- •Міністерство освіти і науки України
- •Сумський державний університет
- •Конотопський інститут
- •Методичні вказівки
- •Урахування похибок Основні джерела похибок
- •Основні поняття
- •Правила обчислення похибок
- •Методи розв'язування нелінійних рівнянь
- •Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)
- •Метод січних (хорд, пропорційних частин)
- •Метод Ньютона (дотичних)
- •Метод хорд і дотичних (комбінований метод)
- •Метод простих ітерацій
- •Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь
- •Метод простих ітерацій
- •Метод Зейделя
- •Метод Ньютона
- •Модифікований метод Ньютона
- •Розв’язування систем лінійних рівнянь (слар)
- •Метод ітерації
- •Зведення лінійної системи алгебраїчних рівнянь до вигляду, який є зручним для ітерації
- •Метод Зейделя
- •Метод релаксації
- •Наближення функцій
- •Інтерполяція
- •Інтерполяційна формула Лагранжа
- •Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа
- •Збіжність функціонального інтерполяційного процесу для неперервних функцій
- •Методика розв’язування задач лінійної інтерполяції
- •Методика розв’язування задачі параболічної інтерполяції
- •Поліноми Чебишова
- •Інші методи інтерполяції. Інтерполяційний багаточлен Ньютона
- •Методи інтегрально-диференціальної інтерполяції
- •Методи інтегрального згладжування
- •Метод найменших квадратів (мнк)
- •Особливості мнк
- •Метод найкращого інтегрального наближення
- •Методи інтерполяції та згладжування на основі сплайнів
- •Інтерполяційні диференціальні кубічні сплайни
- •Метод прогонки
- •Чисельне диференціювання
- •Формули чисельного диференціювання на основі формули Стірлінга
- •Похибки при чисельному диференціюванні
- •Чисельні методи інтегрування функцій
- •Формули Ньютона-Котеса
- •Метод прямокутників
- •Метод трапецій
- •Метод Сімпсона (парабол)
- •Квадратична формула Гауса
- •Порівняння похибок квадратурних формул
- •Методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. Задача Коші
- •Стійкість (коректність) задачі Коші
- •Контрольна робота
Метод найменших квадратів (мнк)
Нехай у вузлах задані значення функції, де. Треба знайти коефіцієнти, узагальненого багаточлена
(1)
де - система базисних функцій, які забезпечують мінімум:
Необхідна умова безумовного екстремуму: де.
У результаті можна отримати:
(2)
Система (2) – нормальна система МНК. Для лінійної апроксимації маємо: . Система (2) набуває вигляду:
Звідси: ,
де - середні значеннях і у.
Для квадратичної апроксимації отримаємо:.
Приклад 1. Визначити рівняння прямої за МНК, яка проходить найближче до таких точок:
-
х
1
1,5
2
2,5
3
3,5
у
0,29
0,81
1,26
1,85
2,5
3,01
Приклад 2.
х |
2,8 |
2,2 |
3 |
3,5 |
3,2 |
3,7 |
4 |
4,8 |
6 |
5,4 |
5,2 |
5,4 |
6 |
9 |
у |
6,7 |
6,9 |
7,2 |
7,3 |
8 |
8,8 |
9,1 |
9,8 |
10,6 |
10,7 |
11,1 |
11,8 |
12,1 |
12,4 |
Приклад 3.
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
у |
5,7 |
6,7 |
5,2 |
3,2 |
3,7 |
Приклад 4.
х |
2 |
3 |
4 |
5 |
у |
7 |
5 |
8 |
7 |
Особливості мнк
Метод інтерполяції – точковий метод, тому що потребує виконання точкових умов інтерполяції. МНК є інтерполяційним методом і не потребує точного виконання функціональних умов, вимагає відповідності ів середньому (за інтегралом або за інтегральною сумою).
Вихідна функція задана неточно, а з деякою похибкою, суттєво більшою, ніж у методі інтерполяції. Ця похибка зумовлена результатами фізичного досліду.
Кількість точок , у яких задана вихідна функція, як правило, значно більше степенят багаточлена . Тому міжп і т немає відповідності, як це має місце в методі інтерполяції.
Зауваження.
Якщо функції, яка задана в точці, визначати багаточлен степеняМНК, тозбігається з інтерполяційним багаточленом і метод стає еквівалентним методу інтерполяції з нульовою дисперсією.
У кожному конкретному випадку може існувати "оптимальна" степінь т, яка залежить від конкретної поведінки функції, числа п і вигляду базисних функцій . Нехай похибка задання вихідної функції характеризується тільки одним значенням(усі похибки однакові).
Задаючи деяке т, визначають коефіцієнти , та середнє квадратичне відхиленняі порівнюють його з.
Можливі три випадки:
якщо , то апроксимація дуже груба, степіньт недостатня, треба її збільшити;
якщо , то апроксимація фізично недостовірна, степіньт треба зменшити;
якщо , то степінь багаточленат є оптимальною.
Система (2) при стає погано зумовленою і визначити поліномпрактично неможливо. Необхідно замість степеневих базисних функцій треба використовувати, наприклад, поліноми Чебишова або інші базисні функції.
МНК реалізує найкраще в середньому наближення у всій області визначення функції і в деяких випадках не враховує локальних властивостей функції, наприклад, окремі піки функції.
Реалізація МНК з використанням степеневих функцій пов’язана з розв’язуванням СЛАР відповідно до коефіцієнтів , причому при зміні степенят усі коефіцієнти необхідно розраховувати знову. Цей недолік усувається вибором ортогональних базисних функцій .