2.10. Определенный интеграл и его приложения

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f (x) . Разобьем отрезок [a, b] на n элементарных отрезков точками х0, х1, …хn: a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b . На каждом отрезке [xi−1 , xi ] разбиения выберем некоторую точку ξi и положим ∆xi = xi − xi−1 , где i =1, 2, ..., n . Сумму вида

n

∑ f (ξi )∆xi

i=1

будем называть интегральной суммой для функции y = f (x) на [a, b].

Если предел интегральной суммы при стремлении max ∆xi к нулю существу-

i

ет, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2,… и точек ξ1, ξ2…, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a, b], то есть:

b			n
∫ f (x)dx = maxlim∆x →0			∑f (ξi )∆xi .
a	i	i	i=1

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования; функция f (x) – подынтегральной функцией, выражение f (x)dx – подынте-

гральным выражением, а задача о нахождении ∫b f (x)dx – интегрированием

a

функции f (x) на отрезке [a, b].

Основные свойства определенного интеграла

1. ∫a f (x)dx = −∫b f (x)dx

ba

2.∫a f (x)dx = 0

a

3. ∫b

f (x)dx = ∫c

f (x)dx + ∫b

f (x)dx

a

a

c

4. ∫b [f1 (x)± f2 (x)]dx = ∫b

f1 (x)dx ± ∫b

f2 (x)dx

a

a

a

5. ∫b

Cf (x)dx = C∫b

f (x)dx , С – постоянная

a

a

Правила вычисления определенных интегралов

1. Формула Ньютона-Лейбница: ∫a

f (x)dx = F(x)

b = F(b)− F(a) ,

a

a

где F(x) – первообразная для f(x), то есть

′

F (x) = f (x) .

2. Интегрирование по частям: ∫b u dv = uv

b

− ∫b v du ,

a

a

a

где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a,b].

59

a	β
	′
3. Замена переменной: ∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ (t)dt ,
a	α
где x =ϕ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной		′		на
		ϕ	(t)
отрезке α ≤ t ≤ β, a =ϕ(α), b =ϕ(β),	f [ϕ(t)] – функция, непрерывная на [α, β].

4. Если f (x) – нечетная функция, то есть f (− x)= − f (x), то ∫a f (x)dx = 0 .

−a

Если f (x) – четная функция, то есть f (− x)= f (x), то ∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx .

−a 0

10.1. Вычислить ∫1 xe−x dx .

0

∆ Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим u = x, dv = e−x dx ,

	1		1	1		1			e − 2
откуда du = dx, v = −e−x . Тогда ∫xe−x dx = −xe−x				+ ∫e−x dx = −e−1 − e−x			= −2e−1 +1	=		.
	0		0	0		0		2
10.2. Вычислить ∫1
	ln(1 + x)dx .
0

∆ Пусть u = ln(1 + x), dv = dx . Тогда du = 1dx+ x и v = x .

∫1 ln(1 + x)dx = x ln(1 + x)		1 −∫1 x	dx	= ln 2 − ∫1	x +1 −1	dx = ln 2 − ∫1 dx +∫1			dx	=
0		0 0	1 + x	0	1 + x		0	0 1 + x
1	1
= ln 2 − x +ln1 + x = ln 2 −1 + ln 2 = 2 ln 2 −1 = ln 4 −1.

00

10.3.Вычислить ∫1 x(2 − x2 )5 dx .

		0
∆ Положим		t = 2 − x2 ,				тогда							x dx = −				1		dt .	Если			x = 0 ,					то			t = 2 −02	= 2 , и если
x =1 , то t = 2 −12		=1 . Следовательно														2
	1	2 5			1		5				1					1 1			5		1	t 6				1			1		6	21
	∫x(2 − x ) dx = ∫t −												dt = −					∫t dt = −									= −				(1 − 2 )=		.
	0				2						2					2 2					2		6			2			12			4
10.4. Вычислить ∫e				ln 2	x	dx .
				x
		1								dx
∆ Положим ln x = t ; тогда												= dt ; если x =1 , то t = 0 ; если x = e , то t =1. Сле-
										x
довательно∫e	ln 2	x	dx = ∫1 t 2 dt =				1		(13		− 0)=			1	.
	x						3							3
1		0

10.5. Вычислить ∫1 e x+ex dx .

0

∆ Положим e x = t , тогда e x dx = dt ; если x = 0 , то t =1; если x =1 , то t = e . Сле-

1	1	e		e
довательно ∫e x+ex dx = ∫e x eex dx = ∫et dt = et				= ee − e .
0	0	1		1
		60

Вычислить:

π / 2

3

10.14. 2

e

1

x

10.6. ∫sin 2x dx

10.10. ∫x3 x2

−1dx

dx

0

1

∫1

x2

1

dx

eπ 2

1

10.7. ∫

10.11. ∫cos(ln x)dx

10.15. ∫x arctg x dx

2

−1 x

+1

1

−1

e

2

2

dx

π

2

10.8. ∫x

ln x dx

10.12.

∫1

10.16. ∫e

x

cos x dx

x2 + x

1

2

dx

2π

0

10.9. ∫

10.13. ∫cos5xcos x dx

x2

− 4x + 5

1

0

Вычисление площади плоской фигуры

y = f (x) [f (x)≥ 0],

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

прямыми x = a и x = b и отрезком [a, b] оси Ох, вычисляется по формуле:

S = ∫b

f (x)dx

( )

a

[f1 (x)≤ f 21 (x)]

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1 (x)

и y = f 2 (x)

и прямыми x = a , x = b , находится по формуле

S = ∫b [f 2 (x )− f1 (x )]dx

( )

a

10.17. Найти площадь фигуры,

ограниченной кривой y = x2

− 5x + 6 и осями

координат.

∆ Площадь заданной фигуры на интервале [0; 2] будет ограничена сверху кривой y = x2 − 5x + 6 , а снизу y = 0 ; на интервале [2; 3] будет ограничена сверху

y = 0 , а снизу y = x2			− 5x + 6 . Применяя формулу ( ) будем иметь:
	у			S = ∫2 (x2 −5x + 6 −0)dx + ∫3 [0 − (x2 −5x + 6)]dx =
					0												2
				= ∫2 (x2 −5x + 6 − 0)dx − ∫3 (x2 −5x + 6)dx =
				0											2
					x		3		5x	2				2		x	3			5x	2						3
								−			+ 6x								−
				=	3				2						−	3				2		+ 6x
														0													2
0	2	3	х		8											45				8									=	29
				=			−10 +			12 −		9 −							+18			−			−10 +12						кв.ед.
				3												2				3										6

10.18.Найтиплощадьфигуры, ограниченнойлиниями y = −x2 , y = x − 2, y = 0 .

∆Из чертежа видно, что искомая площадь S криволинейного ∆OAB может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке [0,2]. Однако кривая не задается одним уравнением. Поэтому разобьем криволинейный треугольник

ОАВ на части, проецируя точку А излома на ось абсцисс. Тогда S = SOAC + S ABC . Абсциссы точек O, A, B задают пределы интегрирования. Точка О имеет коор-

61

динаты (0; 0), координаты точки А определяются из решения уравнения

− x2 = x − 2 и равны (1; -1), координаты точки В из уравнения x − 2 = 0 равны (2; 0). Следовательно:

	у	С	В				1		2					x3					1			1
0						= −	−				=										=
	1		2		SOAC		∫(	x		)dx				3					0			3			;
-1							0
	А					2											x		2									2		1	.
																						2x							=
														−							+
					SOAC = −∫(x − 2)dx =												2													2
						1																						1
у = х–2												1							1				5
	у = – х2				Окончательно S = 3 + 2																= 6 кв. ед.

Замечание. Площадь фигуры с основанием, лежащим на оси Оу, выражается интегралом:

S = ∫d ϕ (y )dy .

c

10.19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат, прямыми

y = −1, y = 2 и параболой x =

1

y 2 .

2

y

∆ Площадь

криволинейной

x = 1/2y2

трапеции найдем по формуле:

B

C

y = 2

1

2

1

y

3

2

1

(8 +1)=

9

3

S =

∫y 2 dy =

=

=

кв.ед.

2

−1

2 3

−1

6

6

2

0

x

Объем

тела

вращения

вокруг

A

D

y = – 1

оси Ох определяется по формуле

V = π ∫b

f 2 (x)dx

a

10.20. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ог-

раниченной дугой параболы y = −x2 + 2x

иотрезком оси Ох.

∆Объем тела определяется формулой

V =π∫2 (− x2 + 2x)2 dx =π∫2 (x4 − 4x3 + 4x2 )dx =

	0											0
x5		− x	4	+	4	x	3			2	25		−2	4	+	4	2	3		=	16π	& 3	)
= π	5				3						=π	5				3					15	(ед.
										0

y

0

2

x

62

10.21. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: y = e x , x = 0, x =1, y = 0 .

∆ Объем тела определяется формулой

y

С

V =π∫1 (e x )2 dx =π∫1 e2 x dx = π

(e2 x )

1 =

π (e2 −1)(ед.3 )

e

0

0

2

0

2

Замечание. Объем тела, образованного вра-

1

щением вокруг оси Оу определяется по формуле

V =π∫c

g 2 (y)dy

1

x

0

d

10.22. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оу фигуры,

ограниченной линиями задачи 10.21.

∆

Из уравнения y = e x определяем x = g(y)= ln y , границы интегрирования этой

функции y =1и y = e . Искомый объем будет равен разности объемов от вращения прямоугольника ОЕС1 и криволинейного треугольника 1ЕС. Таким образом:

V =π∫e dy −π∫e (ln y)2 dy =πe −π(y ln 2 y − 2 y ln y + 2 y)			e =πe − (e − 2)π = 2π(ед.3 )
0	0		1

10.23. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограничен-

ной	дугой гиперболы	xy = 4 ,	прямыми
y =1,	y = 2 и осью Оу.
∆ Из уравнения кривой определим x =				4	,
				y
границы интегрирования		даны по	условию:

y =1, y = 2 . Используя формулу, находим объем тела вращения вокруг оси Оу:

y

y = 4/x

2

1

0

х

2		2						2
V =π∫x	2	dy =π∫	16				1						1		=8π (ед.	3	)
					dy =16π	−					=16π 1	−
				2
1		1	y				y			1			2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

10.24.y = x2 , y = 3 x

10.25.xy = 7, y = 0, x = 4, x =12

10.26.y = e x , y = e−x , x =1

10.27.y = ln(x + 2), x = −1, x = 2, y = 0

10.28.y = x2 , y =1 + 43 x2

10.29.y = x2 − 2x + 3, y = 3x −1

10.30.y = x2 + 2, y =1 − x2 , x = 0, x =1

10.31.y = ln x, x = e, y = 0

Найти объемы тел, образованных вращением вокруг осей Ох и Оу фигуры, ограниченной линиями:

10.32.y = 4 − x 2 , y = 0, x = 0

10.33.y = 12 x + 4, y = 0, x = 0, x = 6

10.34.y = x3 , y =1, x = 0

10.35.y = x2 +1, y = 0, x =1, x = 2

63