Примеры для самостоятельного решения

Найти следующие пределы:

	6.1. lim	sin 7x					4			x −1
							6.6. lim
		3x
	x→0						x→1 3			x −1
	6.2. lim	sin 5x
							6.7. lim (			x 2 + x +1 − x 2 − x )
		sin 8x
	x→0						x→∞
	6.3. lim tgx						6.8. lim(1 + 2x) x2
											sin x
	x→0	x					x→0
	6.4. lim	7x2 −16x −15					6.9. lim ( sin x)tgx
							x→	π
		2x2 5x −3
	x→3
								2
	6.5. lim	x + 3 − 2 x +1					6.10. lim xsin x
			x2 − 9				x→0
	x→3

2.7. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной

Понятие производной функции

Производной функцией f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при ∆x → 0 (если этот

предел существует). Символически это записывают так:									′	∆ y	или
									f (x0 ) = lim	∆ x
	f(x0 + ∆ x) − f(x0	)							∆ x→0
′			.	Кроме этой записи производной существует еще
f (x0 ) = lim
	∆ x
∆ x→0				dy		df(x)
			′
несколько обозначений:			y ,		,			. Иногда в обозначении производной ис-
				dx		dx

пользуют индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например y′x (производная взята по переменной x). Нахождение производной

функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Имеется теорема, устанавливающая зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке: Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема неверна: функция может быть непрерывной в точке x0 и, тем не менее, в этой точке не иметь производной. Так, например, функция

y =

x

непрерывна в точке x=0, так как lim

x

= 0 , но y′ = lim

∆ y

= lim

x + ∆ x

−

x

∆ x

∆ x

x→0

∆x

∆ x→0

∆ x→0

при x=0 не существует, так как отношение

равно 1 при ∆ x > 0

и –1 при

∆x

∆ x < 0 , т.е. не имеет предела при ∆ x → 0 .

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется

дифференцируемой на этом промежутке.

32

Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в некоторой точке x0 , исходя из определения, необходимо:

1)значению аргумента x в точке x0 дать некоторое приращение ∆x и найти соответствующие приращение функции ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) ;

2)составить отношение приращения функции к приращению аргумента ∆∆yx ;

3)вычислить предел отношения при ∆x → 0 , если он существует.

Примеры

1. Исходя из определения производной, найти производную y =

x .

∆ Находим

приращение

функции:

∆y =

x + ∆x −

x .

Отсюда

∆y

= x + ∆x − x

и lim

∆y

= lim

x + ∆x −

x . Вычисляя предел, имеем

∆x

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

y′ = lim

( x + ∆x − x )(

x + ∆x +

x ) = lim

x + ∆x − x

= lim

x

1

=

1

∆x→0

∆x( x + ∆x + x )

∆x→0

∆x( x + ∆x + x )

∆x→0

+ ∆x +

x

2 x

2. Исходя из определения производной, найти производную y =

1

.

x

∆ Находим приращение функции:

∆y =

1

−

1

=

x − x − ∆x

= −

∆x

x + ∆x

x

x(x + ∆x)

x(x + ∆x)

y ′ =

lim

∆y =

lim (−

∆x

)

= − lim

1

= −

1

Отсюда

∆x( x + ∆x) x

x 2 .

∆x →0

∆x

∆x →0

∆x →0 ( x + ∆x) x

Геометрически производная функции f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f(x) в точке М(x0;f(x0)).

у

											f ′(x0 ) = tgϕ
					M
	y=f(x)
		ϕ0
						x0			х

Физический смысл производной

Пусть функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой, т. е. y = f (x) – путь, пройденный точкой от начала движения за время t. За промежуток времени ∆t = t −t0 точка М пройдет отрезок пути ∆y = f (t0 +∆t) − f (t0 ) .

Отношение ∆∆yt называется средней скоростью движения (Vcр.) за время ∆t ,

предел отношения ∆∆yt при ∆t → 0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени t0 (Vмгн.).

33

6. (tgx)′ =

Правила дифференцирования

1)Производная постоянной равна нулю, т.е. c′ = 0 .

Вдальнейшем будем полагать, что u(x) = u , v = v(x) – функции, имеющие

производные. Тогда справедливы следующие формулы:

2)(u ± v)′ = u′± v′;

3)(u ×v)′ = u′v − v′u ;

4)(cu)′ = cu′;

5)u = u′v −2 uv′ ;v v

6)	Если y = f (u) , u = u(x) , т.е. y = f (u(x)) , где функции f (u) и u(x)	имеют про-
изводные, то y′x = y′u ×u′x (правило дифференцирования сложной функции).
7)	Если x =ϕ( y) является обратной к функции y = f (x) , то x′y =	1	(правило

yx/

дифференцирования обратной функции).

Производные основных элементарных функций

1.

(xa )′ = axa−1 (a – любое число), в частности

1 ′

−1

−2

1

1

1

−

1

; ( x)′ = (x 2 )′ =

x

= (x

) = −x

= −

2

=

x2

2

x

(loga x)′ =

1

loga

e =

1

(ln x)′

=

2.

x ln a , в частности

x

3.(a x )′ = a x ln a , в частности (e x )′ = e x

4.(sin x)′ = cos x

5.(cos x)′ = −sin x

1

cos2 x

7.(ctgx)′ = − sin12 x

8.	(arcsin x)′ =	1
	1 − x2
9.	(arccos x)′ = −	1

1 − x2

10.(arctgx)′ = 1 +1x2

11.(arcctgx)′ = −1 +1x2

1

2 x

1 x .

Примеры применения формул и правил дифференцирования для нахождения производных различных функций

1. Найти производную функции.

f (x) = x3 + 7x + sin x −tgx + log3 x −3ln x + arctgx

34

∆ Заданная функция есть алгебраическая сумма нескольких функций. Применим правило (2) и формулы производных элементарных функций, тогда получим:

f ′(x) = (x3 )′ + (7x)′ + (sin x)′ − (tgx)′ + (log3 x)′ − (3ln x)′ + (arctgx)′ =

=3x2 +7 +cos x − cos12 x + ln 31×x − x3 +1+1x2

2.Найти производную функции f (x) = x x (3ln x − 2)

∆ Перепишем заданную функцию в виде f (x) = x 32 (3ln x − 2) . Применяя правило (3), будем иметь:

f '(x) =(x 32 )'(3ln x −2) +x

32 (3ln x −2)'=

3

x 12

(3ln x −2) +x 32

×

3

=

2

x

=3x 12 +

9

x 12

ln x −3x 12

9

=

x ln x

2

2

3.Найти производную функции f (x) = x2 −1 .

x2 +1

∆ Для вычисления производной заданной функции используем правило (5), тогда:

f '( x) =

( x2

−1)'( x2 +1) −( x2 −1)( x2 +1)'

=

2x( x2 +1) −

( x2 −

1)2x

=

4x

( x2 +1)2

( x +1)2

( x +1)2

а)

4. Вычислить производные сложных функций

y = earctgx

д)

y = arcsin

2x2

, где

x

<1

б) y = tg 2 ( x2 +1)

1 + x4

в)

y = (2x2

+5)4

е)

y =

sin x

+ ln

1+cos x

г)

y = ln(x + x2

+1)

cos2 x

sin x

∆ а) Данную функцию представим в виде eu , где u = arctgx . Тогда по пра-

вилу (6):

1

′

′

′

= e

u

1 + x2

y (x) = y

(u)u

(x)

1

Заменив u на arctgx , окончательно получим y′(x) = earctgx

1 + x2

б) Данную функцию представим в виде y = u 2 , где u = tgv , a v = x2 . По правилу 6) имеем:

′

′

′

′

2

′

′

2

′

1

2

1

+1)

= 2u × cos2

v ×2x = 2tg(x

+1) cos(x 2 +1)

× 2x

=

y (x) = y (u)u (v)v (x) = (u

) (tgv) (x

= 4xtg(x

2

+1) ×

1

cos

2 (x 2 +1)

Разумеется, нет необходимости в таких подробных записях. Обычно результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

в) y' = 4(2x3

+ 5)3 × 6x 2 = 24x 2 (2x3 + 5)3

г) y' =

1

(x + x2 +1)' =

1

(1+ 2x

) = =

+

1

2 +

× x2 +1+x

= 1

+

x + x2 +1

x + x2 +1

2 x2 +1

x

x

x

2

+

x

2

1

1

1

35

д) y′ =

1

×

2x

2

′

=

1

×

(1 + x 4 )4x −

2x 2 × 4x

3

2

=

1 −

2x 2

2

1 + x 4

1 −

2x 2

(1 + x

4 ) 2

1 + x 4

1 + x 4

=

1

× 4x(1−x4 )

=

4x(1−x4 )

=

4x

1−2x4 +x8

1+x4

(1

−x4 )(1+ x4 )

1

+x4

е)

Преобразуем данную функцию

y =

sin x

+ ln(1 +sin x) −ln cos x , используя

cos2 x

свойство логарифма, тогда:

y

′

=

cos2 x ×cos x

−sin x ×2cos(−sin x)

+

1

cos x −

1

(−sin x) =

cos2 x + 2sin 2 x

+

cos4 x

1+sin x

cos x

cos3 x

+

cos x(1 −sin x)

+

sin x

=

cos2

x + 2sin

2 x

+

1−sin x

+

sin x

=

cos2

x + 2sin 2

x

+

1

=

2

1

−sin 2 x

cos x

cos3

x

cos x

cos x

cos3 x

cos x

cos3 x

5. Найти производную степенно-показательной функции y = f (x)ϕ( x) .

∆ Найдем ln y =ϕ(x) ln f (x) . По правилу дифференцирования сложной функ-

ции получим:

′

y

/

′

′

′

+ϕ(x)

f (x)

y

f (x)

=ϕ (x) ln f (x) +ϕ(x)[ln f (x)] =ϕ

(x) ln f (x)

Учитывая, что y = f (x)ϕ( x) , получаем следующую формулу для производной показательно-степенной функции:

y	′	=	f (x)	ϕ( x)	′	f (x)
				ϕ	(x) ln

Вычислим по этой в) y = (cos x)sin x .

		′
	+ϕ(x)	f (x)
		f (x)
	формуле		производные: а) y = x x ; б) y = xsin x ;

а) Здесь f (x) = x и ϕ(x) = x , поэтому y′ = x x 1×ln x + x ×	1		= x x (ln x +1) ;
	x

	б)	f (x) = x , ϕ(x) = sin x , y′ = x	cos x ln x +sin x ×			;
			sin x		1
					x
				sin x			(−sin x)
	в)	f (x) = cos x , ϕ(x) = sin x , y′	= (cos x)	cos x ln cos x + sin×				.
							cos x

Примеры для самостоятельного решения

Найти производные следующих функций:

7.1.y = 4 x3 + x52 −sin x + 2

7.2.y = 410x − 5 6x

7.3.y = 2x −sin 2x

7.4.y = 5 x arctg x

7.5.y = 21 tg 2 x + ln cos x

7.6. y = arccos 9 − x2 9 + x2

7.7.y = tg2x + 23 tg 3 2x + 15 tg 5 2x

7.8.y = xln x

7.9.y = x 1x

7.10.y = x2 x x2 ln x

36

Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной и обозначается

dy=f΄(x)∆x

Если у = х, то по этой формуле dy=dx=x´∆x=∆x

Поэтому дифференциал функции можно записать в виде dy=f΄(x)dx

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной.

1.dc = 0

2.d(cu) = cdu

3.d(u ± v) = du ± dv

4.d (uv)= udv + vdu

5.d(u/v) = vdu −udv

v2

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим функцию y = f(u), где аргумент u = φ(x) сам является функцией от х, то есть рассмотрим сложную функцию y = f(φ(x)). Если функции y = f(u) и u = φ(x) дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна y' = f 'u(u)u'x. Тогда дифференциал функции

dy = f '(x)dx = f 'u(u)u'xdx = f '(u)du , так как u'xdx = du. Итак dy = f 'udu.

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от независимой переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (то есть неизменности формы дифференциала).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Если приращение ∆x аргумента мало по абсолютной величине, то ∆y≈dy и f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x.

Это приближенное равенство позволяет вычислить функцию в точке х+∆x по известным ее значению и значению ее производной в точке х.

Абсолютная погрешность приближенного значения:

∆=|fтабл – fприбл|,

а относительная погрешность вычисляется по формуле:

δ =	f табл − f прибл 100 0 0 , где fтабл – табличное значение функции.
	f прибл

Примеры

1. Вычислить приближенно значение функции sin32°.

∆ Здесь f(x) = sin x , f '(x) = cos x , x=π/6, ∆x=π/90.

π

+

π

≈ sin

π

+ cos

π

×

π

= 0,5

+

3

× 0,0349

= 0,5302 .

Тогда sin

6

6

6

90

2

90

37