01_Физические_основы_механики

Частица перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой тра-

ектории. В каждой точке на нее действует сила F . Рассмотрим элементарное перемещение dr , в пределах которого силу можно считать постоянной.

Элементарной работой силы на элементарном перемещении называется скалярная величина

dA = Fdrr = Fdr cosα, Н м = Дж .

Здесь α – угол между векторами силы и элементарного перемещения. Если просуммировать работы на всех элементарных перемещениях, то получим работу силы на конечном перемещении

1-2:

A12 = ∫2 Frdrr, Дж .

1

.

Рис. 4.1. Перемещение материальной точки

Пусть на частицу одновременно действует N сил, причем по принципу суперпозиции можем записать

r	N r
F	= ∑Fi .

i =1

Запишем для работы силы выражение

2	r r	2	N r		r	N	2	r r
A12 = ∫Fdr = ∫									=
			∑Fi dr = ∑				∫Fidr
1		1 i =1				i =1	1
					70

N

∑(A12 )i .

i =1

Работа, совершаемая на некотором перемещении несколькими одновременно действующими силами, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой на этом перемещении

N

A12 = ∑(A12 )i . i =1

Мощностью называется скалярная величина, равная

P = dAdt , Джс = Вт.

Мощность численно равна работе, совершаемой в 1 с, и характеризует интенсивность совершения работы.

Запишем

			dA		Fdrr	r drr		r r
		P =		=		= F		= FV ,
	где Vr		dt		dt		dt
		– скорость, с которой движется точка приложения силы.
	Далее получим

dA = Pdt, A = ∫2	Pdt.
1
4.2. Вычисление работы

Работа силы тяжести

Пусть частица массой m перемещается из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории так, что вrкаждой точке траектории на частицу действует сила тяжести mg . Вычислим работу силы

тяжести. Запишем

F = −mgk , drr = dxi + dyj + dzk ,

A12 = ∫2 (− mgkr)(dxir + dyrj + dzkr)=

1

z2

=−∫mgdz = −mg(z2 − z1 )= mgz1 −mgz2 .

z1

Итак, получим

71

A12 = mgz1 −mgz2

.

Рис. 4.2. Вычисление работы силы тяжести

Работа упругой силы

Рассмотрим сжатие цилиндрической пружины и вычислим работу упругой силы при изменении деформации пружины от x1

до x2 .

Рис. 4.3. Вычисление работы упругой силы

72

Запишем

A12 = ∫2 Frdrr.

1

Далее:

F = −kxi , drr = dxi + dyj + dzk ,

A12 = ∫2 (− kxir)(dxir + dyrj + dzkr)=

		1
	x2		kx					2						kx	2				kx	2		kx	2
						2				−			1				=	1			−	2		.
	= −∫kxdx = −					2							2					2				2
	x1
В итоге получим											2				kx 2
		A		=			kx							−					.
									1								2
		12							2						2
Работа силы трения
Запишем
	2 r r	2	r				r								2								2
A12 = ∫Fтрdr		= ∫FтрVdt										= −∫FтрVdt = −∫Fтрds .
1		1													1								1

Рис. 4.4. Вычисление работы силы трения

Очевидно, что

Fтр = Frтр > 0, ds > 0.

Поэтому

73

∫2 Fтрds > 0 .

1

Следовательно,

A12 = −∫2 Fтрds < 0 .

1

Работа силы трения отрицательна. Пусть выполняется условие

Fтр = const .

Тогда

A12 = −Fтр ∫s ds = −Fтрs .

0

74

4.3. Поле сил (силовое поле)

Область пространства, в каждой точке которого на частицу действует сила, называется полем сил или силовым полем. Поле сил называется стационарным, если сила, действующая на частицу в каждой точке поля, не зависит от времени. Пусть частица перемещается в стационарном силовом поле из начальной точки 1 в конечную точку 2. При этом сила поля совершает над частицей работу

2 r r

A12 = ∫Fdr .

1

В общем случае величина работы зависит как от положения начальной и конечной точек 1 и 2, так и от траектории движения (или формы пути).

4.4. Поле центральных сил

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные вдоль прямой, проходящей через эти частицы называются центральными силами.

Пусть материальная точка движется в поле сил, создаваемом некоторой частицей, находящейся в точке О пространства. Поло-

жение движущейся частицы задается радиус-вектором r , прове-

денным из точки О. Пусть силаF , действующая, на данную материальную точку определяется законом

F = f (r)err .

Здесь f (r) – функция, зависящая от расстояния материальной

токи до точки О, er – орт радиус-вектора. Сила F удовлетворяет

определению центральной силы и является центральной силой. Точка О называется силовым центром.

Пусть материальная точка (частица) перемещается в поле центральных сил из начальной точки 1 с радиус-вектором r1 в конеч-

ную точку 2 с радиус-вектором r2 .

75

Обозначим r1 – расстояние точки 1 от точки О, r2 – расстояние точки 2 от точки О.

Рис. 4.5. Материальная точка в поле центральных сил

Вычислим работу центральной силы при перемещении части-

цы

2

r r

=

2

r

r

A12 = ∫Fdr

∫ f (r)er dr .

Запишем

1

1

r

err drr =

drr, rr2 = r 2 , d(rr2 ) = d(r 2 ),

r

r r

= 2rdr,

r

r

= rdr.

2rdr

rdr

Далее

r2

2

r r

2

r

r

2

rdr

A

=

∫

Fdr =

∫

f (r)e

dr =

∫

f

(r)

r

=

∫

f (r)dr ,

12

r

1

1

1

r1

76

r2

A12 = ∫ f (r)dr .

r1

Величина A12 зависит только от вида функции f (r) , от значений r1 и r2 и не зависит от пути перемещения частицы.

Рассмотрим две частицы массами m и М.

Рис. 4.6. Гравитационная сила

Проведем радиус-вектор r из частицы М в частицу m. На частицу m действует гравитационная сила притяжения

F =γ mMr 2 , Fr = −γ mMr 2 err = f (r)err .

Гравитационная сила является центральной силой. Очевидно, что сила тяжести также будет центральной. Кроме того, к центральным силам относится также упругая сила, если она описывается законом Гука.

4.5. Поле консервативных сил

Если силы, действующие на частицу, зависят только от координат частицы и работа этих сил при перемещении частицы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение определяется только начальным и конечным положениями частицы и не зависит от пути перемещения частиц, то такие силы называются консервативными.

Рассмотрим перемещение частицы из 1 в 2 по нескольким путямra, b, с. При этом на частицу действует консервативная

сила F .

77

Рис. 4.7. Перемещение материальной точки по различным траекториям

Поскольку сила консервативная, то A1a2 = A1b2 = A1c2 . Пусть частица перемещается по замкнутому пути 1-a-2-b-1.

Рис. 4.8. Перемещение материальной точки по замкнутой траектории

Запишем A1a2 = A1b2 . Так как сила зависит только от положения частицы в пространстве, то легко показать, что A1b2 = −A2b1 . Следовательно,

A1a2 = A1b2 = −A2b1, A1a2 + A2b1 = 0.

Работа консервативных сил на произвольном замкнутом пути в поле консервативных сил равна нулю. Это условие является не-

78

обходимым и достаточным, поэтому можно утверждать, что если работа сил поля на произвольном замкнутом пути равна нулю, то силы поля являются консервативными.

Запишем для центральных сил

r1

A121 = ∫ f (r)dr = 0 .

r1

Центральные силы являются консервативными.

4.6.Потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил

Пусть частица находится в поле сил, которые являются консервативными в некоторой точке с координатами (x, y, z). Выберем некоторую точку О с координатами ( x0 , y0 , z0 ), которую назовем нулевым положением. Пусть частица переходит из точки (x, y, z) в нулевое положение по произвольному пути. При этом

силы поля совершают работу

A(x, y, z),(x0 , y0 , z0 ).

Рис. 4.9. Материальная точка в поле консервативных сил

79