Методи інтегрально-диференціальної інтерполяції

Нехай - наближення функції, де- коефіцієнти алгебраїчного багаточлена.

Дискретні умови узгодження записуються у вигляді нульових нев’язок шуканої функції та її похідних:

(1)

При - маємо звичайні точкові умови для функцій. Можливі два типи інтегральних умов:

(де) (2)

(3)

або (4)

Умова (2)виражає мінімум середньоквадратичної похибки, заданої сіткової функції за допомогою апроксимуючої функції.

Метод інтерполяції (функціональний метод) – метод, побудований на базі умови (1) при .

Метод, побудований на базі (1) при , називаєтьсядиференціальним.

Інтегрально-диференціальний метод – якщо разом з умовою (1) при застосовується інтегральна умова (3) або (4).

Метод, побудований на умові (1) при та інтегральної умови (3) або (4), називаєтьсяінтегрально-функціональним.

Методи наближення, які побудовані на базі тільки умов (2) або (3), (4), виконують згладжування вихідної функції і називаються методами згладжування (інтегрального згладжування).

Якщо умови (3), (4) виконуються окремо, то метод згладжування називається відновлюючим, а якщо разом з (1) при , то –інтерполяційно-згладжуючим.

Виділяють чотири способи застосування методів інтерполяції:

1. Глобальний спосіб – для області визначається одна функція.

2. Локальний спосіб – функція відновлюється тільки в околі деякої точки (на основі формули Тейлора).

3. Кусковий спосіб – у кожному частинному відрізку своя функція.

4. Кусково-глобальний спосіб, у якому область представляється сукупністю частинних областей (відрізків). У кожному з відрізківшукається функція, а потім усі функції об’єднуються в одну. Так будуютьсясплайни.

Методи інтегрального згладжування

Важливе значення має визначення вигляду функціональних залежностей, які спостерігаються у фізичному експерименті. Як правило, експеримен-тальні дані представляються у вигляді таблиць або сіткових функцій , де- похибка вимірювання.

Форма кривої при повторному експерименті не повторюється через похибкувимірювань. тому експериментатор на основі досвіду вважає, що отримана залежність є реалізацією гладкої емпіричної залежності, де - невідомий вектор параметрів, тобто . Для його визначення використовуються різні форми запису залежностіта різні умови узгодженняз вихідною функцією.

На практиці зручно використовувати узагальнені багаточлени: , де- задана система базисних функцій.

У якості базисних функцій вибирають степеневі функції, багаточлени (Чебишова, Лагранжа, функції Бессоля тощо), тригонометричні функції.

Залежно від умови узгодженості виділяють два основних метода згладжування: метод найменших квадратів (МНК) і метод інтегрального наближення на певному класі функцій .

МНК полягає в мінімізації дисперсії (середньоквадратичного відхилення):

(1)

а метод інтегрального наближення – на використанні інтегральних умов типу:

(2)

Умова (1) відноситься до всієї області визначення , а (2) – до інтервалу .

Якщо разом з умовою (1) застосовується умова (2), то метод називається інтегрально-диференціальним.

Ці методи можуть бути реалізовані глобальним способом, тобто для всього відрізка може бути отримана одна функція.

Кусково-глобальний спосіб застосовується при реалізації сплайн-метода.