Оцінка похибки інтерполяційної формули Лагранжа

Залишковий член (похибка) інтерполяційної формули Лагранжа .

Для визначення степеня наближеності накладаємо на функцію додаткові обмеження.

Нехай в області заміни , яка містить усі вузли інтерполяції, функціямає всі похіднідо-го порядку включно. Тоді оцінка абсолютної похибки інтерполяційної формули Лагранжа:

.

Приклад 4. З якою точністю можна обчислити за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа для функції, якщо вибрати вузли інтерполяції.

Відповідно до умови задачі . Послідовно знаходимо:.

Тоді .

.

Приклад 5. З якою точністю можна обчислити за допомогою інтерполяційних формул Лагранжа І і ІІ степенів для вузлів.

Знаходимо оцінку похибки в точці для. Тоді- відрізок інтерполяції.

. .

Знаходимо оцінку похибки в точці для.

. .

Похибка для перевищує похибку для.

Збіжність функціонального інтерполяційного процесу для неперервних функцій

Вибір вузлів інтерполяції і відповідного степеня інтерполяційного багаточлена при інтерполяції сіткових функцій є важливою задачею, розв’язати яку можна, якщо розглянути проблему збіжності інтерполяційних процесів для неперервних функцій .

Нехай виконується інтерполяція на послідовності сіток тощо при використанні-го розбиття відрізка, тобто.

Якщо при даному розбиванні при зростанні знаходяться значенняу деякій проміжній точціх, то реалізується інтерполяційний процес, який характеризується послідовністю значень багаточленів: .

Інтерполяційний процес для функції збіжний у точці, якщо існує- точкова збіжність.

Рівномірна збіжність для відрізка в деякій нормі, наприклад:

.

Характер збіжності (розбіжності) інтерполяційного процесу залежить як від гладкості і поведінки функції , так і від вибору послідовності сіток. Доведено, що якщонеперервна на, то знайдеться така послідовність, для якої інтерполяційний процес збігається рівномірно на відрізку(теорема Марцинкевича). Але для дискретних функцій ця теорема не виконується.

Побудовані розбіжні інтерполяційні процеси і для аналітичних функцій, наприклад або.

Крім того, застосування багаточленів високих степенів веде до "провалів" між вузлами інтерполяції, які часто називають осциляціями.

Указані властивості інтерполяційних процесів обмежують доцільність застосування інтерполяційних багаточленів високих степенів, тому на практиці для сіткових функцій степінь п беруть не вище , тобтоі відрізок інтерполяції узгоджують з вибраним степенем багаточлена.

Методика розв’язування задач лінійної інтерполяції

1. За розташуванням заданої точки х на вісі вибрати інтервал інтерполяції, який належить до множини.

2. Для відрізка обчислюємо значення коефіцієнтів Лагранжа, які входять у формулу для багаточлена, причому їх сума дорівнює 1.

3. Обчислюємо шукане значення функції , де,.

Геометрична інтерпретація. Від точного значення відрізняється на величину

Методика розв’язування задачі параболічної інтерполяції

1. Із сукупності спарених відрізків , які утворюють сіткупо величиніх вибираємо два перетинаючи інтервали і(вважаємо, що.

2. Для інтервалів обчислюємо значення коефіцієнтів Лагранжа, причому.

3. По коефіцієнтам Лагранжа знаходимо значення .

4. Якщо висока точність інтерполяції не потрібна, то в якості можна вибрати одну з функційабо, якщо ні – то. Тоді апроксимація 4 порядку, де.

Геометрична інтерпретація:

т. відповідає;

т. відповідає;

т. відповідає.

Зауваження:

1. Оцінки точності лінійної та параболічної інтерполяцій виконуються і для нерівномірно розподілених інтервалів.

2. Якщо гладкість функції знижена, то порядок параболічної інтерполяції також знижується на 1, тобто.

3. Підвищення класу гладкості функції вищене приведе до підвищення порядку параболічної інтерполяції.

Приклад 6. Знайти значення за допомогою лінійної та параболічної інтерполяцій функції, яка задана таблицею:

	0	1	2	3	4
	-1	0	1	3	4
	-1	0	1	27	64

.

І. Лінійна інтерполяція

1. Інтервал інтерполяції .

2. Коефіцієнти Лагранжа: .

3. Шукане значення: .

ІІ. Квадратична інтерполяція.

1. .

2. .

.

.