б) Решим это же уравнение методом Лагранжа. Решение однородного урав-

нения

2

y = 0 есть функция

y(x)= C(x)x

2

.

Тогда для нахождения функции

y′ −

x

С(х) получаем уравнение

dC

= 2x ,

откуда C(x)= x2

+ C1 . Следовательно, общее

dx

решение:

y(x)= C(x)x2 = (x2

+ C1 )x2

= C1 x2 + x4 .

в)

Применим

метод интегрирующего

множителя.

По определению

µ = e ∫−

2

dx

= e −2 ln x

=

1

. Умножим исходное уравнение слева на этот множи-

x

x 2

тель,

тогда

получим

1

y ′

−

2

y = 2 x

или

d

4

= 2 x , то есть

x 2

x 3

dx

x

2

y

4

2

4

2

.

d

= 2x dx,

= x

+ C, y

= x

+ Cx

x

x2

2

Решить уравнения:

11.26.

′

11.30.

y

′

+ y

e−x

= 1

+ x2

y

− 4xy = x

2

11.27. y′+ 2xy = xe−x

11.31.

4

e

x

11.28. y′cos x + y =1 −sin x

xy′−3y = x

11.32.

′

1

11.29.

y′

−

y

= x ln x,

y(e)=

e2

xy

+ 2 y = x

x ln x

2

11.33.

y′cos x − 2 y sin x = 2

2.11.2. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

y′′ = f (x, y, y′)

Укажем несколько наиболее часто встречающихся классов уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида y′′ = f (x).

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x)= y′. Тогда исходное уравнение преобразуется в уравнение z′ = f (x), решением которого является функция z(x)= ∫ f (x)dx +C1 . Повторным интегрированием находим общее решение урав-

нения y(x)= ∫[∫ f (x)dx]dx +C1 x +C2 , где С1 и С2 – произвольные постоянные.

2. Уравнение вида y′′ = f (x, y′), то есть уравнение не содержит в явном виде у. Заменой z(x)= y′ получаем уравнение первого порядка общего вида z′ = f (x, z). Найдя общее решение этого уравнения z =ϕ(x,C1 ), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения y(x)= ∫ϕ(x,C1 )dx +C2 ,

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

70

3. Уравнение вида y′′ = f (y, y′), то есть уравнение не содержит независимой переменной х. Введем новую функцию, зависящую от у, полагая y′ = P(y). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

y′′ = dxd [P(y)]= dPdy y′ = P dPdy

Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции Р(у): P dPdy = f (y, P).

Пусть общее решение этого уравнения P =ϕ(y,C1 ). Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х):

dydx =ϕ(y,C1 ), из которого методом разделения переменных получаем функцио-

нальное соотношение для определения общего решения ∫ϕ(ydy,C1 )= x +C2 , где

С1 и С2 – произвольные постоянные.

11.34. Найти частное решение уравнения y′′ = cos2 x , удовлетворяющее на-

чальным условиям y(0)= 321 , y′(0)=0 .

∆ Последовательным интегрированием данного уравнения получаем:

y′ =				2				1		(1+cos 2x)dx =							1			1
			cos		x dx =													x +			sin 2x	+C
		∫						2 ∫									2			2
																						1
y =	1					1					+C1		dx =	1	x	2	−	1	cos2x +C1 x +C2 .
	2		x +			2	sin 2x							4				8
			∫

Воспользуемся начальными условиями; тогда получим С1 = 0, С2 = 5/32.

11.35. Найти общее решение уравнения		y′		y′
	y′′ =		ln		.
		x
				x

∆ Это уравнение второго вида, поскольку оно не содержит в явном виде у.

Заменой

z(x)= y′ приведем

его к однородному

уравнению

первого

порядка

′

z

z

′

′

dt

dx

z

=

ln

. Полагая z =tx, z

получим уравнение или

=

. Ин-

x

=t x +t ,

t(ln t −1)

x

x

тегрируя, находим ln(ln t −1)= ln x +ln C1

или ln t −1 = C1 x , откуда t = e1+C1x . Возвраща-

ясь

к

переменной у,

приходим к

уравнению

y′ = xe1+C1x .

Следовательно,

y = ∫xe1+c1x dx =

1

xe1+c1x −

1

xe1+c1x +C2 .

2

C1

C1

11.36. Решить уравнение y′′−(y′)2 = 0 .

∆ Это уравнение третьего типа, то есть оно не содержит явно независимой

переменной х. Заменой

y′ = P(y) сведем его к

уравнению

первого

порядка

P dPdy − P2 = 0 . Первое решение этого уравнения: Р=0, или у=С, где С – постоян-

ная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на Р, получаем

71

P′− P = 0 .	Решение	этого уравнения методом разделения переменных дает
P = C1e y .	Наконец,	обратная замена приводит к уравнению первого порядка

dydx = C1e y . Разделение переменных х и у приводит к общему решению исходного

уравнения: e−y dy = C1dx , откуда e−y = C1 x +C2 , или окончательно y(x)= −ln(C1 x +C2 ). Нетрудно увидеть, что это решение включает в себя и решение y = C , получен-

ное выше (при C = 0, C2 ≠ 0 ).

Определить тип уравнения и найти его решение:

11.37.y′′ = xsin x

11.38.y′′ = 2sin xcos2 x −sin 2 x

11.39.(1− x2 )y′′− xy′ = 2

11.40.(1+ x2 )y′′+1+ y′2 = 0

11.41.1+ y′2 = yy′′

11.42.y′′(2 y +3)−2 y′2 = 0

11.43.y′′(1+ y)= y′2 + y

11.44. y′′ = y′ y

2.11.3.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется

уравнение вида:
y ′′ + p (x )y ′ + q (x )y = f (x ),	(1)

где у(х) – искомая функция, а p(x), q(x) и f(x) – функции, непрерывные на некотором интервале (a, b). Если функции p(x) и q(x) – постоянные величи-

ны, то уравнение (1) называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Если f(x)=0, уравнение (1) называется линейным однородным уравнением, в противном случае – линейным неоднородным уравнением.

Для любых начальных условий уравнение (1) имеет единственное решение. Рассмотрим сначала решение однородного уравнения (1).

Теорема. Если у1(х) и у2(х) – линейно независимые частные решения однородного уравнения (1), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид:

y = C1 y1 +C2 y2 ,

(2)

где С1 и С2 – некоторые числа.

Для нахождения частных решений однородного уравнения составляют характеристическое уравнение:

k 2 + pk + q = 0 ,

(3)

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей.

72

Общее решение уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (3):

1) характеристическое уравнение (3) имеет действительные корни k1 и k2, причем k1 ≠ k2 . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид y = C1ek1x +C2ek2 x , где С1 и С2 – некоторые числа;

2) характеристическое уравнение (3) имеет один корень k (кратности 2). Тогда общее решение уравнения имеет вид y = C1ekx +C2 xekx , где С1 и С2 – некоторые числа;

3) характеристическое уравнение (3) не имеет действительных корней. То-

гда общее		решение уравнения имеет вид y = C1eαx sin βx +C2eαx cos βx , где
α = − p	, β =	q − p2	, С1 и С2 – некоторые числа.
2		4

11.45. Найти общее решение уравнения y′′−7 y′+6y = 0 .

∆ Составим характеристическое уравнение k 2 −7k +6 = 0 ; его корни k1 = 6 и k2 = 1. Следовательно, е6х и ех – частные линейно независимые решения, а общее решение имеет вид y = C1e6 x +C2ex .

11.46. Найти решение уравнения y′′−3y′+2 y = 0 при следующих начальных условиях y(0)= 3, y′(0)= 4 .

∆ Составим характеристическое уравнение k 2 −3k +2 = 0 , находим его корни k1 = 1, k2 = 2. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид y = C1ex +C2e2 x . Удовлетворим начальным условиям, то есть найдем постоянные С1 и С2, при

которых y(0)= 3, y′(0)= 4 . Так как y(0)= С1 +С2 , y′(0)= С1 + 2С2 , то постоянные С1 и С2 находим, решая систему:

С1 +С2 =3 С1 +2С2 = 4

откуда С1 = 2 и С2 = 1. Найденное частное решение y = 2ex +e2 x .

Уравнение свободных упругих колебаний при наличии сопротивления среды приводится к виду:

d 2 x	+2n	dx	+a	2	x = 0 (n > 0)
dt 2		dt
Характеристическое уравнение имеет корни k1,2 = −n ±							n2 −a2 .
1) если n2 −a2 > 0 , то корни действительные,						различные и оба отрицатель-
ные. Вводя для них обозначения k1 = −n − n2 −a2						= −s1 , k2	= −n + n2 −a2 = −s2 , на-

ходим общее решение уравнения движения в виде x = C1e−s1t +C2e−s2t . Это случай так называемого апериодического движения;

2)если n2 −a2 = 0 , то корни характеристического уравнения – действительные, равные: k1 = k2 = −n . В этом случае общее решение имеет вид x = (C1 +C2t)e−nt ;

3)если n2 −a2 < 0 , то характеристическое уравнение имеет комплексные сопря-

женные корни k1 = −α + βi, k2 = −α − βi , где α = n, β = a2 −n2 . Общее решение имеет вид x = ent (C1 cos a2 −n2 t +C2 sin a2 −n2 t). Этозатухающиеколебания.

73

Найти общее решение уравнений:

11.47.	y′′− y′−2 y = 0	11.50. y′′+25y = 0
11.48.	y′′−5y′+6 y = 0	11.51. y′′−4 y′+4 y = 0
11.49.	y′− y = 3y′′

Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям:

11.52. y′′−2y′+ y =0, y(2)=1, y′(2)=−2 11.54.		y′′−10 y′+ 25y = 0,				y (0)= 0, y′(0)=1
11.53. y′′+ y = 4ex , y(0)= 4, y′(0)= −3	11.55.	y	′′	+ y	= 0, y(0)=1,	′
						y (π 3)= 0

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами может быть, в частности, решено методом вариации произвольных постоянных. Этот метод состоит в следующем. Сначала находится общее решение y = C1 y1 +C2 y2

однородного уравнения. Затем предполагается, что постоянные С1 и С2 являются функциями независимой переменной х. Функции С1(х) и С2(х) находятся как решения системы:

	C1′y1 +C2′y2	= 0	( )
	C1′y1′ +C2′y2′	= f (x)

11.56. Решить уравнение y′′−2 y′−3y = e4 x .

∆ Ищем решение однородного уравнения. Для этого составляем характеристическое уравнение k 2 −2k −3 = 0 . Оно имеет корни k1 = −1, k2 = 3 . Следовательно общее решение однородного уравнения y = C1e−x +C2e3x . Полагая теперь, что С1 и С2 – функции переменной х, найдем первые производные этих функций, решая систему:

C1′e−x +C2′e3x = 0

−C1′e−x +3C2′e3x = e4 x

Решения системы имеют вид C1′ = − 14 e5x , C2′ = 14 ex

. Получили дифференци-

альные уравнения с разделяющимися переменными. Решая эти уравнения. По-

	лучаем C1	= −	1	∫e5x dx +C3 = −	1	e5x +C3 ,	C2	=	1	∫ex dx +C4	=	1 ex +C4 , где С3 и С4 – не-
			4		20				4
												4

которые постоянные. Таким образом окончательно решение уравнения имеет вид

1

5 x

−x

1

x

3x

−x

3x

1

4 x

1

4 x

−x

3x

1

4 x

y =

−

e

+C

e

+

e

+C

e

= C

e

+C

e

+

e

−

e

= C

e

+C

e

+

e

20

4

4

20

5

3

4

3

4

3

4

Структура полученного решения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения. Такая структура решения неоднородного дифференциального уравнения справедлива и в общем случае.

11.57. Решить уравнение y′′−4 y′+4 y = x2 .

∆ Характеристическое уравнение k 2 −4k +4 = 0 . Его корень (кратности 2) k = 2.

Общее решение однородного уравнения							y = C1e2 x +C2 xe2 x . Составляем систему
для определения С1(х) и С2(х).
′ 2 x			′		2 x		= 0
C1e		+C2 xe
′	2 x		′	(1		+2x)e		2 x	= x	2
2C1e			+C2

74

Решения системы имеют вид С1′ = −x3e−2 x ,																			С2′ = x2e−2 x . Определяя С1(х) и С2(х),
получаем, интегрируя по частям														1								3							3				3
							3		−2 x							−2 x				3					2
				C1 (x)= −∫x				e			dx +C3		=		e			x			+			x			+				x	+		+C3
														2								2							2				4
						2		−2 x						1		−2 x				2					1
				C2 (x)= ∫x			e			dx +C4 = −					e			x			+ x +								+C4
														2											2
Окончательное решение уравнения:
	−2 x		2 x	1	3	3		2		3		3	1				2				1									−2 x					2 x		1			2		3
																																						x
y = C3e		+C4 xe		+ 2 x		+ 2 x			+ 2 x +			4	− 2 x x					+ x + 2						= C3e								+C4 xe				+					+ x +
																																					2		2			4

Решение неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами полностью основывается на методе вариации постоянных. Однако в ряде случаев бывает проще подобрать частные решения неоднородного уравнения по виду его правой части. Так, частное решение только что решенного уравнения можно было искать в виде u = Ax2 + Bx +C . Подставляя u в уравнение, имеем равенство:

4 Ax2 +(4B −8A)x + 2A −4B + 4C = x2 .

Так как левая часть должна равняться правой, то 4A =1, 4B −8A =0, 2A−4B +4C =0 . Из этой системы находим A = 14 , B = 12 , C = 83 . Следовательно, частное решение

должно иметь вид u = 14 x2 + 12 x + 83 , что совпадает с найденным.

11.58. Проинтегрировать уравнение y′′+ y′−2 y = cos x −3sin x при начальных условиях y(0)=1, y′(0)= 2 .

∆ Характеристическое уравнение k 2 +k −2 = 0 имеет корни k1 =1, k2 = −2 , а потому общее решение однородного уравнения имеет вид y = C1e−2 x +C2ex .

Частное решение	неоднородного	уравнения будем искать	в виде
u = Acos x + Bsin x .	Подставляя u	в уравнение, получаем	равенство

u′′+u′−2u = (B −3A)cos x +(−3B − A)sin x = cos x −3sin x . Таким образом, имеем систему

B −3A =1 ,

3B + A = 3

то есть А = 0, В = 1.

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = C1e−2 x +C2ex +sin x .

Найдем С1 и С2, используя начальные условия:

С1 +С2 =1

−2С1 +С2 =1

Отсюда С1 = 0, С2 = 1, то есть y = ex

+sin x .

Решить уравнения:

11.63.

, y(0)= 3,

11.59. y

′′

+ y = xe

+2e

y

′′

−4 y

′

+3y = e

′

x

−x

5 x

y (0)= 9

11.60. y

′′

+ y = 3sin x

11.64.

y

′′

+2 y

′

+2 y = xe

′

−x

, y(0)= 0, y (0)= 0

11.61. y′′−8y′+7 y =14

11.65. y′′+4 y = cos 2x,

y (0)= 0,

y′(π4 )= 0

11.62. y′′−6 y′+25y = 2sin x +2cos x

75

Ответы

2.5. Основные элементарные функции. Сложная функция

5.1. [− 2;0) (0;2]

5.2. [0;4]

5.3. x ≠ 0

5.4. (3 / 2; ∞)

5.5. x ≠

π(2k +1)

, k Z

5.6. x >

1

4

3

5.7. [0;2]

,3)

5.8. [− 2;1)

5.9. (− ∞,0) (0, ∞)

5.10. (

5.11.

[

2;4]

1

1

− ∞

−

5.12.

−

;

2

5.13. (− ∞,1) (1, ∞)

5.14. [− 3;3]

2

5.15. нечетная

5.16. четная

5.17. общего вида

5.18. нечетная

5.19. четная

5.20. четная

5.21. общего вида

5.22. нечетная

5.23. нечетная

5.24.

π

2

5.25. 2π

5.26.

π

5.27. π

3

5.28. 2π

5.29. 2π

	2.6. Предел и непрерывность функции
	6.1.	7	6.2.	5	6.3. 1	6.4.	26	6.5. −		1
		3					7		16
			8
	6.6.	3	6.7. 1		6.8. e2	6.9. 1		6.10. 0
		4

2.7. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной

7.1. y′

=

3

−

10

− cos x

7.2.

y′ =

6

x

−65

−

5

x

−5 4

7.3. y′ =

2 sin 2 x

44

x

x

3

5

2

2x − sin 2x

5

x

1

−6

arctg x

7.5.

y′ =

1

x tg

3

x

7.6.

12x2

7.7.

2

7.4. y′ =1 + x2

−

5 x

5

2

cos6 2x

9 + x2

7.8. y′ = 2x

(ln x−1)

ln x

7.9.

y

′

= x

1x 1

(1−ln x)

7.10.

y′= x x

x2

ln x[3 + x

2

(2ln x +1)]

x2

2.8. Приложения производной

8.1. 3/5

8.2. 1/3

8.3. 0,18

8.4. 1/2

8.5. 3

8.6. 0

8.7. 1

8.8. e−6

8.9. 1

8.10. e

8.11. экстремумов нет

8.12. ymax (e−2 ) =

4

, ymin (1) = 0

e2

8.13. y

1

=

1

,

y

1

= −

1

8.14. ymin (1)= 0

8.15 ymin (1)= e

−1

−

max

2

2

min

2

2

8.16. ymax = (π −12 + 6

3)/12 ,

ymin = (5π −12 − 6

3)/12

76

8.17. Наибольший объем имеет цилиндр, у которого осевое сечение является квадратом

8.18. Наибольшую площадь имеет квадрат со стороной l 4	8.19.	S			S
		V =	3		6π

2.9. Неопределенный интеграл

9.4.	4		24		4
	5 x4		x − 17 x12 x5	+	3	4 x3	+C
9.6.	1	e2 x −ex + x +C
	2
9.8.	2 x2		x +C
	5

9.10.e3x 3x +C

3 + ln 3

	9.12.	1	ln		x2	+sin 2x		+C
		2

9.14.x2 −2x +ln x +C

2

9.16.	2 sin x sin x +C
	3
9.26.	1	arctg	x2 +1			+C
	4
				2
9.28. −		1 − x2		+C
9.30.	2	(ln x)32		+C
	3
9.32.	1 ln x 2 +			x 4		−1 + C
	2

9.34. 154 (5 +3ln(sin x))54 +C

9.36.−2 2−3x3 +C9

9.45.

2 −25x2

cos5x +

2

xsin5x +C

125

25

9.47.

x2

arctg x −

x2

+

1 ln(x2

+1)+C

3

6

6

9.49.

(x +1)3x

−

3x

+C

ln 3

ln 3

9.51.

1 ex2 (x4

−2x2 +2)+C

2

9.53. xln2 x −2xln x +2x +C

9.55. −

ln x

−

1

+ C

4 x 2

2 x 2

9.5. −		3			3	x −			3	x	2	+	1	x	3		+C
		1+			2				5				8
	3 x
			x −1
9.7. x + 2 ln								+C
			x +1
9.9. 2 arcsin x − x + C
9.11. tg x − x +C
9.13.	2 1+ x5				+C
	5
9.15.	1	sin x2		+C
	2
9.25.	1 ln x5			+		x10 −2 +C
	5

9.27.	4	1	ln e2 x −			5	+ C
			5	e2 x +		5
9.29. 2e x +C
9.31. e			2 x −1	+ C
9.33.	4	(1 +		x )3 2		+ C
	3
9.35.	1		ln x −		7	+C
		7	x +		7

9.44.	(x+1)2 ln(3x−1)		−	1	x2 −		7	x−	8	ln(3x−1)+C
	2
				4			6		9
9.46. xex +C
9.48.	4x2 +1arctg 2x −					1 x +C
	8					4

9.50. (x +1)2 sin x +2(x +1)cos x +C

	9.52.	x	(sin ln x −cosln x)+C
		2
	9.54.	e3x		(9x2 −6x +2)+C
		27
							x − 1
	9.62.	1 ln							+ C
							x + 2
		3

77

9.63.				1													ln													7 −									5x +C																					9.64. ln						x −2							+ln								x +5							+C
	2						35																							7 +									5x
																																																																		9 ln															− 1 ln
9.65. x +3ln																			x −3														−3ln													x −2			+C											9.66 x +											x −3																								x −1					+C
																																																																		2																2
9.67.		1			ln										x−2								−							1						ln(x2 +2x+4)−																1 arctgx+1					+C			9.68.						1									+2ln									x −1									+3ln										x −2			+C
																																																													4(x −1)2
	12																													24																						4 3	3
9.69.		7 ln													x − 2													+							1				ln							x 2 + 4					+	5 arctg		x		+ C				9.70.	5 ln								x + 2								−					1 ln									x − 2										+ C
	8														x −2																		16																			8	2								4																					4
9.71.		1	ln																										+C																															9.75. −						2	(32 +8x +3x2 )																													2 − x +C
	4														x +2																																															15
																																						x )+C																																					x +66 x −6ln(6 x +1)+C
9.76. 2							x								−ln(1+																																													9.77. 2						x −33
9.78.	5						2x2 +8x +1−																																13 ln x +2+													x2 +4x +1 +C								9.79. ln x +1 +																	x2 + 2x + 5 + C
	2																																						2														2
9.80.																			π																			x																						9.81.	−					2																		+ C
		− ln													tg															−												+ C
																							4												2																														tg (x 2)−1
9.82.		1 cos3x −																												1					cos7x +C																									9.83.	1 cos3 x −cos x +C
	6																						14																																						3
9.84.		1					x −										1							sin 4x +																		1					sin3 2x +C
	16																64
																																							48
2.10. Определенный интеграл и его приложения
10.6.		π																																																		10.7. π														10.8.																		2e3 +1
	4																																																				2																																9
10.9.		π																																																		10.10.	464				2									10.11.																			1											π 2
	4																																																				15																																2				e								−1
10.12. ln(4 3)																																																				10.13. 0																				10.14. e −																								e
10.15.			π																																																	10.16.			1		π 2									10.24.																			5
				2			−1																																																	e				−1
																																																																																					12
																																																							2
10.25. 7ln 3																																																				10.26.		e + 1			−2															10.27. 8ln 2 −3
																																																								e
10.28. 8/3																																																				10.29. 9/2														10.30. 5/3
10.31. 1																																																				10.32.			256 π			;		8π												10.33. 186 π ;																																96 π
				6 π																					3 π																												15				π
10.34.																	;																																			10.35.	178							; π
																														5																									15
							7
2.11. Дифференциальные уравнения
11.6. x =															С y																																													11.7. x2 + y2																	= ln(Cx2 )
															1+ y2
11.8. y =1+																					cx																																							11.9. y = C(x +1)ex
																	1				+ x
11.10. ln tg																y					+2cos x =C																																							11.11. x2 + ysin y +cos y = C
															2

78

11.12.y = ln tg ex + π −1

4

11.14. ln tg y = 4(1 − cos x )

11.19. (x −C)2 − y2 = C 2

11.21. y 2 = Cxe − y x

11.23. 1 + sin xy = Cx cos xy

11.26. y = Ce 2 x 2 − 14

11.28. y = cos x (x + C )

1 + sin x

11.30. y =Ce−x +e−x arctgx 11.32. y = xC2 + 12

11.37. y =−xsinx −2cosx +C1x +C2

11.39. y =(arcsinx)2 +C1 arcsinx +C2

11.41. y =C1chx +C2

C1

11.43. ln [C1 (y +1)−1]= C1 (x + C 2 ) 11.47. y = C1e2 x + C2 e− x

11.49.	x			11	x +C	sin	11
	y =e	6 C cos						x
			1	6	2		6

11.51. y = (C1 +C2 x)e2 x

11.53. y = 2cos x −5sin x +2ex

11.55. y =sinx+ 13 cosx

11.60. y = C1 cos x + C 2 sin x − 32 x cos x

11.62. y =e3x (C1 cos4x+C2 sin4x)+1021 (14cosx+5sinx)

11.64. y = e − x (x − sin x )

11.13. x + y +2ln x −ln y = 2

11.18.y = x ln Cx ;

11.20.ln x = ln y −x x + y −x x + C

11.22.y 2 = 4 x 2 ln Cx

11.24.y = − x ln 1 − ln x

11.27.y = e − x 2 x 2 + C

2

11.29.y = 12 x 2 ln x

11.31. y =Cx3 +x3ex

11.33. y =		C					+	2 sin x
		cos 2		x				cos 2 x
11.38. y =	1 sin3				x +C1 x +C2
	3
11.40. y =		1								x
											+C2
	1+C2				ln(1+C1x)−C
		1						1

11.42. 0 ,5 ln (2 y + 3 )= C 1 x + C 2

11.44. x = y −0,5C1 ln(2 y +C1 )+C2 11.48. y =C1e−3x +C2e−2x

11.50. y =C1 cos5x +C2 sin5x

11.52. y =(7−3x)ex−2 11.54. y = xe5x

11.59. y =C1 cosx+C2 sinx+12(x−1)ex +e−x

11.61.y = C 1 e x + C 2 e 7 x + 2

11.63.y = 18 (e 5 x + 22 e 3 x + e x )

11.65.y = 161 (4 x − π )sin 2 x

79