Методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. Задача Коші

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння (ЗДР) п-го порядку на відрізку :

(1)

де - незалежна змінна.

Відомо, що (1) має множину розв’язків, яка залежить від п параметрів (констант) , і може бути записана у вигляді.

Для знаходження значення цих параметрів, тобто для відокремлення єдиного потрібного розв’язку, необхідно накласти п додаткових умов на функцію : прифункціята її похідні набувають початкових значень:

де(2)

Теорема 1. Про існування і єдність розв’язку задачі Коші (1), (2).

Нехай функція є визначеною і неперервною по всім своїм аргументам у замкненій областіі виконується умова Ліпшиця за функцією та її похідним:

,

де - стала Ліпшиця, і точка, тобто лежить всередині області, то розв’язок задачі Коші (1), (2) існує, і він єдиний.

Для системи ЗДР першого порядку в нормальній формі Коші:

(3)

Задача Коші полягає у знаходженні розв’язку системи (3), який задовольняє початковим умовам

(4)

Теорема 2. При існування і єдиність розв’язку задачі Коші (3), (4).

Нехай функції визначені і неперервні в деякій замкненій областіі виконуються умови Ліпшиця для функційпо аргументам:

і точка , тобто лежить всередині області, то розв’язок задачі Коші (3), (4) існує і він єдиний.

Зазначимо, що ЗДР п-го порядку (1) шляхом заміни завжди можна звести до системип диференціальних рівнянь першого порядку (3).

Геометричний зміст розв’язування задачі Коші полягає у знаходженні інтегральної кривої , що проходить через задану точкузагалом у багатовимірному просторі, вважаючиу – п-компонентним вектором для (1) і (2).

Головним питанням випадку застосування будь-якого чисельного методу є оцінка точності його чисельного розв’язку.

Стійкість (коректність) задачі Коші

так як більшість чисельних методів розв’язування задачі Коші для ЗДР першого порядку:

(5)

майже без змін переносяться на системи ЗДР або ЗДР п-го порядку, то, з метою спрощення перетворень розглянемо лише задачу (5).

1. Задача (5) стійка щодо початкових умов, якщо для функції , девідповідно розв’язки задач:

і

справедлива оцінка , де- деяка норма у просторі функцій, заданих на проміжку, а- стала, яка не від.

2. Задача (5) стійка щодо правої частини, якщо для функції деівідповідно розв’язки задач:

і

має місце оцінка де;- константа, яка не залежить від.

3. Задача (5) стійка, якщо для функції , деівідповідно розв’язки задач:

і

має місце оцінка: (6), деінезалежні відсталі.

Теорема 3. Якщо функція неперервність в областіі задовольняє умові Ліпшиця по

і при, то задача (5) є коректно поставленою, причому мають місце нерівності стійкості (6).

Контрольна робота

з дисципліни "Обчислювальна математика"

для студентів заочного відділення КІ Сум ДУ

1. Розв‘язати рівняння методами діхотомії, хорд, Ньютона і ітерацій для

x є , зробивши 10 (5) наближень (тут і даліn – номер варіанта):

x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x - 16=0

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	207	198	189	178	172	164	156	148	140	132
b	208	199	190	179	173	165	157	149	141	133
N	42875	39304	35937	31768	29791	27000	24389	21952	19683	17576

n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a	117	110	103	96	89	82	76	70	58	52
b	118	111	104	97	90	83	77	71	59	53
N	13824	12167	10648	9261	8000	6859	5832	4913	3375	2744

n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
a	46	41	36	31	22	18	14	11	5	2
b	47	42	37	32	23	19	15	12	6	3
N	2197	1728	1331	1000	512	343	216	125	27	8

2. Розв‘язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методами ітерації, Зейделя, релаксації, зробивши 10 (5) наближень:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + a₁₄x₄ = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + a₂₄x₄ = b₂,

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + a₃₄x₄ = b₃,

a₄₁x₁ + a₄₂x₂ + a₄₃x₃ + a₄₄x₄ = b_4;

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
a11	20	5	10	60	-5	8	4	-4	-8	2	20	-15	-10	40	15
a12	7	0,2	-2	-21	0,1	-0,5	-0,1	0,2	0,2	-0,1	-3	3	2	-6	-3
a13	-5	-1	-3	-9	0,2	-0,4	-0,2	0,3	0,3	-0,2	-8	6	1,5	-2	-3
a14	4	0,4	1	-18	0,3	-1	-0,3	0,4	0,5	0,3	-2	-3	2,5	4	-6
a21	-2	2	2,5	3	3	2	1	1	0,5	0,3	-5	9	0,4	-12	2
a22	20	-20	-10	-15	20	10	-10	8	10	4	20	-30	5	30	-10
a23	-3	2	2	-3	8	-2,5	2	0,5	0,4	0,2	2	6	-2	-3	-2
a24	-8	5	1,5	6	-5	-2	1	0,5	0,2	-0,5	8	3	0,2	-6	-2
a31	8	-3	0,2	0,1	-1	-0,2	0,2	-2	3	1	3	4	-3	4	-5
a32	-5	-2	0,4	-0,2	-2	-0,3	-0,3	-2	2	2	5	8	-4	-8	-5
a33	20	10	5	2	10	5	-4	20	-20	10	20	-20	-10	20	50
a34	2	0,4	-2	-0,3	-3	-0,5	-0,4	3	4	2	-4	3	2	-2	-4
a41	-4	6	2	2	-0,5	0,2	1	0,5	-2	0,1	7	5	-2	-3	6
a42	3	-9	-3	-1	-1,5	0,2	-0,5	0,5	-3	-1	-5	4	-3	-6	3
a43	5	1	-4	-4	0,5	0,4	-0,5	2,5	-4	-0,5	4	-8	1	-12	-3
a44	20	20	-10	10	-10	-5	10	8	20	5	20	20	-10	30	15
b1	29,5	5,46	7,3	7,5	-6,46	9,33	5,64	-5,38	-13,07	4,04	5,2	-10,2	-3,95	50,6	1,8
b2	6,7	-13,3	-5,35	-12,9	41,1	11,9	-10,5	19,05	22,23	8,29	32,3	-15,3	4,84	13,2	-20
b3	31,6	8,4	5,12	2,53	6,9	7,22	-8,6	38,9	-23,5	32,8	29,7	-8,3	-21,3	22,2	62,3
b4	33,7	26,9	-23,6	11,9	-20,3	-8,1	19,85	23,65	25,8	8,5	34,9	30	-21,3	18,6	35,7

n	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
a11	20	10	5	6	5	40	25	40	6	-50	80	40	-40	20	40
a12	-5	2	1	-0,3	-0,5	10	1	-8	-2,1	1	-5	-1	2	-3	4
a13	-5	-3	-0,5	0,6	-0,5	-10	-5	-12	-0,9	2	-4	-2	3	-4	1
a14	2	-4	-2	-0,3	-1	8	2	4	-1,8	3	-1	-3	4	-3	-2
a21	-2	-4	5	-2	0,5	-4	2	5	6	6	4	2	2	3	4
a22	-20	-20	-16	16	-4	40	-20	-20	-30	40	20	-20	16	20	-40
a23	5	2	2	-4	0,2	-6	2	4	-6	16	-5	4	1	-5	-3
a24	5	-2	4	-4	0,2	-10	4	3	12	-10	-4	2	1	-1	2
a31	6	2	-2	4	2	16	-6	2	2	-10	-2	2	-4	2	4
a32	6	-8	-5	8	-4	-8	-4	4	-4	-20	-3	-3	-4	-2	5
a33	30	-16	10	-20	10	40	20	50	40	100	50	-40	40	20	40
a34	-15	2	1	-2	-2	4	0,8	-2	-6	-30	-5	-4	6	1	-5
a41	4	3	-8	-8	-1	-8	12	5	4	-1	2	2	1	3	2
a42	-4	6	-4	-8	-2	6	-18	-7,5	-2	-3	2	-1	1	4	2
a43	-8	9	-2	4	2	8	2	-10	-8	1	4	-1	5	-7	-40
a44	20	-30	40	20	10	40	40	-25	20	-20	-50	20	16	40	-4
b1	18,3	6,9	5,7	11,4	5,55	54,2	27,3	29,2	0,75	-64,6	93,3	56,4	-53,8	17	74
b2	-18,7	-43	-9	11	-6,5	21,8	-14,8	-10,7	-25,8	82,2	23,8	-21	38,1	33	-78
b3	45,3	-37,4	9	-22,8	13	65,6	16,8	80	50,6	69	72,2	-86	77,8	44	95
b4	23,2	-27	58	21,2	21,2	64,8	53,8	-59	23,8	-40,6	-81	39,7	47,3	87	-89

3. Обчислити інтеграл за формулою Сімпсона з точністю до 0,001

, де а = 0,05*(n+1).

4. Методом Рунге-Кутта з кроком 0,05 знайти розв'язок диференціального рівняння при заданих початкових умовах:

, у(0) = 0 для у(3)

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	1,0	1,4	1,8	2,2	2,6	3,0	1,0	1,4	1,8	2,2
b	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,8	1,8	1,8	1,8

№ вар.	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
a	2,6	3,0	1,0	1,4	1,8	2,2	2,6	3,0	1,0	1,4
b	1,8	1,8	2,6	2,6	2,6	2,6	2,6	2,6	3,4	3,4

№ вар.	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
a	1,8	2,2	2,6	3,0	1,0	1,4	1,8	2,2	2,6	3,0
b	3,4	3,4	3,4	3,4	4,2	4,2	4,2	4,2	4,2	4,2