Чисельні методи інтегрування функцій

Якщо функція неперервна на відрізку(кусково-неперервна) і відома її первісна, то визначений інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

.

У багатьох випадках первісна невідома ніколи вона досить складна або підінтегральна функціязадана таблично.

Задача чисельного інтегрування функції – обчислення значення визначеного інтеграла на основі ряду значень підінтегральної функції .

Механічна квадратура – чисельне обчислення однократного інтеграла, а відповідні формули – квадратурні.

Механічна кубатура – чисельне обчислення подвійного інтеграла, а відповідні формули – кубатурні.

Класифікація формул чисельного інтегрування

Квадратична формула має алгебраїчний ступінь точності п, якщо залишковий член квадратурної формули дорівнює 0 на множині - всіх багаточленів не вищеп-го степеня.

Методи чисельного інтегрування базуються:

• на основі інтерполяційних багаточленів;

• на основі сплайнів;

• на основі розкладу первісних у ряд Тейлора.

Формули Ньютона-Котеса

Нехай для функції необхідно обчислити. Розіб’ємо відрізокна відрізки довжиною, тобто,. Нехай.

Заміняючи відповідним інтерполяційним поліномом Лагранжа:

.

Якщо ввести позначення:

, то , а після інтегрування, причому - коефіцієнти Котеса.

Метод прямокутників

Інтервал розділимо нап відрізків . На кожному відрізкуфункція замінюється сталою . Це означає, що площа криволінійної трапеції замінювана площею прямокутника з основою і висотою(рис. 6.2). Тоді

Рис. 6.2. Геометрична інтерпретація методу прямокутників

Якщо відрізки однакові, то введемо змінну, ,тоді

де – залишковий член або похибка квадратурної формули (6.2).

Похибку методу прямокутників можна отримати з формули Тейлора

Оскільки перший інтеграл дорівнює нулю, то

У результаті отримаємо похибку методу прямокутників:

– крок обчислень.

Формула прямокутників дає точні результати для многочленів першого степеня.

Формулу (6.2) називають також формулою середніх прямо­кутників. Якщо за висоту прямокутника взяти або, то можна отримати формули, відповідно, лівих і правих прямо­кутників.

З (6.3) випливає, що зменшення кроку удвічі приводить до збільшення точності в чотири рази, тобто . Звідси маємо практичний спосіб (правило Рунге) оцінки похибки. Обчислюючи (6.3) з кроком 2і потім з кроком , отримуємо звідки

Приклад. Обчислимо , з використанням формули прямокутників, розділивши інтервал інтегрування на 10 однакових частин.

Розв'язування. Позначимо

і = 0,1,...9. Тоді за формулою прямокутників

Точки поділу відрізка і значення функції в точках поділу наведені в таблиці 6.1.

Таблиця 6.1.

			метод прямокутників	метод трапецій
0	1			1
1	1,1	1,05	1,025
2	1,2	1,15	1,072	1,095
3	1,3	1,25	1,118
4	1,4	1,35	1,162	1,183
5	1,5	1,45	1,204
6	1,6	1,55	1,245	1,265
7	1,7	1,65	1,285
8	1,8	1,75	1,323	1,342
9	1,9	1,85	1,360
10	2,0	1,95	1,369	1,414

Підставимо всі значення в формулу прямокутників: . Оцінимо похибку. Оскільки ,то

Отже,

Обчислимо для порівняння цей інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

Отже, інтеграл , обчислений за формулою прямокутників, має всі цифри правильні.