4. Глоссарий

Асимптота – прямая, к которой стремится график функции, при бесконечном удалении точки графика от начала координат.

Бесконечно малая величина при x → a – функция ∫x5ex2 dx, для которой

lim f (x) = 0 .

x→a

Высшие производные – производные второго и более высоких порядков

заданной функции,	d n y	=	d	( d n −1 y ) =f (n ) (x) , n = 2,3,...
	n
	dx		dx	dx n −1

Гармонический ряд – ряд вида ∑∞ 1 .

n=1 n

График функции – линия на координатной плоскости, все точки которой имеют координаты ( x, f (x)) , для функции y = f (x) ; используется для графиче-

ского задания функций.
Дифференциал	– главная линейная часть приращения функции
∆y = A∆x +о( ∆x) , при	′	– используется для вычисления приближенных
	A = f (x)

значений функций.

Дифференциальное исчисление – изучение функций и их свойств, в частности, производных, монотонности, точек экстремума и перегиба.

Дифференциальное уравнение – уравнение, в которое входят неизвестная функция и ее производные. Различают порядок дифференциального уравнения равный порядку старшей производной в нем, линейные и нелинейные уравнения.

Дифференцирование – отыскание производной функции от заданной функции, производится на основании правил дифференцирования и таблицы производных.

Интегрирование – отыскание первообразных функций, операция обратная дифференцированию.

Исследование функций и построение их графиков – нахождение облас-

тей определения и значения, вида функции, ее нулей, интервалов непрерывности, знакопостоянства и монотонности, асимптот, точек экстремума и перегиба.

Монотонность функций – возрастание или убывание функции f (x) на ин-

тервале	(a,b)	означает, что для произвольныхx1 < x2 на (a,b) выполняется
f (x1 ) < f (x2 ) или		f (x1 ) > f (x2 ) , соответственно.
Неопределенный интеграл – совокупность всех			первообразных данной
функции	f (x) . Обозначается ∫ f (x)dx = F(x) +C , f (x)dx		– называется подынте-

гральным выражением и является дифференциалом для каждой первообразной F(x) функции f (x) .

87

Непрерывная функция – функция непрерывная в каждой точке области ее определения (принимает в каждой точке значение равное пределу функции в

этой точке, т.е. удовлетворяющая				f (a) = lim f (x) при всех a X ).
				x→a
	Несобственный		интеграл	– =∞∫ f (x)dx =	Rlim→=∞ ∫R		f (x)dx ,	∫b	f (x)dx =	Rlim→−∞ ∫b	f (x)dx ,
				a		a		−∞		R
=∞∫ f (x)dx = ∫c		f (x)dx + +∞∫ f (x)dx = Rlim→−∞ ∫c		f (x)dx + Rlim→=∞ ∫R		f (x)dx , где c – любое число. Если
−∞	−∞	c	R		c

приведенные интегралы существуют и конечны, то их называют несобственными интегралами первого рода. В этом случае соответствующие интегралы называют сходящимися. В противном случае – расходящимися.

∞

Область сходимости ряда ∑an xn – множество тех значений x, при которых

n=1

∞

ряд ∑an xn сходится.

n=1

Окрестность точки – совокупность всех точек x , расстояния которых от точки a меньше заданного числа ε,ε > 0 , т.е. их координаты x удовлетворяют

x − a < ε .

b

Определенный интеграл – число ∫ f (x)dx , которое получается после пре-

a

дельного перехода в интегральной сумме и вычисляется по формуле Ньютона-

	Лейбница, a и b	нижний и верхний пределы интегрирования. Равно, площади
	криволинейной	трапеции под графиком функции		f (x) ,		если f (x) > 0			при
	a < x < b .
	Первообразная функция для функции f (x) –		любая функция F(x) ,						для
	′
	которой F (x) = f (x) . Определена с точностью до произвольной постоянной.
	Первый и второй замечательные пределы – lim			sin x		1
					=1 , lim(1 + x)			= e , где
							x
		x→0		x		x→0

e – основание натуральных логарифмов, e ≈ 2,71.

Пересечение множеств X и Y – совокупность элементов, одновременно входящих как в множество X, так и в множество Y. Пересечение этих множеств обозначается X ∩Y .

Правило Лопиталя – правило раскрытия неопределенностей вида 00 или ∞∞

	lim	f (x)	= lim	f ′(x)	(т.е. предел отношения функций равен пределу отношения
		g(x)		g (x)
	x→a		x→a
				′

их производных при f (a) = g(a) = 0 или f (a) = g(a) = ∞).

88

Точка разрыва функции

непрерывной.

n=1

n=1

∞

S = ∑an .

Предел функции в точке – числоA , если в сколь угодно малую окрестность этого числа попадают все значения f (x) как только x находится в доста-

точно малой окрестности a , за исключением может быть значения функции в

самой точке a . Записывается A = lim f (x) .

x→a

Производная

от функции

y = f (x) в

точке

–

число равное

lim

f (x + ∆x) − f (x)

, если этот предел существует.

∆x

∆x→0

Производная функция от функции y = f (x)

– функция, значение которой в

каждой точке равно значению производной функции f (x)

в этой точке.

∞

Радиус сходимости ряда ∑an xn

– число R, если при

x

< R

ряд сходится, а

n=1

при

x

> R – расходится. В этом случае интервал (-R,R) называют интервалом

сходимости ряда.

Разность множеств X и Y – множество Z, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y. Разность этих множеств обозначается X | Y .

∞

Расходящимся называется ряд ∑an , если последовательность его частич-

n=1

ных сумм S1, S2 , S3 ,..., Sn ,...расходится.

Ряд Маклорена – ряд вида

f

(0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2

+

f ′′′(0)

x3 +... +

f (n) (0)

xn +...

2!

3!

n!

1!

РядТейлорафункции f (x) – рядвида

f (a) +

f ′(a)

( x − a) +

f ′′(a)

( x − a)2

+

f ′′′(a)

( x − a)3 + ... +

f ( n ) (a)

( x − a)n + ...

2!

1!

3!

n!

∞

Степенной ряд – ряд вида

a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 +... + an xn +... = ∑an xn ,

где чис-

n=1

лаa0 ,a1,a2 ,a3 ,..., an ,... называются коэффициентами степенного ряда.

Сумма множеств X и Y – совокупность всех элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Сумма этих множеств обозначается X Y .

∞

Сходящимся называется ряд ∑an , если последовательность его частичных

n =1

сумм S1, S2 , S3 ,..., Sn ,...сходится к какому-нибудь числу S, которое называется сум-

∞

мой ряда ∑an . Символически это записывается так

f (x) – точка, в которой функция f (x) не является

89

x1 , x2 ,..., xn

Формула Ньютона-Лейбница – формула вычисления определенного инте-

грала ∫b	f (x)dx = F(b) − F(a) , где F(x) любая первообразная f (x) .
a

Функция – закон соответствия f , который каждому числу x из области определения функции X определяет единственное число y = f (x) из множества значений функции Y , причем каждое y Y поставлено в соответствие хотя бы одному x X . Независимая переменная x называется аргументом функции.

Функция многих переменных – закон соответствия, определяющий каждому набору значений n независимых переменных единственное зна-

чение зависимой переменной z , z = f ( x1 , x2 ,..., xn ).

∞
Частичными суммами ряда ∑an	– суммы конечного числа членов ряда
n=1
S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 ,..., Sn	= a1 + a2 + a3 +... + an ,...

Частные производные – для функции нескольких переменных z = f (x, y) , производные по независимым переменным x (или y ), при условии, что другая

переменная y (или x ) фиксирована. Обозначаются ∂∂xz (по x) и∂∂yz (поy ).

∞

Числовой ряд – выражение вида a1 + a2 + a3 +... + an +... = ∑an , где числа

n=1

a1, a2 ,..., an ,... называются членами ряда, член an с произвольным номером – общим членом ряда.

Экстремумы функции – максимумы и минимумы функции, x = a точка максимума f (x) , если f (x) < f (a) для всех x из некоторой окрестности точки a (для точки минимума f (x) > f (a) ).

Элементарные функции – степенные y = xα , показательные y = a x , логарифмические y = log a x , тригонометрические и им обратные, а также все функ-

ции получающиеся сложением, умножением и суперпозицией перечисленных функций (функции от функций или сложные функции).

90

Юрий Михайлович Урман

Математика

Учебное пособие

Ответственный за выпуск Т.В. Тальникова. Компьютерная верстка Ю.А. Смирновой.

Корректор Е.В. Ненашева.

Подписано к печати 16.11.2003. Формат А5. Бумага 65 г/м2. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 4,8. Тираж 2000 экз. Цена договорная.

Копи-центр НИМБ

Н.Новгород, ул. Ванеева, 1а

тел. 35-94-33

91