підставивши (3) в (1) замість , отримаємо:

(4)

При цьому для розв’язку (4) відносно коефіцієнтів необхідно, щоб визначник системи (4) – визначник Вандермонда – був відмінний від нуля:

, або, таким чином існує єдиний інтерполяційний багаточлен.

Теорема 1. Єдність розв’язку задачі інтерполяції. Задача (2) про знаходження інтерполяційного багаточлена, який задовольняє (1) на має єдиний розв’язок.

Інтерполяційна формула Лагранжа

Шукаємо інтерполяційний багаточлен у вигляді , де- багаточлени степеняп, які задовольняють умовам:

Звідси інтерполяційна формула Лагранжа:

(5)

Теорема. Інтерполяційна формула Лагранжа єдина.

При маємо пряму, яка проходить через 2 точки:.

При маємо параболу, яка проходить через 3 точки:.

Переваги формули Лагранжа (5):

• число арифметичних операцій, які необхідні для побудови багаточлена Лагранжа, пропорційно і є найменшим для усіх форм запису;

• формула (5) у явному вигляді містить значення функцій у вузлах інтерполяції, що буває зручно при деяких обчисленнях (наприклад, при побудові формул чисельного інтегрування);

• формулу (5) можна застосовувати як для рівновіддалених, так і для нерівновіддалених вузлів;

• інтерполяційний багаточлен Лагранжа зручний, коли значення функцій змінюються, а вузли інтерполяції незмінні, що має при багатьох експериментальних дослідженнях.

Недоліки формули Лагранжа (5): при зміні числа вузлів треба всі обчислення виконувати знову. Це ускладнює проведення апостеріорних оцінок точності (оцінок, які отримуються в процесі обчислень).

Існують формули, які спрощують обчислення лагранжевих коефіцієнтів. Для сталого кроку по х існують таблиці лагранжевих коефіцієнтів.

Приклад 1. Для заданої таблиці значень функції обчислити використовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа.

х	321,0	322,8	234,2	235,0
у	2,50651	2,50893	2,51081	2,51188

Приклад 2. Для функції побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа, вибравши вузли інтерполяції. Знайти:.

;

.

Табличне значення функції , тобто похибка.

Приклад 3. Побудувати багаточлен Лагранжа і обчислити значення функції в точці , яка задана таблицею:

	2	3	4	5
	7	5	8	7

; .