01_Физические_основы_механики

d

2 r

d

2

x

′ r

d

2

y

′ r

d

2

z

′ r

r

i

′

+

j

′

+

k

′

+

2

2

2

2

dt

=

dt

dt

dt

dx′

r

r

dy

′

r

r

dz′

r

r

+ 2

[ω ×i

′]+

[ω

×

j

′]+

[ω

×k

′]

+

dt

dt

dt

d 2 rr

r

r

r

r

r

]]

+

+ε ×r

′

+[ω

×[ω ×r

dt 2 .

′

0

Здесь εr =

dω

.

Обозначим

dt

d 2 rr

r

= a

–

dt 2

ускорение в инерциальной системе отсчета K ,

2

x

′ r

′

d

2

y

′ r

′

d

2

z

′

r

r′

d

i

+

j

+

k

′

–

dt

2

dt

2

dt

2

= a

ускорение в неинерциальной системе отсчета K′,

dx′

=Vx′,

dy

′

=Vy′,

dz′

=Vz′–

dt

dt

dt

проекции мгновенной скорости на оси декартовой системы координат неинерциальной системы отсчета K′,

d 22rr0 = ar0 –

dt

ускорение системы отсчета K′ относительно системы отсчета K .

Запишем

ar = ar′+ 2[ωr×V ′]+[εr×rr′]+[ωr×[ωr×rr′]]+ ar0 .

Второе слагаемое в правой части называется кориолисовым ускорением arкор = 2[ωr×Vr′]. .

Сумма последних трех слагаемых называется переносным ус-

корением

arпер = [ε ×rr′]+[ωr×[ωr×rr′]]+ ar0 .

110

Тогда имеем

a = a′+ aкор + aпер.

Запишем второйr закон Ньютона в системе K :

F = mar, F = mar′+ 2m[ωr ×V ′]+ marпер , Fr − 2m[ωr ×Vr′]− marпер = mar′.

Здесь F – сила, действующая на тело в инерциальной системе отсчета K .

В неинерциальной системе K ′ на тело кроме силы F дейст-

вуют еще две силы: сила инерции Кориолиса -

Fкор = −2m[ωr ×V ′]

и переноснаяr сила инерции –

Fпер = −marпер = −m[εr× rr′]− m[ωr ×[ωr × rr′]]− mar0 .

Первое слагаемое в правой части не имеет названия. Второе слагаемое представляет вектор, направленный от оси вращения,

который называется центробежной силой инерции

Fцб = −m[ωr×[ωr×rr′]].

Обозначим R – радиус-вектор, проведенный в частицу m из центра окружности, по которой частица движется.

111

Рис. 7.2. Центробежная сила инерции

Можно показать, что Fцб = mω2 R. Третье слагаемое в урав-

нении для ar называется силой инерции поступательного дви-

жения

	Fпост = −mar0 .
Если вращение системы K ′ равномерное,			то ε′= 0. В итоге
можно получить уравнения
Fr + Frкор + Fцб + Fпост = mar′, Frкор = −2m[ωr×V ′],
Fr	= mω2 Rr, Fr	= −mar	0	,
цб	пост

F −2m[ωr×V ′]+ mω2 R −mar0 = mar′.

Последнее уравнение является основным уравнением дина-

мики в неинерциальной системе отсчета.

Глава 8. Гидромеханика

8.1. Несжимаемая жидкость

Важной характеристикой жидкостей является их плотность. Пусть жидкость массой m занимает в пространстве объем V. Средней плотностью называется величина

< ρ >= Vm , мкг3 .

Выделим элементарный объем жидкости dV, масса которого равна dm, плотностью называется величина

ρ = ddmV =, мкг3 .

Вещество в жидкости распределено однородно, если в каждой точке выполняется условие ρ = const . В этом случае

ρ =< ρ >= Vm .

112

Из опыта известно, что во всех точках жидкости можно считать, что ρ = const . В этом случае жидкость называется несжи-

маемой.

8.2. Давление в жидкости

Выделим в покоящейся жидкости элемент в виде параллелепипеда с площадью боковой стороны ds. Со стороны жидкости на

этот элемент действуют силы dF1 , dF2 . Так как элемент жидко-

сти также находится в равновесии, то силы dF1 , dF2 равны по величине и противоположны по направлению. Кроме того, эти силы должны быть направлены перпендикулярно к поверхностям ds , так как в противном случае возникло бы движение жидкости вдоль граней элемента.

Рис. 8.1. Равновесие тонкого слоя жидкости

Итак, dF1 = dF2 = dFn .

Давлением называется физическая величина, равная p = dFdsn , мН2 = Па.

113

Очевидно, что рассуждения можно повторить для любой про-

извольной ориентации параллелепипеда и сделать вывод о том,

что p = const .

Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому жидкостью.

Это утверждение называется законом Паскаля.

Рассмотрим покоящуюся жидкость плотностью ρ. Можно сделать вывод о том, что вдали от стенок сосуда, в котором находится жидкость, ее поверхность должна быть горизонтальна. В противном случае возникает поверхностное течение жидкости и ее нельзя считать покоящейся.

Выделим вертикальный столб жидкости высотой h и площадью основания ds, так, чтобы верхняя поверхность столба находилась на поверхности жидкости. Найдем силу, действующую на нижнее основание столба. Эта сила складывается из веса жидкости над основанием ds и силы давления атмосферы

dF = (ρhds)g + pa ds.

Давление на основание ds равно

p = dFds = ρgh + pa .

Первое слагаемое обусловлено свойствами жидкости и назы-

вается гидростатическим давлением pг = ρgh.

Второе слагаемое учитывает давление, создаваемое на поверхность покоящейся жидкости газовой атмосферой, находящейся над ней.

114

Рис. 8.2. Вертикальный слой жидкости

8.3. Закон Архимеда

Рассмотрим однородное тело плотностью ρ0 в виде паралле-

лепипеда, расположенное в жидкости как показано на рисунке. Обозначим размеры параллелепипеда: a – высота, b, c – боковые стороны.

115

Рис. 8.3. Тело, погруженное в жидкость

Пусть верхняя грань параллелепипеда находится на глубине h от поверхности жидкости. Найдем результирующую силу, действующую на тело со стороны жидкости

F = F1 + F2 = −k ( pa + ρgh)s + k [pa + ρgh(h + a)]s = = ρgaskr = ρgabckr = ρgVkv.

r

Здесь k – орт оси z, V = abc – объем параллелепипеда, ρ –

плотность жидкости.

На тело, погруженное в жидкость, со стороны жидкости действует сила, направленная вертикально вверх и равная

F = ρVg.

Это закон Архимеда. Сила F называется архимедовой силой или выталкивающей силой. Закон Архимеда справедлив для тела произвольной формы.

Рассмотрим условие плавания тела в жидкости в случае полного погружения тела в жидкость. Очевидно, для плавания тела массой m необходимо выполнение условия

F ≥ mg, ρVg ≥ ρ0 Vg, ρ ≥ ρ0 .

а)

116

б)

Рис. 8.4 (а, б). Плавание тел

8.4. Движение жидкости

Движение жидкости называется течением. Существует течение двух типов. Если при течении происходит перемешивание слоев жидкости, то оно называется турбулентным. Течение, при котором слои жидкости не перемешиваются, называется ламинарным. При течении жидкости каждая частица жидкости характеризуется скоростью, зависящей от положения частицы и време-

ни V =V (rr,t). Если в каждой точке жидкости вектор скорости

остается постоянным (не зависит от времени), то течение жидкости называется стационарным. Линии, проведенные в жидкости так, что касательная к ним в каждой точке совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке, называются линиями тока. Очевидно, что линии тока совпадают с траекторией движения частицы жидкости. Линии тока проводят тем гуще, чем больше значение модуля скорости.

При стационарном течении картина линий тока остается неизменной со временем.

117

Совокупность линий тока образует поверхность, если эта поверхность замкнута, то она называется трубкой тока.

Рис. 8.5. Трубка тока в жидкости

Пусть ds – площадь сечения, перпендикулярная трубке тока. Выберем сечение таким образом, чтобы во всех точках ds частицы

жидкости имели бы одну и ту же скорость V .

Рис. 8.6. Элемент жидкости в трубке тока

118

Найдем массу жидкости dm, которая протекает через ds за время dt. Построим цилиндр с основаниями ds и образующей равный Vdt. Все частицы жидкости, находящиеся от левого элемента ds на расстоянии меньшем, чем Vdt за время dt пройдут это расстояние и пересекут правый элемент ds. Следовательно, масса жидкости, пересекающей за время dt сечение ds, равна массе жидкости в объеме построенного цилиндра

dm = ρVdtds.

Левая часть равна

dm = ρdV,

где dV – объем жидкости в выбранном цилиндре. Запишем

ρdV = ρVdsdt, dV =Vdsdt.

Итак,

dV =Vdsdt, м3 , Q = dV =Vds, м3 . dt с

Здесь dV – объем жидкости, протекающей за время dt через сечение площадью ds, Q – объем жидкости, протекающий за единицу времени через сечение площадью ds, V – скорость жидкости, одинаковая во всех точках сечения ds.

8.5. Уравнение неразрывности струи

Рассмотрим жидкость, текущую внутри трубки тока. Построим два сечения s1 , s2 перпендикулярные линиям тока. Пусть ско-

рость частиц в сечении s1 равна V1 , а в сечении s2 равна V2 .

За время dt через сечения s1 и s2 протекают элементарные массы жидкости

dm1 = ρV1 s1dt, dm2 = ρV2 s2 dt.

Обозначим m12 – масса жидкости между сечениями s1 и s2 , V12 – объем жидкости между сечениями s1 и s2 .

119