50. Действие периодической силы на затухающий гармонический осциллятор. Резонанс.

Действие на колебательную систему постоянной силы не приводит к изменению характеристики колебаний. Если на систему действует изменяющееся с течением времени сила, то по 2-му закону Ньютона уравнение принимает вид :

F – амплитуда внешней силы

–частота внешней силы

Решение этого уравнения имеет вид:

Вывод: в системе возникают колебания с частотой равной частоте внешних сил, при этом амплитуда колебаний определяется формулой:

–коэффициент затухания

Амплитуда достигает максимального значения при некоторой частоте называемой резонансной частотой.

Резонансом называется увеличение амплитуды колебаний при достижении системы частоты равной резонансной частоте.

При резонансе амплитуда колебаний опред-ся ф-ой:

Изменение амплитуды колебаний при приближении частоты к резонансной характеризуется графиком который называется резонансными кривыми, для разных коэффициентов затухания эти кривые имеют вид:

Явление резонанса приводящее к увеличению амплитуды колебаний приводит к выходу из строя механических элементов систем, поэтому в механике его необходимо избегать используя демпферные устройства которые гасят колебания.

51. Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты и направления. Векторная даграмма.

Гармонические колебания можно представить графически с помощью вращающегося вектора амп­литуды (рис. 1.6.1). Вектор А, равный по модулю амплитуде колебаний, равномерно вращается про­тив часовой стрелки вокруг оси О, перпендикуляр­ной к плоскости чертежа, с угловой скоростью о). Ес ли в момент времени t 0 угол между вектором А и осью Ох равен ф_х, то проекция В конца этого вектора на ось Ох совершает гармонические колебания по за­кону х =А cos (со* + ф_х).

5°. Если одновременно совершаются два гармониче­ских колебания одинаковой частоты и разных ампли­туд:

х₁ = А_х cos (cot + ф₂) и х₂ — А₂ cos (cof + ф₂),

то результирующее колебание со­вершается с той же частотой по гар­моническому закону

х — A cos (ш£ + ф).

Для отыскания А и ф пользуют­ся методом векторных диаграмм, основанным на том, что в каждый момент времени вращающиеся век­торы амплитуд складываемых ко­лебаний (Aj и А₂) и результирую­щий вектор А связаны соотношением А = Aj + А₂- Все три вектора вращаются с одинаковой угловой

скоростью со, так что их взаимное расположение не зависит от време­ни. Из рис. 1.6.2, соответствую­щего моменту времени t = 0, вид­но, что

А² = а\ + а\ + 2А_ХА₂ cos (ф₂ - ф_:) и

tgm= A^sin(Pi^+A2^sin(P2 А_х cos (p_t +А₂ cosq>₂ *

Если ф₂ - Ф! = 2пп (п = О; ±1; ±2;...), то А ^ + А₂; если Ф₂ - Фх = (2п + 1)тт (п = О; ±1; ±2; то А = | А₁ - Л₂ |. В общем случае | А_х - А₂1 < А < А₁ + А₂

52. Сложение гармонических колебаний разной частоты. Биения.

При наложении (<суперпозиции) двух гармониче­ских колебаний х_х =А₁ cos (Ojt +- ф_г) и х₂ =А₂ cos (со₂t + ф₂), имеющих разные частоты и амплитуды, результирую­щие колебания не являются гармоническими. Их мож­но представить в следующей форме:

X = Х₁ + Х₂ =A(t) COS [CDjf + <p(f)]>

где

A²(t) = a\ + A* + 2A*A₂ cos - ф_х],

tg <p(0 = ^Al^Sin(pl^+A2^sin^(Q

А₁соБф₁ +A₂cosa|/(#)

и

v(() = (to₂ - co^t + <p₂.

С физической Точки зрения такое представление ре­зультирующих негармонических колебаний имеет смысл только при наложении гармонических колеба­ний, частоты которых достаточно близки- В этом слу­чае A(t) и ф(£) — медленно меняющиеся функции вре­мени, а колебательный процесс называют биениями. Величина A(t) периодически изменяется в пределах от

К - Л₂\ до А₁+А₂ с частотой v₆ = |v₂ - vj = i |co₂ - cij,

называемой частотой биений.