01_Физические_основы_механики

Шар отражается о стенки, движется в противоположном направлении с той же по величине скоростью

m1

r

m1

r

2

V1

+

m2

1 −

V2

ur =

m2

≈ 2

m1

Vr ≈ 0.

m

2

m2

1

1

+1

m2

Стенка остается неподвижной.

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругим ударом называется столкновение тел, при котором оси соединяются вместе и движутся как одно тело или покоятся.

Запишем закон сохранения импульса m1V1 + m2V2 = (m1 + m2 )ur.

Найдем скорость тела после неупругого удара ur = m1V1 + m2Vr2 .

(m1 + m2 )

Найдем кинетическую энергию системы до удара и после уда-

ра				2			2				(m + m	)ur2
	T		m V			m V			T
		=	1 1		+	2 2		,		=	1 2	.
	нач		2			2			кон		2

Рис. 4.13. Неупругий удар двух тел

90

Вычислим разность кинетической энергии системы до удара и после удара

				T				−T					=		m V			2			+				m V			2			−			(m			+ m		)ur2			=
															1 1											2 2										1	2
						нач				кон						2										2											2
					m Vr2							m Vr 2							(m						+ m				) m Vr								+ m Vr					2
			=				1 1			+			2 2				−						1				2								1 1		2 2					=
							2						2												2											m
																																					+ m	2
	m Vr2					m Vr 2																														1
																1											2 r2										r r					2 r 2
=	1	1		+			2		2		−														(m1 V1 + 2m1m2V1V2 + m2 V2 )=
	2						2						2(m				+ m						)
															1						2
													=				m1m2										(Vr1 −Vr2 )2 .
															2(m + m											)
	Обозначим															1									2
																										m1m2										(Vr1 −Vr2 )2
				Q =Tнач							−Tкон . Q =																													,Дж.
																						2(m + m													)
																											1						2

Очевидно, что Q > 0 .

Кинетическая энергия системы в результате неупругого удара уменьшается. Она частично переходит в т.н. внутреннюю энергию или тепло. Величина Q называется количеством теплоты, которое выделяется при неупругом ударе.

Глава 5. Закон сохранения момента импульса

5.1. Момент силы

Пусть положение материальной точки относительно некоторой точки О определяется радиусом-вектором r и на частицу

действует сила F .

Моментом силы F относительно точки О называется

векторная величина M = [rr× F ]. Модуль вектора M равен

M = rF sinα,Н м.

91

Здесь α – угол между радиус-вектором и силой. Опустим из

точки О перпендикуляр на продолжение вектора силы F , обозначим его длинуd . Очевидно

d = r sinα, M = Fd.

r Величина d называется плечом силы F . Направление вектора
M определяется правилом векторного произведения:		вектор M
перпендикулярен плоскости, вкоторой лежат векторы r		и F .

Рис. 5.1. Момент силы

Проведем через точку О прямую и назовем ее осью z. Обозначим угол между вектором M и осью – ϕ. Проекция вектора M

на ось z равна

M z = M cosϕ,Н м.

Величина M z называется моментом силы относительно оси z.

92

5.2. Пара сил

Две равные по модулю и противоположные по направлению силы образуют пару сил

F1 = −F2 .

Расстояние между направлениями действия сил называется

плечом пары сил.

.

Рис. 5.2. Пара сил

Обозначим M – векторную сумму моментов сил, действую-

щих на частицыr . Вычислим r

M = [rr1 ×F1 ]+[rr2 ×F2 ]= [rr1 ×F1 ]+[rr2 ×(−F1 )]=

= [(rr1 −rr2 )×Fr1 ]= [rr12 ×Fr1 ],

rv12 = rr1 −rr2 .

Получим r M =[rr12 ×Fr1].

Вектор M направлен перпендикулярно плоскости рисунка, «от нас». Модуль момента пары сил равен

M = r12 sin α = Md

Если взять другую точку О, то векторы r1 , r2 изменятся, но r12

останется прежним.

Суммарный момент пары сил относительно любой точки будет одинаковым, т.е. не зависит от выбора точки О.

93

Рис. 5.3. Суммарный момент пары сил

Рассмотрим две взаимодействующие между собой частицы. Их можно рассматривать как пару сил с нулевым плечом пары сил d=0. При этом, очевидно, момент такой пары сил будет равен ну-

лю M = Fd = 0 .

5.3. Момент импульса

Моментом импульса относительно точки О называется векторная величина

r r r r r	кг м2
L =[r × p]= [r ×mV ],		.
	с

Здесь r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку, где находится частица с импульсом pr = mV .

ВекторrL перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы r и p . Модуль момента импульса равен

L = rp sinα .

Проведем через точку О ось z, обозначим ϕ – угол между L и

осью z . Проекция вектора момента импульса L на ось z называ-

ется моментом импульса относительно оси Lz .

94

Рис. 5.4. Момент импульса

Рассмотрим частицу, движущуюся по окружности радиуса R с постоянной скоростью V. Момент импульса частицы относительно центра окружности равен

L = [R × pr]= [R ×mV ].

Вектор момента импульса совпадает по направлению с осью z. Момент импульса относительно оси z, перпендикулярной плоскости, в которой лежит окружность

Lz = L cos 0 = L = mVR .

Рис. 5.5. Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности

95

5.4. Уравнение моментов

Для некоторой частицы запишем относительно точки О

L = rr×mV .

Продифференцируем

dL		drr r		r		dV
	=		×mV	+ r	×m
dt		dt				dt

= 0 + rr× Fr = rr× Fr = Mv,

=Vr×Vrm + rr×mar =

r

ddtL = Mr.

Здесь использованы известные соотношения

Vr×Vv =0, rr× Fr = Mv.

Производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы, действующей на частицу, относительно той же точки

ddtL = Mr .

Это уравнение моментов относительно точки О. Спроецируем равенство на ось z:

dLz = M z . dt

Это уравнение моментов относительно оси z.

5.5. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим систему N частиц, взаимодействующих между собой и на которые действуют внешние силы. Запишем уравнение моментов для i-й частицы:

dL

r

внутр

r

внешн

i

= M i

+ M i

.

dt

Запишем для N частиц и сложим

N

dLi

N r внутр

N

r

внешн

d

N

r

N

r

внутр

N

r внешн

∑

= ∑M i

+ ∑M i

,

∑Li

= ∑M i

+ ∑M i

dt

dt

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

96

Моментом импульса системы частиц относительно не-

которой точки называется векторная сумма моментов импульсов частиц системы относительно этой же точки

r	N r
L	= ∑Li .

i=1

Моментом импульса системы частиц относительно оси

называется алгебраическая сумма моментов импульсов частиц системы относительно этой же оси

N

Lz = ∑Liz . i=1

Рассмотрим два слагаемых из первой суммы в правой части.

Рис. 5.6. Действие внутренних сил

Здесь Frkp , Frpk – это внутренние силы, для которых справедлив третий закон Ньютона

Fkp = −Fpk .

Рассматривая их пару сил с плечом пары, равным нулю, получаем

M kp внутр + M pk внутр = 0 .

Рассматривая аналогичным образом попарно все частицы системы, приходим к выводу

	N		r
	∑M i внутр				= 0 .
	i=1
Следовательно,
	dL		N	r	внешн
			= ∑M i			.
	dt
			i=1
			97

Производная момента импульса системы частиц по времени равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на частицы системы.

Все моменты определяются относительно одной и той же точки О. Спроецировав на ось z, получим

	dLz		N
			= ∑M iz		внешн .
	dt		i=1
Пусть рассматриваемая система частиц замкнута
		N				dL
Fri внешн = 0, Mri внешн = 0,		∑Mri		внешн	= 0 ,		= 0, Lr	= const .
		i=1				dt
Момент импульса замкнутой системы частиц остается посто-
янной или сохраняется
	r		N r
	L = ∑Li			= const .

i=1

Это закон сохранения момента импульса.

Если система незамкнута, то у нее может сохраняться момент импульса относительно некоторой оси. Например, пусть выполняется условие

		N
		∑M iz внешн	= 0 .
Тогда		i=1
	dLz	N
		= 0 , ∑Liz	= const.
	dt
		i=1

Глава 6. Динамика твердого тела

6.1.Основное уравнение динамики твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z. Разобьем тело на очень большое число частиц массами m1 , m2 ,....,mi ,....,mn . Рассмотрим движение i-ой частицы.

98

Рис. 6.1. Вращение твердого тела

Частица движется по окружности радиусом ri со скоростью Vi . Обозначим центр окружности О и найдем момент импульса i-

й частицы относительно О

Li = rri ×miVi .

Вектор Li направлен вдоль оси z. Найдем проекцию Li на ось

z, т.е.– момент импульса i-й частицы относительно оси z

Liz = Li cos0 = mi riVi .

Пусть угловая скорость вращения тела равна ω = ωz , тогда

Vi =ωz ri , Liz = mi riωz ri =ωz mi ri 2 .

Момент импульса всего тела относительно оси z равен

n	n		n
Lz = ∑Liz = ∑ωz mi ri		2	=ωz ∑mi ri	2 .
i=1	i=1		i=1
	99