Примеры

2π

1. Показать, что функция f (x)= sin 3x

имеет период T =

.

3

2π

∆ Имеем sin 3 x +

= sin(3x + 2π )= sin 3x .

3

x

x

2. Найти период функции

f

(x)= sin

+ cos

.

x

2π

3

2

x

2π

∆ Период sin

есть T1 =

= 6π . Период cos

есть T2 =

= 4π . Наимень-

3

1/ 3

2

1/ 2

шее положительное число Т, кратное 4π и 6π , есть 12π. Следовательно, Т=12π – период функции.

2.5. Основные элементарные функции. Сложная функция

Линейная функция

Функция вида y = kx +b , где k и b – действительные числа, называется линейной. Область определения функции – вся числовая ось. Функция непериодическая, общего вида, возрастает на всем промежутке (−∞,∞) при k > 0 , убывает при k < 0 . Графиком функции является прямая, пересекающая ось Оу в точке В(0,b) и образующая с положительным направлением оси Ох угол α, тангенс которого равен k (рис. 2.6). При k=0 получаем постоянную функцию y=b, график которой – прямая, параллельная оси Ох.

	у
	B(0,b)
α	х
	0
Рис. 2.6. График функции y = kx +b

Степенная функция

Функция вида y = xn , где n – любое действительное число, называется степенной. Рассмотрим различные случаи:

а) n > 0 ; область определения (-∞; ∞), область значений (-∞;∞), если n – нечетно, [0,∞], если n – четно; функция нечетная, если n – нечетно и четная, если n

– четно; возрастает на (-∞;∞), если n – нечетно, убывает на [−∞,0], возрастает

на (0,∞), если n – четно; непериодическая.

На рисунке 2.7 представлены графики y = x2 и y = x3 .

14

y						y = x		3
				y
		y = x2
							y = x

		0
						x
	0			x
		Рис. 2.7. Графики функций y = x2 , y = x и y = x3

б) n < 0 , область определения (−∞,0) (0, ∞), область значений (−∞,0) (0, ∞), если n – нечетно; (0,∞), если n – четно; нечетная, если n – нечетно, четная, если n – четно; убывает на (−∞,0) и на (0, ∞), если n – нечетно; возрастает на (−∞,0) и убывает на (0, ∞), если n – четно; непериодическая. На рисунке представлены

графики функций y = 1x , y = x12 .

y

y

y =

1

x

y =

1

x2

0

x

0

x

1

и

1

Рис. 2.8. Графики функций y =

y =

x

x2

в) y = n x = x 1n , n >1; область определения – [0,∞), если n – четно, (−∞,∞), если n – нечетно; область значений – [0,∞), если n – четно, (−∞,∞), если n – нечетно; нечетная, если n – нечетно; общего вида, если n – четно; возрастает на (−∞,∞), если n – нечетно; возрастает на [0,∞), если n – четно, непериодическая.

На рисунке представлены графики функций y =

x , y = 3

x .

y

y

y = 3 x

y =

x

0

x

0

x

Рис. 2.9. Графики функций y = x , y = 3 x

15

Показательная функция

называется показательной. Область

Функция вида y = a x , где a > 0,

a ≠1,

определения – (−∞,∞); область значений

(0, ∞), общего вида; возрастает на

(−∞,∞), если a >1 ; убывает на (−∞,∞), если 0 < a <1, непериодическая.

y

0 < a <1

y = a x

a > 1

1

x

0

Рис. 2.10. Графики показательной функции при 0 < a <1 и a >1

Логарифмическая функция

Функция вида y = loga x , где a > 0, a ≠1, называется логарифмической. Область определения – (0, ∞); область значений – (−∞,∞), общего вида, возрастает на (0, ∞), если a >1 ; убывает на (0, ∞), если 0 < a <1; непериодическая.

y

y = log a x

a >1

0

1

x

0 < a <1

Рис. 2.11. Графики логарифмической функции при 0 < a <1 и a >1

Тригонометрические функции

1. y = sin x .

Область определения функции: − ∞ < x < ∞,

множество значений:

−1 ≤ y ≤1.

Функция

принимает

наименьшее значение

y = −1

при

каждом

x = −π 2 + 2πk , где

k = 0,±1,±2,...,

и наибольшее значение y =1

при

каждом

x = π2 + 2πk , где k = 0,±1,±2,... Функция периодическая, период T = 2π , нечетная. Точки (πk,0), где k = 0,±1,±2,...– точки пересечения с осью Ох. График функции y = sin x изображен на рисунке.

y

1

3π	π		π	0	π	π	3π		π	x
− 2
	–	−	2		2		2	2
					-1
		Рис. 2.12. График функции y = sin x
					16

есть функция от независимой переменной х, определенной

(πk,π +πk ), периодиче-

2. y = cos x .	Область определения функции: − ∞ < x < ∞, множество значений:
−1 ≤ y ≤1.	Функция	принимает	наименьшее	значение	y = −1	при	каж-
домx = 2πk +π , где		k = 0,±1,±2,..., и	наибольшее	значение	y =1	при каждом
x = 2πk , где k = 0,±1,±2,... Функция периодическая, период T = 2π ,						четная.	Точ-

ки(π2 +πk,0), где k = 0,±1,±2,... – точки пересечения с осью Ох. График функцииy = cos x изображен на рисунке.

y 1

3π	π		π	0	π	π	3π		π	x
− 2
	–	−	2		2		2	2
					-1
		Рис. 2.13. График функции y = cos x

3. y=tg x. Область определения функции: (− π 2 + πk, π 2 + πk), где k = 0,±1,±2,...,

множество значений: (− ∞,∞).	Функция нечетная,	возрастает	на
(− π 2 + πk, π 2 + πk), периодическая	с периодом T = π .	Точки (πk,0),	где

k = 0,±1,±2,...– точки пересечения с осью Ох. y

−	3π	–π	−	π	0	π	π	3π	2π	x
	2			2		2		2

Рис. 2.14. График функции y=tg x

4. y = ctg x. Область определения функции: (πk,π +πk ), где k = 0,±1,±2,..., множество значений: (− ∞,∞). Функция нечетная, убывает на

ская с периодом T = π . Точки (π2 +πk,0), где k = 0,±1,±2,... – точки пересечения с осью Ох.

Обратная функция

Пусть y = f (x)

на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y Y единственное значение x X , при котором f (x) = y . Тогда полученная функция x =ϕ( y) , определенная на промежутке Y с областью значений X, называется обратной. Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то функция, обратная к функции y = f (x) , примет

17

вид y =ϕ(x) . Например, для функции y = a x обратной будет функция x = loga x или (в обычных обозначениях) y = log a x . Графики взаимно обратных функций

симметричны относительно биссектрисы первого и третьего углов.

На рисунке показаны графики взаимно обратных функций y = a x , y = loga x при a >1.

		y
		y = a x
		y = loga x
y=x	0	x
Рис. 2.15. Графики взаимно-обратных функций

Обратные тригонометрические функции
1. y = arcsin x . Область определения: −1 ≤ x ≤1, множество	значений:
−π 2 ≤ y ≤π 2 . Функция принимает наименьшее значение y = −π 2	при x = −1 и

наибольшее значение y =π2 при x =1 . Функция непериодическая, нечетная,

возрастает на промежутке −1 ≤ x ≤1.
2. y = arccos x . Область определения: −1 ≤ x ≤ 1 , множество	значений:
0 ≤ y ≤π . Функция принимает наименьшее значение y = 0 при x =1	и наиболь-

шее значение y =π при x = −1 . Функция непериодическая, общего вида, убывает на промежутке −1 ≤ x ≤1.

y

y

π

y = arcsin x

π

2

y = arccos x

π

2

0

-1

1

x

− π

-1

0

1

x

2

Рис. 2.16. Графики функций y = arcsin x и y = arccosx

Графики функций y = arcsin x и y = arccos x изображены на рисунке.

3. y = arctg x .

Область

определения: −∞ < x < ∞,

множество

значений:

−π 2 < y <π 2 .

Функция возрастает на промежутке −∞ < x < ∞,

непериодиче-

ская, нечетная.

18

z =ϕ(x)= sin x .

z =ϕ(x) со множест-

4. y = arc ctg x . Область определения: −∞ < x < ∞, множество значений: 0 < y <π . Функция убывает на промежутке −∞ < x < ∞, непериодическая, общего вида.

y = arctg x			y		y = arc ctg x	y
	π	2			π
	0			x		π	2
			−π
				2
					0		x

Рис. 2.17. Графики функций y = arctg x и y = arc ctg x

Сложная функция

Пусть на некотором множестве Х определена функция

вом значений Z, а на множестве Z – функция y = f (z), тогда функция y = f [ϕ(x)] называется сложной функцией от х, а переменная z – промежуточной переменной сложной функции. Например, функция y = log2 sin x – сложная функция, определенная на множестве sin x > 0 , так как y = f (z)= log2 z ,

Примеры решения задач

1. Найти область определения функций

а)

y =

1−2x +3arcsin 3x −1

2

б)

y =

x +2 +

1

4 − x

в)

y = log3 sin x +

4 − x2

г)

y =

log2 sin x

∆ а)

Область

определения

находится

из

системы неравенств: 1−2x ≥ 0 ,

−1 ≤

3x −1

≤1.

1

2

Решая первое неравенство,

получим x ≤

. Второе неравенство можно при-

2

1

вести к эквивалентному неравенству

−

≤ x ≤1. Объединение этих двух нера-

3

1

1

венств дает область определения функции X =

−

;

.

3

2

б) Имеем систему x +2 ≥ 0 , откуда x ≥ −2 ,

x < 4 . Следовательно, область оп-

4 − x > 0

= [− 2 ;4 ).

ределения является полуинтервалом X

19

в) Имеем систему	sin x > 0		. Решая первое неравенство, получим
	4 − x2	≥ 0

2πk < x < π +2πk ; решая второе, найдем x2 ≤ 4 , откуда x ≤ 2 и −2 ≤ x ≤ 2 . С по-

мощью числовой оси находим решение системы неравенств: 0 < x ≤ 2 , т.е. область определения функции X = (0;2].

г) Область определения Х найдем, решая неравенства log sin x ≥ 0 , sin x > 0 . Из первого неравенства следует, что sin x ≥1. Так как sin x не может быть больше

единицы, то	остается единственная возможность sin x =1. Следовательно,
x = π 2 +2πk ,	k = 0,±1,±2...

Таким образом, область определения функции есть множество дискретных точек на числовой оси.

2. Найти множество значений функций:

а) y = x2 −6x +5 ;

б)	y = sin x +cos x ;
в)	y =				x		;
		1+ x2
г)	y =		x		+1;
д)	y = 2 +3sin x .
∆ а)			Выделяя из					квадратного трехчлена полный квадрат, получим
y = x2 −6x +5 = (x −3)2 −4 .								Первое слагаемое при всех х является неотрицатель-

ным числом, поэтому функция принимает значения неменьшие – 4. Итак, множество значений функции – бесконечный промежуток [−4,∞].

б) Преобразуем функцию:

y =	2(	1	sin x +	1	cos x) =	2(sin	π	sin x +cos	π	cos x) =	π
		2		2			4		4		2 sin	4	+ x .

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е.

	π		≤1, то		π		≤ 2 . Итак, область значений функции y ≤ 2	или
sin x +	4			2 sin x +	4

− 2 ≤ y ≤ 2 .

в) Выразим х через у. Получим обратную функцию x = ϕ(y) , заданную неявно квадратным уравнением yx2 − x + y = 0 . Очевидно, область определения этой функции найдется из условия, что дискриминант квадратного уравнения дол-

жен быть неотрицательным D =1 − 4y2 ≥ 0 , то есть y2 ≤ 14 , y ≤ 12 , − 12 ≤ y ≤ 12 .

Итак, область значений данной функции Y = [−12;12].

г) Так как x при всех х является неотрицательным числом, то функция

принимает значения не меньшие 1. Итак, множество значений функции – бесконечный промежуток [1, ∞ ) .

д) Так как синус принимает значения, не превосходящие по модулю 1, то получаем неравенство sin x ≤1, или −1 ≤ sin x ≤1. Умножив все части этого не-

равенства на 3 и прибавив к ним по 2, имеем −3 ≤3sinx ≤3; −1≤ 2 + sin 3x ≤5. Следовательно, Y = [−1;5].

20

3. Построение графиков функций.

В дальнейшем будет показано, как проводить исследование функции и построение их графиков с помощью дифференциального исчисления. Здесь мы

рассмотрим некоторые приемы построения графиков функций с помощью пре-
образования графиков основных элементарных функций.
Правило 1.	Чтобы получить					график функции				y = f (x −a) из графика
y = f (x), нужно график функции						y = f (x)	сдвинуть вдоль оси Ох на а вправо,
если a > 0 , или на			a		влево, если a < 0 .
Примеры
Построить графики функций:								1		г) y =log (x −2)
а) y = (x −1)2 ;					б) y = x +1 ;		в) y =		;
								x + 2		2

∆ Графики данных функций построены соответственно на рисунке.

y

y = x2	y = (x −1)2
				y = x +1
		y

y = x

																										-1						0										x
					0					1								x
																									y
									y
													1															y = log 2						x
													y =		x
	y =	1
																																						y = log 2 (x − 2 )
		x + 2
				–2
							0												x				0
																												1						3						x

Правило 2. Чтобы получить ординату графика функции y = f (x)+ c

в точке x

из ординаты графика

y = f (x) в той же точке,

нужно график

y = f (x)

сдвинуть

вдоль оси Оу вверх на с, если с>0, или на

c

вниз, если с<0.

Примеры. Построить графики функций:

1

а) y = x 2 +1;

б) y = arctg x −1; в)

y =

−1;

г)

y = x −1 .

x

21

y

y = arctg x

y = x2 +1

y

π 2

y =arctgx −1

y = x 2

0

x

1

−1

−π

2

0

x

y

y

y =

1

y =

x

x

y =

x −1

1

0

x

0

x

–1

-1

y =

1

−1

x

Правило 3. Чтобы построить график функции y = f (x) , нужнографикфункции y = f (x) зеркально Примеры. Построить графики функций:

y = − f (x) из графика функции отразитьотносительноосиОх.

а) y = −x 2 ;	б) y = −sin x ;	в) y = − 1 ;	г) y = −log x .
		x	2
y	y = x 2	y
			y = sin x
		1
			x

0	x	3π	–	π	π	0	π	π	3π
		− 2			− 2		2		2
	y = −x2						-1	y = −sin x

		y	1				y
y = −	1		y =
				x				y = log 2	x
	x
	0				x
						0				x
							1
		–1						y = − log 2 x

22

Правило 4. Чтобы построить график функции y = f (−x) из графика функции y = f (x) , нужнографикфункции y = f (x) зеркальноотразитьотносительноосиОу.

Примеры. Построить графики функций: y =

− x , y = log2 (− x),

y = 2−x .

y =log2 (−x)

y

y

y = 2−x

y = 2 x

y =log2 x

y

y = x

y =

− x

0

x

x

0

–1

1

0

x

y =

0

y =

Правило 5. График функции y = kf (x) получается из графика функции f (x) растяжением в k раз (при k >1) или сжатием (при 0 < k <1) вдоль оси Оу.

Примеры. Построить графики функций:

y = 1

x ,

y = 2x 2 ,

y =

1

arccos x .

2

2

y

y = 2x2

y

y =

x

y =

1

arccos x

y

2

y = x2

y =

1

x

2

y = arccos x

x

x

0

-1

1

x

0

Правило 6.

График

функции

y = f (kx)

получается из

графика

функции

f (x) сжатием в k раз (при k >1) или растяжением (при 0 < k <1) вдоль оси Ох.

Примеры. Построить графики функций:

y = sin 2x , y = arcsin 2x ,

y =

x .

2

y = arcsin x

y

y

π

2

y =

x

y = arcsin 2x

x

y =

x / 2

0

-1

1

x

0

−

π

y

y = sin x

2

1

x

0

–π

π

π

π

−

π

2

4

2

-1

y = sin 2x

23

Правило 7. Чтобы построить график функции y =

f (x)

из графика функции

y = f (x), надо участки графика y = f (x), лежащие выше

оси

Ох, оставить без из-

менений, а участки ниже оси Ох зеркально отразить относительно этой оси.

Примеры. Построить графики функций: y =

x

, y =

log2 x

,

y =

sin x

.

y

y

y =

log2 x

y =

x

0

x

0

x

y = x

y = log x

y

y = sin

x

1

x

–π

−

π

0

π

π

2

2

y = sin x

-1

)

Правило 8. Чтобы построить график функции y = f (

x

из графика функции

y = f (x),

надо построить график функции y = f (x) при x

≥ 0 и отразить его зер-

кально относительно оси Оу.

Примеры. Построить графики функций: y =

x , y = log2

x

, y = sin

x

.

y

y

y = log 2

x

y =

x

0

x

0

x

					y
					1			y = sin x
−	3π	–π	−	π	0	π	π	3π	2π	x
	2			2		2		2
					-1

Очень часто сложные графики строятся с помощью последовательного применения нескольких правил 1-8. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Построить график функции y = x2 − 4x +1. Преобразуем квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат, к виду y =x2 −4x +1=(x2 −4x +4)+(1−4)=(x −2)2 −3.

24

Построения будем выполнять в следующем порядке: 1) график функции y = x2 считаем известным; 2) по правилу (1) строим график функции y = (x − 2)2 ; 3) по правилу (2) строим график заданной функции.

Аналогично строится график любого квадратного трехчлена.

	y
y = x2	y = (x −2)2

0

2

x

y = (x −2)2 −3

-3

Пример 2. Построить график y =

1 −

x

. Построение проведем в следующем

порядке: 1) график функции y =

x

считаем известным; 2) строим график y = −

x

по правилу (3); 3) строим график y =1 −

x

по правилу (2); 4) строим график за-

данной функции по правилу (7).

		y
		y = x
			y = 1 − x
-1	0	1	y =1 − x	x
		y = − x

Примеры для самостоятельного решения

Найти область определения функций.

5.1.y = 4 − x 2 + 1x

5.2.y = arccos x −1

2

5.3.y = xe1x

5.4.y = x − lg(2x − 3)

5.5.y = x − 2 cos 2x

5.6.y = lg(3x −1)+ 2 lg(x +1)

5.7. y =	x	−	sin x
	x − 2
	1
5.8. y = lg(1 − x)+			x + 2

25

Найти область значений функций.

5.9.y = 5x

5.10.y = −x2 + 8x −13

5.11.y =1 + 3cos x

5.12.y = 3 sin x + cos x

5.13.y = x + 2

x− 3

5.14.y = 1 +6xx 2

Выяснить четность (нечетность) функций.

5.15.y = x + tg x

5.16.y = x2 + cos x

	5.17.	y = x2		x −1
			(x −1)2

5.18.y = x2 3 x + 2 sin x

5.19.y = 2 x + 2−x

Найти наименьший период функций.

5.24.y = sin 4x

5.25.y = sin x + cos 2x

5.26.y = cos2 3x

5.27.y = tg x + ctg x

5.20.y = x − 5e x2

5.21.y = x2 + 5x

5.22.y = lg x + 3

x− 3

5.23.y = lg(x + 1 + x2 )

5.28.y = sin 2 2x

5.29.y = sin 3x + sin 2x

Построить графики функций.

5.30.y = −2x2

5.31.y = −2(x + 3)2

5.32.y = x2 + 7x −15

5.33.y =3x2 −15x + 24

5.34.y = 2x

5.35.y = − 2x

5.36.y = x 2+1

5.37.y = x +1

x− 3

5.38.y = log2 ( 3 − 2x)2

5.39. y = x2 + x − 2 5.40. y = (1 − x)x +1 5.41. y = x2 − 2 x +1

5.42. y =		1
				x
5.43. y =		1
			x +1
5.44. y =		1
				x			−1

5.45.	y = cos x + sinx
5.46.	y = lg cos x

5.47. y = log2 x2 log2 x

26