2.9.2. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям производится по формуле ∫u dv = uv − ∫v du .

С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫u dv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du . Применение этой формулы целесообразно в тех

случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за и берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

9.37. Найти интеграл ∫ln x dx .

dx

∆ Положим

u = ln x ,

dv =

dx;

тогда

v = x ,

du =

.

Используя

формулу,

dx

x

получаем ∫ln x dx = x ln x - ∫x

= x ln x - ∫dx = x ln x - x + C .

x

9.38. Найти интеграл ∫x ex dx .

∆ Положим

u = x ,

dv = ex dx ,

тогда

du = dx ,

v = ex .

По формуле имеем

∫x ex dx = x ex − ∫e x dx = x e x − e x + C .

9.39. Найти интеграл ∫x cos x dx .

∆ Положим

u = x, dv = cos x dx , тогда du = dx, v = sin x . По формуле получаем

∫x cos x dx = x sin x - ∫sin x dx =x sin x + cos x + C .

Обобщая

1.38,

1.39,

заметим,

что

интегралы

вида

∫P(x)eax dx, ∫P(x) sin ax dx, ∫P(x) cos ax dx , где Р(х) – многочлен, вычисляются, когда за и принимают Р(х), а за dv – соответственно выражение eax dx, sin ax dx, cos ax dx .

Для интегралов вида ∫P(x) ln x dx, ∫P(x) arcsin x dx, ∫P(x) arccos x dx за u принимаетсясоответственнофункция ln x, arcsin x, arccos x , азаdv – выражениеP(x)dx.

9.40. Найти ∫x2 sin x dx .

∆ Положим u = x2 , sin x dx = dv ; тогда du = 2x dx , v = −cos x . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

∫x 2 sin x dx = -x2 cos x − ∫(− cos x)2x dx = −x 2 cos x + 2∫x cos x dx .

Второй интеграл мы уже вычисляли (пример 1.39), следовательно

∫x2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C .

9.41. Найти ∫(x2

+1)ln x dx .

∆ Положим u = ln x, dv = (x2

+1)dx ; тогда

du =

dx

, v =

x3

+ x . Применяя форму-

x

3

3

1

3

лу, получаем

∫

(x 2

+1)ln x dx =

x

+ x ln x −

∫

x

+ x dx

=

x

3

3

3

1

3

x

3

=

x

+ x ln x −

∫

x 2 dx −

∫

dx =

x

+ x ln x

−

− x + C .

3

9

3

3

52

Интегралы ∫eax sin bx dx и ∫eax cos bx dx приходится дважды интегрировать по

частям. Повторное интегрирование по частям приводит к первоначальному интегралу, и получается равенство, из которого находят выражение для неполного интеграла.

	9.42. Найти интеграл I = ∫e2 x cos 3x dx .				1
	∆ Приняв			u = e2 x , dv = cos 3x dx , откуда du = 2e2 x dx, v =		sin 3x , получаем
			2		3
	1
I =		e2 x sin 3x −		∫e2 x sin 3x dx .
	3		3

Снова применим интегрирование по частям:

∫e2 x sin 3x dx = −

1

cos 3x e2 x

+

2

∫e2 x cos 3x dx .

3

1

3

2

4

Тогда получим I =

e2 x sin 3x +

e2x

cos3x −

I . Решая это уравнение относитель-

9

3

9

3

2

но I, окончательно получим I = ∫e2 x cos 3x dx =

e2 x

sin 3x +

e2 x cos 3x +C .

13

13

9.43. Найти интеграл ∫

a 2 − x 2 dx, a > 0 .

∆ Положим u =

a2 − x2 ,

dv = dx , откуда du = −

x dx

,

v = x .

a2 − x2

Следовательно,

∫

a

2

− x

2

dx = x a

2

− x

2

− ∫

− x2 dx

2

= x

a

2

− x

2

− ∫

a2

− x2 − a2

a

2

− x

a

2

− x

2 dx

или ∫ a2 − x2 dx = x

a2

− x2 − ∫

a2

− x2 dx + a2 arcsin x .

a

Отсюда получаем 2∫

a2

− x2 dx = x

a2

− x2

+ a2 arcsin x

, и окончательно

a

∫

a2

− x2 dx = 1 x a2 − x

2 + a2

arcsin x +C .

2

2

a

Найти интегралы:

9.44. ∫(x +1)ln(3x −1)dx

9.50. ∫(x2 +2x +3)cos x dx

9.45. ∫x2 sin5x dx

9.51. ∫x5ex2 dx

9.46. ∫(x +1)ex dx

9.52. ∫sin(ln x)dx

9.47. ∫x2 arctg x dx

9.53. ∫ln 2 x dt

9.48. ∫x arctg 2x dx

9.54. ∫x2 e3x dx

9.49. ∫(x +1) 3x dx

9.55. ∫

ln x

dx

x

3

53

2.9.3. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида Pn(x)/Qm(x), где Pn(x) – многочлен степени n, а Qm(x) – многочлен степени m. Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (n < m). Дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя

	(n ≥ m) . Например,	x4 + 2x +1		– неправильная дробь, а	x2 +1		– правильная
		x2 +3x +5			x5 + 4x2 +1

дробь. Неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Например, разделив числитель неправильной дроби

x4

+ 2x +1

на знаменатель,

x2

+3x + 5

x4 + 2x +1

x2 +3x +5

x4 +3x3 +5x2

x2 −3x + 4

−

3x3 −5x2 + 2x

+1

−3x3 −9x2 −15x

4

x2 +13x +1

4x2 +12x + 20

x

−19

представим ее в виде суммы

x4 + 2x +1

= x

2

−3x + 4

+

x −19

.

x2 +3x +5

x2 +3x +5

Перед интегрированием рациональной дроби Pn(x)/Qm(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1. Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, то есть представить в виде

	Pn ( x )	= M n−m ( x ) +	R( x )	,
	Qm ( x )		Qm ( x )

где R(x) – остаток (многочлен степени меньше m).

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

s

s−1

2

2

µ−1

p2

Qm (x)= (x − a)

(x − a)

...(x

+ px + q) (x

+ px + q)

... , где

− q < 0 ,

4

то есть трехчлен x2

+ px + q имеет комплексные сопряженные корни.

3. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

R(x)

A1

A2

As

B1x +C1

B2 x +C2

+...+

Br x +Cr

=

+

+...+

+...+

+

+...

Qm (x)

(x −a)s

(x −a)s−1

x −a

(x2 +px+q)r

(x2 +px+q)r−1

x2 +px+q

4. Вычислить неопределенные коэффициенты A1,

A2,

...As,

B1, B2,

…Br,

C1, C2, …Cr, применяя метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

•правую часть разложения правильной дроби приводят к общему знаменателю (он равен знаменателю левой части);

•затем отбрасывают знаменатели обеих частей равенства;

•приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и получают систему уравнений первой степени относительно коэффициентов;

•решая полученную систему, определяют эти коэффициенты.

54

Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. При этом могут представиться следующие случаи:

Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни. 9.56. Найти интеграл ∫ x(xx+−23)dx .

∆ Данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде:

	x + 2	=	A	+	B	.
	x(x −3)				x −3
			x
Освобождаясь от знаменателей получим:
x + 2 = A(x −3) + Bx = (A + B)x −3A .							( )

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

А + В = 1,

– 3А = 2

из которой найдем А = – 2/3, В = 5/3.

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:

	x + 2	= −	2	+	5	.
	x(x −3)		3x		3(x −3)

Неизвестные коэффициенты А, В можно было определить и иначе. Надо в уравнении ( ) придать x столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае – два частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, обращающие в ноль знаменатель. Применим этот прием к уравнению ( ). Знаменатель обращается в ноль при х = 0 и х = 3. Положим в ( ) х = 0, тогда 2 = – 3А, то есть А = – 2/3. Полагая х = 3, получаем 5 = 3В, то есть В = 5/3.

В результате получились те же значения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом:

∫

x + 2

2

∫

dx

5

∫

dx

2

5

+C .

dx = −

x

+

= −

ln

x

+

3 ln

x −3

x( x −3 )

3

3

x −3

3

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, то есть знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

9.57. Найти интеграл ∫

x2

+1

dx .

3

(x −1)3

(x −1) (x + 3)

∆ Множителю

соответствует

сумма

трех

простейших дробей

A

B

C

D

+

+

, а множителю х + 3 – простейшая дробь

. Итак

(x −1)3

(x −1)2

(x −1)

x + 3

x2

+1

A

B

C

D

=

+

+

+

.

(x −1)3 (x + 3)

(x −1)3

(x −1)2

(x −1)

x + 3

55

Освободимся от знаменателя:

x2 +1 = A(x + 3)+ B(x −1)(x + 3)+ C(x −1)2 (x + 3)+ D(x −1)3 .

Знаменатель равен нулю при x =1 и x = −3 . Полагая x =1, получаем 2 = 4A , то есть A =12 . При x = −3 имеем 10 = −64D , то есть D = −5 / 32 .

Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, то есть при х3. В левой части нет члена с х3, то есть коэффициент при х3 равен нулю. В правой части коэффициент при х3 равен C+D. Итак C + D = 0 , откуда C = 5 / 32 .

Осталось найти коэффициент В. Для этого положим x = 0 , получим:

1 = 3A − 3B + 3C − D или 1 = 23 − 3B + 1532 + 325 , то есть B = 83

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид:

x2 +1

1

1

3 1

5 1

5 1

=

+

+

−

(x −1)3 (x + 3)

2

(x −1)3

8

(x −1)2

32

(x −1)

32 x + 3

Таким образом получим

∫

x2 +1

1

∫

dx

3

∫

dx

5

∫

dx

5

∫

dx

1

3

5

x −1

dx =

+

+

−

= −

−

+

ln

+C

(x −1)3 (x +3)

2

(x −1)3

8

(x −1)2

32

(x −1)

32

x +3

4(x −1)2

8(x −1)

32

x +3

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, то есть разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

9.58. Найти интеграл ∫

x

+1

dx .

3

x

−1

−1 = (x −1)(x 2 + x +1). Тогда:

∆ Разложим знаменатель на множители:

x3

x +1

=

A

+

Bx + C

x3 −1

x −1

x 2 + x +1

Освобождаясь от знаменателя, получаем:

x +1 = A(x2 + x +1)+ (Bx + C)(x −1).

При x =1 имеем 2 = 3A , то есть A = 2 3 . Сравнивая коэффициенты при х2 и х,

получаем систему уравнений:

A + B = 0

A + C − B =1

из которой найдем B = − 2 3, C = −1/ 3 . Следовательно:

x +1

2

dx

1 2x +1

2

1

d(x2 +x +1)

2

1

2

∫

dx =

∫

−

∫

dx =

ln

x −1

−

∫

=

ln

x −1

−

ln

x

+x

+1

+C

x3 −1

3

x −1

3

x2 +x +1

3

3

x2 +x +1

3

3

9.59. Найти интеграл ∫

dx

.

2x

2

3

− 2x +

∆ Выделим полный квадрат у знаменателя. Имеем:

		2					2					3						2				1			1					3			1					1			2		5
	2x		−2x	+3	= 2 x			−x +							= 2 x				−2×					x +					+			−			= 2 x −							+
																																						2					4
												2										2			4					2			4
		dx							dx										dt														t							2x −1
∫				=	1	∫(x −					+ 5					=	1					=		1	2			arctg							=	1	arctg							+ C .
	2x2 − 2x +			3	2			1	2	)2				4			2 ∫t 2 +			5	4			2	5								5	2		5						5

56

9.60. Найти ∫ 2 4x + 5 dx .

x + 2x + 3

∆ Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2

исделаем заменупеременной, тоесть x +1 = t . Тогда x = t −1, dx = dt имыполучим:

4x + 5

4x + 5

4(t −1)+ 5

4t +1

2t

dt

∫

dx

= ∫

dx = ∫

dt = ∫

dt = 2∫

dt +∫

=

x2 + 2x + 3

(x +1)2 + 2

t 2 + 2

t 2 + 2

t 2 + 2

t 2 + 2

= 2∫

d (t 2 + 2)

+ ∫t 2

dt

2

1

t

2

1

x +1

+ C .

t 2 + 2

+ 2 = 2 ln t

+

2 +

2 arctg

2

=2 ln x

+ 2 x + 3 +

2 arctg

2

Рассмотрим пример на интегрирование неправильной дроби.

9.61. Найти ∫

x3 + x2

dx .

x

2

− 6x +

5

∆ Так как дробь

x3

+ x2

неправильная,

то делением числителя на знаме-

x2 − 6x + 5

натель представим ее в виде

x3 + x2

= x + 7 +

37x − 35

. Тогда

x2 − 6x + 5

x2 − 6x +

5

∫

x3 + x2

dx = ∫(x + 7)dx + ∫

37x −35

x2

7x +∫

37x −35

dx =

+

dx .

x2 −6x +5

x2 −6x +5

2

x2 −6x +5

Нахождение интеграла от неправильной дроби свелось к нахождению инте-

грала от правильной дроби,

то есть ∫

37x −35

dx. Так как x2 −6x +5 =(x −1)(x −5), то

2

x −6x +5

представим эту дробь в виде

37x − 35

=

A

+

B

, освобождаясь от знаме-

x 2 − 6x + 5

x −1

x − 5

нателя, имеем 37x − 35 = A(x − 5)+ B(x −1).

Если x =1 , то 2 = −4A , то есть A = −

1

, если x = 5 , то 5 30 = 4B , B =

75

.

2

2

Итак ∫

37

x − 35

dx = −

1

∫

dx

+

75

∫

dx

= −

1

ln

x −1

+

75

ln

x − 5

, окончательно:

2

x −

x −

x

− 6x + 5

2

1

2

5

2

2

							∫		x3 + x2		x2
										dx =
									x2 − 6x + 5		2
Найти интегралы:
9.62. ∫					dx
		x	2	+ x − 2
9.63. ∫				dx
		5x		2	− 7
9.64. ∫				2x + 3
								dx
	x2 + 3x −10

9.65.∫ x2 − 5x + 9 dx

x2 − 5x + 6

9.66. ∫			x2 dx
	x	2	− 4x + 3

+ 7x −

1

ln

x −1

+

75

ln

x − 5

+ C .

2

2

9.67. ∫

dx

x

3

−8

9.68. ∫

5x3 −17x2 +18x − 5

dx

(x −

1)

3

(x − 2)

9.69. ∫

x2 + x +1

dx

x

3

−

2x

2

+ 4x −8

9.70. ∫

x − 3

dx

x

2

−

4

9.71. ∫ dx x2 − 4

57

2.9.4.Интегрирование некоторых видов иррациональностей

итригонометрических функций

9.72.Найти интегралы:

а) ∫

x

2

dx

; б)

∫

x dx

2

+ 4x + 5

8 + 4x − 4x

+ 4x + 5 = (x + 2)2

∆ а) Преобразуем квадратный трехчлен к виду x 2

+1. Тогда

полагая t = x + 2 , сведем искомый интеграл к табличному.

∫

x

2

dx

= ∫

t

dt2

= ln t + t 2 +1 + C = ln x + 2 + x2 + 4x + 5 + C .

+ 4x + 5

+1

1 − t

б)

Так

как

8 + 4x − 4x2

= 9 − (1 − 2x)2 ,

то

положим

1 − 2x = t .

Тогда

x =

,

1

2

dx = −

dt

и, следовательно,

∫

x dx

= − 1

∫

1 − t 2 dt = − 1 ∫

dt

2 +

1

∫

t dt

2 .

2

8

4 x

2

+ 4 x −

4

9 − t

4

9 − t

4

9 − t

Первый интеграл – табличный, второй сводится к табличному заменой z = 9 − t 2 :

∫	8	x dx	2	= −	1 arcsin	t − 1	∫ z − 12 dz = −	1 arcsin	1 − 2 x	−	1	8 + 4 x − 4 x 2 + C.
		+ 4 x − 4 x			4	3 8		4	3		4

9.73. Найти ∫sindxx .

∆ Положим t = tg 2x , тогда

x

2

x

2 tg

2t

1 − tg

1 − t 2

2

sin x =

=

,

cos x

=

2

=

, x = 2 arctg t, dx =

1 + tg

2 x

1 + t 2

1 + tg

2 x

1 + t 2

2

2

2

x

Следовательно,

∫

dx

= ∫

1 + t

2dt

= ∫

dt

= ln

t

+ C = ln

tg

+ C .

2

sin x

1 + t

2t

t

2

9.74. Найти ∫sin 3x cos 5x dx .

∆ Так как sin 3x cos 5x =

1

(sin 8x − sin 2x), то

2

∫sin 3x cos 5x dx =

1

∫sin 8x dx −

1

∫sin 2x dx = −

1

cos 8x +

1

cos 2x

16

2

2

4

Найти интегралы:

2dt .

1 + t 2

+ C .

9.75. ∫

x 2

dx

9.80. ∫

dx

2 − x

cos x

9.76. ∫

dx

9.81. ∫

dx

1

+

x

1

− sin x

9.77. ∫

dx

3

9.82. ∫sin 2x cos 5x dx

x +

x

9.83. ∫sin

3

x dx

9.78. ∫

5 x − 3

2 x 2

+ 8 x + 1 dx

9.84. ∫sin 2

x cos4 x dx

9.79. ∫

dx

x

2

+ 2 x + 5

58