Формули чисельного диференціювання на основі формули Стірлінга

Центральні формули на основі інтерполяційного полінома Стірлінга:

(1)

тощо.

Приклад 1. Знайти ідля функції, яка задана таблицею:

0,96	0,7825361
		-0,0086029
0,98	0,7739332		-0,0001326
		-0,0087355		0,0000025
1,00	0,7651977		-0,0001301		0,000001
		-0,0088656		0,0000026
1,02	0,7563321		-0,0001275
		-0,0089931
1,04	0,7473390

Приклад 2. Знайти в точках 0 і 0,1, якщозадана таблицею:

0,00	0,00000
		0,10117
0,05	0,10017		0,00100
		0,10017		0,00101
0,10	0,20134		0,00201		0,00003
		0,10318		0,00104
0,15	0,30452		0,00305		0,00003
		0,10623		0,00107
0,20	0,41075		0,00412
		0,11035
0,25	0,52110

Похибки при чисельному диференціюванні

При чисельному диференціюванні таблично заданої функції виникають похибки двох типів:

• похибки наближення, які викликані заміною функції інтерполяційним багаточленом;

• похибки округлення, які викликані приблизним заданням вихідних даних .

Похибки наближення оцінюються величиною, де. Ця оцінка є малоефективною, тому що, як правило, відомо небагато про порядок величини похідної. На практиці чисельною оцінкою похідної. Усі формули оцінки похибки наближення містять крок розрахункуу додатному степені, тому при зменшенні крокупохибка наближення зменшується.

Похибки округлення навпаки є обернено пропорційними кроку розрахунку:

Для формули маємо:.

Для формули маємо, де- похибка округлення.

Похибка округлення зростає зі збільшенням порядку похідної.

Загальна похибка обчислення . Так як зі зменшенням кроку розрахункупохибка наближення зменшується, а похибка округлення зростає, то існує оптимальний крок розрахунку (свій для кожної формули чисельного диференціювання).