- •Міністерство освіти і науки України
- •Сумський державний університет
- •Конотопський інститут
- •Методичні вказівки
- •Урахування похибок Основні джерела похибок
- •Основні поняття
- •Правила обчислення похибок
- •Методи розв'язування нелінійних рівнянь
- •Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)
- •Метод січних (хорд, пропорційних частин)
- •Метод Ньютона (дотичних)
- •Метод хорд і дотичних (комбінований метод)
- •Метод простих ітерацій
- •Методи розв'язування систем нелінійних рівнянь
- •Метод простих ітерацій
- •Метод Зейделя
- •Метод Ньютона
- •Модифікований метод Ньютона
- •Розв’язування систем лінійних рівнянь (слар)
- •Метод ітерації
- •Зведення лінійної системи алгебраїчних рівнянь до вигляду, який є зручним для ітерації
- •Метод Зейделя
- •Метод релаксації
- •Наближення функцій
- •Інтерполяція
- •Інтерполяційна формула Лагранжа
- •Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа
- •Збіжність функціонального інтерполяційного процесу для неперервних функцій
- •Методика розв’язування задач лінійної інтерполяції
- •Методика розв’язування задачі параболічної інтерполяції
- •Поліноми Чебишова
- •Інші методи інтерполяції. Інтерполяційний багаточлен Ньютона
- •Методи інтегрально-диференціальної інтерполяції
- •Методи інтегрального згладжування
- •Метод найменших квадратів (мнк)
- •Особливості мнк
- •Метод найкращого інтегрального наближення
- •Методи інтерполяції та згладжування на основі сплайнів
- •Інтерполяційні диференціальні кубічні сплайни
- •Метод прогонки
- •Чисельне диференціювання
- •Формули чисельного диференціювання на основі формули Стірлінга
- •Похибки при чисельному диференціюванні
- •Чисельні методи інтегрування функцій
- •Формули Ньютона-Котеса
- •Метод прямокутників
- •Метод трапецій
- •Метод Сімпсона (парабол)
- •Квадратична формула Гауса
- •Порівняння похибок квадратурних формул
- •Методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. Задача Коші
- •Стійкість (коректність) задачі Коші
- •Контрольна робота
Методи розв'язування нелінійних рівнянь
Якщо алгебраїчне та трансцендентне рівняння досить складні, то корені рідко вдається знайти точно. Окрім того, в деяких випадках коефіцієнти відомі лише приблизно, і тому задача про точне визначення коефіцієнтів рівняння не має сенсу. Тому важливе значення мають способи приблизного знаходження коренів рівняння та оцінка степені їх точності.
Нехай задано неперервну функцію в деякому обмеженому або необмеженому інтервалі. Необхідно знайти всі або деякі корені рівняння
(1)
Корінь рівняння (1) – всяке значення , яке обертаєв нуль (тотожність (1)), тобто, або нуль функції.
Вважаємо, що (1) має тільки ізольовані корені. Ця задача передбачає два етапи розв'язування:
а) відокремлення коренів, тобто виокремлення достатньо малої області, що належить до області допустимих значень функції , у якій є один і тільки один корінь;
б) уточнення наближеного значення кореня до наперед заданої точності.
Для відокремлення дійсних коренів корисно знати кількість коренів, а також нижню і верхню межі їх розташування. Для цього використовується ряд теорем.
Теорема Больцано-Коші. Якщо неперервна функція на кінцях відрізка має різні за знаком значення, тобто, то на цьому відрізку рівняння (1) має хоча б один корінь. Якщо, крім цього, існує і зберігає знак, тобто або>0, то корінь єдиний.
Алгебраїчний багаточлен
(2)
степеня має рівнокоренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожний корінь підраховується таку кількість разів, якій дорівнює його кратність.
Якщо - корінь алгебраїчного багаточлена з дійсними коефіцієнтами, тотакож є коренем тієї ж кратності.
Наслідок. Алгебраїчний багаточлен з дійсними коефіцієнтами непарного степеня має хоча б один дійсний корінь.
Нехай і, де- коефіцієнти (2),. Тоді модулі всіх коренів рівняння (2) задовольняють нерівності:
.
На практиці застосовують такі методи відокремлення коренів: засобами комп’ютерної графіки, дослідження функцій і побудова графіка функції, застосування методу половинного поділу. Процес відокремлення коренів починається з установлення знаків в граничних точкахіобласті її існування. Потім за допомогою процесу половинного поділу визначають знаки функціїв точках поділу.
За допомогою методу підбирання можна, застосовуючи комп'ютер, протабулювати функцію з певним кроком і визначити проміжки, на яких вона змінює знак.
Приклад 1. Відокремити корені рівняння .
Розв’язування. Тут . Відповідно теоремі 2 рівняння має не більше трьох дійсних коренів. Методом підбирання визначимо, що
-
-3
-2
-1
0
1
2
3
+
-
-
+
+
+
-
-
+
+
Отже, рівняння має три корені. Інтервали коренів: (-3;-2); (0;1); (2;3) .
Використовують також графічний спосіб відокремлювання коренів: будують графік функції і наближено визначають області, де графік перетинає вісь абсцис. Інколи зручно рівняння (2.1) записати у вигляді . Значеннями коренів у цьому випадку будуть абсциси точок перетину графіків функційі.
Приклад 2. Відокремити корені рівняння
Розв’язування. Перетворимо його до вигляду і побудуємо графіки функційі . З рис. 2.1 випливає, що рівняння має два корені, і вони належать, відповідно, проміжкам: .
Рис. 1. Графічне відокремлення коренів.
Приклад 3. Відокремити корені рівняння .
Розв'язування. Тут , томупри. Звідси;. Отже, рівняння має тільки два дійсні корені, один з яких є в інтервалі, а інший ― в інтервалі. Уточнюємо інтервали знаходження коренів: (-1;0) і (1;2).
Приклад 4. Відокремити корені рівняння . Тут,. На основі теореми 4 корені знаходяться в інтервалі<< 2. Уточнюємо інтервал коренів:
-2 |
-1 |
1 |
2 | |||
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
Для грубої оцінки похибки використовується теорема:
Теорема 5. Нехай - точний, а- приблизний корені рівняння, які знаходяться на одному й тому ж відрізку, причому>0. Тоді виконується оцінка:, де в якостіможна брати.
Приклад 5. Оцінити абсолютну похибку, якщо , а.
<
Взагалі універсальних методів відокремлення коренів не існує.