01_Физические_основы_механики

Vy =Vy′ = 0,Vz =Vz′ = 0,V =	V ′+ u			.
	1 +V ′	u
		c2

Пусть V ′=c,u =c. Получим выражение для скорости

V =	c + c			= c.
1 + c		c
		c2

9.6. Релятивистский импульс

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух тел одинаковой массы m. Пусть в системе K′, движущейся относительно системы K со скоростью u , скорости тел равны по величине и направлены навстречу друг другу вдоль оси X ′.

Рис. 9.5. Столкновение двух тел

Тогда запишем

V1′x =V0′,V2′x = −V0 .

Найдем импульс тела после неупругого столкновения из закона сохранения импульса

mV0 −mV0 = 2mV.

Здесь V – скорость тела после неупругого столкновения. Очевидно, что V = 0.

Рассмотрим этот же процесс в системе отсчета K . Запишем

V

=

V1′x +u

=

V0 +u

, V

2 x

=

V2′x +u

=

−V0 +u

.

1x

1 +V1′x

u

1 +V0

u

1 +V2′x

u

1 −V0

u

c2

c2

c2

c2

140

Здесь V1x ,V2 x – скорости тел в системе K до столкновения. Обозначим скорость тела после столкновения V . Запишем

V =	Vx′ +u		=		0 +u			= u.
	1 +Vx′	u		1 + 0		u
		c2				c2

Найдем в системе отсчета K импульс системы тел до столкновения и после столкновения

p

до = p

+ p

2 x

= mV

+ mV

2 x

= ... =

x

1x

1x

V 2

1 −

0

c2

после

= 2mu

, px

= 2mV = 2mu.

V 2u 2

1 −

0

c4

Итак, если система отсчета K′ движется относительно системы отсчета K со скоростью u ≠ 0 , то импульс системы до и после столкновения оказывается различным, т.е. не сохраняется.

Анализ показывает, что полученный результат может быть обусловлен следующими причинами:

1. Выражение для импульса pr = mV , справедливое в класси-

ческой механике, оказывается неверным в релятивистской механике;

2. Не выполняется закон сохранения импульса.

Расчеты показывают, что можно изменить выражение, определяющее импульс тела таким образом, чтобы закон сохранения импульса выполнялся всегда и в любой системе отсчета.

Для этого нужно представить импульс в виде

		pr = mV .
		1 −	V 2
	Здесь m, Vr		c2
		– масса и скорость тела.

Эта формула называется релятивистским импульсом.

141

Очевидно, что если Vc <<1 , то получим pr = mV .

9.7. Основное уравнение релятивистской динамики

Основное уравнение классической динамики – это второй закон Ньютона в виде уравнения движения

ddtp = Fr.

В релятивистской динамике следует использовать релятивистское выражение для импульса, тогда

			r
d		mV
			V 2
dt		1 −
			c	2

Запишем

= Fr.

r

m

m

d

r

dV

r

V 2

V

+

V 2 dt

= F.

dt

1 −

1 −

c

2

c

2

dV

r

где a – ускорение.

Здесь

= a,

dt

Видно, что в общем случае вектор ускорения a частицы не

совпадает по направлению с вектором

силы F , действующей на

частицу.

9.8. Кинетическая энергия

Запишем

142

			r
d		mV
			V 2
dt		1 −
			c	2

= Fr,Vdtr = drr.

143

Перемножим равенства

			r
d		mV
			V 2
dt		1 −
			c	2

Vrdt = Frdrr.

Очевидно, что

Fdrr = dA,r

где dA– rэлементарная работа силы F на элементарном перемещении dr .

Левую выражения часть можно преобразовать к виду

		mc2
	d		V 2	.
		1 −
			c

Запишем
	mc2
				= dT.
dA = dT , d		V 2
	1 −
		c

Здесь dT – приращение кинетической энергии частицы. Интегрирование дает

T =	mc2
	+ const.

1 −V 2

c2

Из смысла кинетической энергии можно записать условие

V = 0, T = 0.

Следовательно, получим

const = −mc2 .

144

В итоге, имеем окончательное выражение для кинетической энергии

												1
						T = mc				2
														V 2			−1 .
												1 −
														c	2
Рассмотрим случай, когда V << c,																V			<<1.
																	c
Используем соотношение
						(1 + a)n ≈1 + na, a <<1.
Получим
					1
				V	2 −													1 V				2			mV 2
	2						2		2				2											2
T = mc			−					− mc			= mc					+								− mc =		.
		1		c	2									1				2 c				2			2

Приходим к классическому выражению для кинетической энергии.

9.9. Полная энергия и энергия покоя

В классической механике известен закон сохранения полной механической энергии. В релятивистской динамике для замкнутой системы сохраняется следующая величина:

E = mc2 +T = const,

где mc2 = E0 – энергия покоя тела, T – кинетическая энергия

тела, E – полная энергия тела.

Закон сохранения полной энергии имеет вид E = const. Запишем для полной энергии

					1				mc2
E = mc	2	+ mc	2								.
								−1 , E =
					1 −	V 2			1 −	V 2
						c	2			c	2
					145

Запишем для энергии покоя

E0 = mc2 .

Величина mc2 есть общая внутренняя энергия тела, которая никак не связана с движением тела как целого. Выражение для энергии покоя называется законом взаимосвязи массы и энергии. Изменение энергии покоя (т.е. внутренней энергии тела) должно приводить к изменению его массы

∆E0 = ∆mc2 , ∆m = ∆E0 . c2

При обычных процессах изменение массы незаметно в силу малости ∆m .

9.10. Связь между энергией и импульсом

Запишем очевидные соотношения и преобразуем их

r

mV

mc2

pr

V

r

E

r

p

=

1

−

V

2 , E

=

1 −

V

2

, E = c2

, p = c2

V.

c2

c2

Продолжим преобразования

V

2

m2 c2

m2V

2

1 −

c2

E

2

− p

2

c

2

2

2

4

2

4

=

−

c

= m

c

= m

c

.

1 −

V 2

1

−

V 2

1 −

V 2

c2

c

2

c2

Получим формулу, связывающую полную энергию и релятивистский импульс

E 2 = p2 c2 + m2 c4 , E = p2 c2 + m2 c4 .

9.11. Инвариантные величины (инварианты)

Инвариантными (инвариантами) называются величины,

имеющие одно и то же значение в различных системах отсчета. В кинематике инвариантной величиной является скорость света в

вакууме

c = inv.

146

Существует также еще одна величина, значение которой одинаково в разных системах отсчета.

Обозначим (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) – координаты и время, соответствующие двум событиям в системе K , (x1′, y1′, z1′),

(x2′, y2′, z′2 ) – координаты и время этих же событий в системе K′.

Расчет дает, что для координат и моментов времени всегда выполняется равенство

c2 (t2 −t1 )2 − (x2 − x1 )2 − ( y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 =

= c2 (t2′ −t1′)2 − (x′2 − x1′)2 − ( y′2 − y1′)2 − (z′2 − z1′)2 = ∆s.

Величина слева и справа называется интервалом и обозначается ∆s . Интервал является инвариантной величиной

∆s = inv.

Инвариантом также является масса тела m = inv.

Полная энергия и импульс не являются инвариантами, но между ними есть соотношение, которое, в свою очередь, является инвариантом

E 2 − p 2 c 2 = m2 c 4 , m = inv, c = inv,

следовательно,

E 2 − p2c2 = inv.

147

Владимир Иванович Зеленский

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Конспект лекций

для студентов очной и заочной формы обучения специальностей

020101, 020802, 020804, 032101, 080502, 130100, 190603, 270102, 280102

Оригинал-макет подготовлен РИЦ ЮГУ

Подписано в печать 13.02.2007.

Формат 60х84/16. Гарнитура Times New Roman.

Усл. п. л. 9. Тираж 55 экз. Заказ № 715.

Редакционно-издательский центр ЮГУ, 628012, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16