01_Физические_основы_механики

Рис. 1.2. Элементарный путь, элементарное перемещение материальной точки

1.4. Скорость

Средней путевой скоростью за промежуток времени называется скалярная величина, равная отношению длины пути, пройденной частицей за некоторый промежуток времени к длительности промежутка

<V >= ∆∆st , мс .

Средней скоростью за промежуток времени называется вектор, равный отношению вектора перемещения ∆r за некоторый

промежуток времени к длительности этого промежутка ∆t :

<Vr >= ∆∆rt .

20

Рис. 1.3. Средняя скорость

Запишем

∆r = r (t + ∆t) − r (t) .

∆t ∆t

Будем неограниченно уменьшать ∆t, устремляя к нулю. Это записывают так:

lim	∆r	= lim	r (t + ∆t) − r (t)	.
	∆t
∆t→0		∆t→0	∆t

Полученное выражение есть определение производной ради- ус-вектора по времени

lim	r (t + ∆t) −r (t)	=	dr	.
	∆t
∆t→0			dt

В правой части получаем производную радиус-вектора по времени. В то же время с определенной точностью правую часть можно рассматривать как отношение элементарного перемещения

dr к элементарному интервалу времени dt , за который произошло перемещение.

Рис. 1.4. Мгновенная скорость

21

Мгновенной скоростью частицы в данный момент времени называется вектор, равный первой производной радиус-вектора

частицы по времени

Vr = ddtr .

Поскольку dr направлен по касательной к траектории, то и вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории.

Найдем модуль мгновенной скорости

r

Vr =V = ddtr = dsdt , мс .

Модуль мгновенной скорости равен отношению элементарного пути, пройденного частицей за элементарный промежуток времени к длительности этого промежутка или первой производной пути по времени

V= dsdt , мс .

1.5.Мгновенная скорость вдекартовой системе координат

Запишем

Vr = dr = d (xir + yrj + zkr)= dx ir + dy rj + dz kr = dt dtr r r rdt r dt r dt

=Vx i +Vy j +Vz k =Vx +Vy +Vz .

Здесь	Vx ,Vyz ,Vz – проекции вектора V на оси координат,
Vrx ,Vry ,Vrz	– составляющие вектора V вдоль осей координат.

Найдем модуль V:

V = V 2 = Vr2 = Vx 2 +Vy 2 +Vz 2 ,

22

dx 2			dy 2			dz 2
V =			+			+		.
dt			dt			dt
1.6. Ускорение

Ускорением называется вектор, равный первой производной мгновенной скорости по времени

r

dV

r

м

a =

,

a

= a,

.

dV

dt

с2

Величину

можно рассматривать и как отношение элемен-

dt

за время dt

тарного приращения мгновенной скорости dV

к ве-

личине элементарного промежутка времени dt .

В декартовых координатах

ar =

dV

=

d

(Vx ir

+Vy rj +Vz kr)=

dV y

dt

dt

dV

x

r

r

dV

z

r

r

r

r

v

r

r

=

i

+

j +

k = ax i

+ a y j

+ az k

= ax + a y + az .

dt

dt

dt

Здесь

ax , ay , az –

проекции

вектора

a на оси

координат,

arx , ary , arz – составляющие вектора a вдоль осей координат.

1.7. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение

Пусть за элементарный промежуток времени dt мгновенная скорость получает приращение dV =V2 −V1 . Направление dV указано rна рисунке. Направление вектора a совпадает с направлением dV . Вектор ускорения направлен всегда во «внутреннюю область», охватываемую участком траектории. Проведем единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором V .

23

Этот вектор обозначим τ . Перпендикулярно τ внутрь траектории построим единичный вектор n . Вектор τ называется ортом касательной к траектории, а вектор nr – ортом нормали. Разло-

жим вектор ускорения a на составляющие вдоль касательной и нормали.

Рис. 1.5. Приращение скорости

Очевидно, что a = aτ +an . Вектор arτ

называется тангенци-

альным ускорением, вектор an

называется нормальным ускоре-

нием, вектор ar называется полным ускорением.

Запишем

d (Vτr)

dτr

Vr =Vτr , ar =

dV

=

=

dV

τr +V

, a = a τv+a

n.

dt

dt

dt

dt

τ

n

Очевидно, что aτ = dVdt . Здесь aτ – проекция тангенциаль-

ного ускорения на направления вектора мгновенной скорости.

24

Производная dτ в общем случае не равна нулю. Это означает,

rdt

что вектор τ , оставаясь неизменным по модулю, может ме-

нять свое направление в пространстве.

Рис. 1.6. Разложение ускорения на составляющие

Пусть частица перешла из 1 в 2 в течение бесконечно малого промежутка времени dt , пройдя при этом элементарный путь ds . Участок траектории ds настолько мал, что совпадает с малым участком окружности радиусом R и с центром О.

Проведем хорду 1-2, обозначим её длину dl . Очевидно, что

ds = dl = 2R sin	dϕ	= 2R		dϕ		= Rdϕ.
2		r	r		2	r	r	r	r
Построим треугольник векторов τ1			,τ2 , dτ , где				dτ	=τ2	−τ1 .

Уголмежду векторами τr1 ,τr2 равен dϕ , крометого τr1 = τr2 =1. Построенные треугольники подобны, следовательно,

dl

| dτ |

ds

r

dτr

1

=

r

,

=

dτ

,

=

.

R

R

τ1

ds

R

dτr

dτr ds

dτv

r

2 1 r

Запишем V

=V

=V

eτV =V

eτ .

dt

ds

dt

ds

R

r

Здесь eτ – единичный вектор dτ .

25

а)

б)

26

в)

Рис. 1.7 (а, б, в). Расчет нормального и тангенциального ускорений

Из треугольника 1-2-0 видно, что при ds → 0 , dϕ → 0 . В этом случае, из треугольника векторов τr1 ,τ2 , dτ видно, что угол

θ между dτr	и	τ1 стремится к	π	: dϕ +θ +θ =π , dϕ = 0 ,
θ = π . Вектор			2
	e	будет перпендикулярен вектору τr			, т.е. совпа-
2	τ			1

дет с вектором нормали к вектору мгновенной скорости. Тогда

r	r	dτr		V 2		r		dV	r	V 2 r
eτ	= n, V		=		. Следовательно, a		=		τ +		n .
		dt		R				dt		R
	Очевидно, что теперь

arn =

V 2

nr,

an = V 2 .

R

R

Величина R называется радиусом кривизны траектории в дан-

ной точке.

Итак, можем записать

ar =

dV

τr +

V 2

nr, aτ

=

dV

,

an =

V 2

.

dt

R

dt

R

27

Вектор arτ	направлен вдоль скорости V или противоположно
Vr . Вектор arn	всегда перпендикулярен вектору V и направлен
во «внутреннюю область». В		результате, вектор полно-
го ускорения ar также направлен в		«внутреннюю область».

1.8. Особенноститангенциальногоинормальногоускорений

Рис. 1.8. Тангенциальное ускорение

Пусть частица имеет только тангенциальное ускорение. Запи-

шем ar =	dV	,	dV = ardt , dV = arτ dt . Вектор dV направлен
	dt			aτ и V совпадают.
также как и вектор V , если направления
Вектор dVr направлен против вектора Vr ,				если вектор aτ имеет
направление, противоположное направлению вектора V . В ре-
зультате действия aτ вектор V за время				dt получает прираще-
ние dVr в направлении вектора V . В результате модуль мгновен-
ной скорости			изменяется, но направление мгновенной
			28

скорости остается прежним. Тангенциальное ускорение приводит к изменению модуля мгновенной скорости. Направление скорости при этом не изменяется.

Пусть теперь имеется только нормальное ускорение. Запишем

dV = arndt .

Рис. 1.9. Нормальное ускорение

Вектор dVr направлен перпендикулярно вектору V . В результате за время dt направление вектора мгновенной скорости

изменяется. Найдем модуль вектора скорости после приращения
вектора скорости
V ′ = Vr2 + (d Vr)2 = V 2 + (dV )2 =
= V 2 + (an dt)2 =V	a			2 .
	1 +		n dt
		V

Величину dt можно взять настолько малой, что слагаемым под корнем можно будет пренебречь по сравнению с единицей.

Следовательно, V ′=V. Нормальное ускорение приводит к изменению направления вектора мгновенной скорости. Модуль скорости при этом не изменяется.

29