01_Физические_основы_механики

Обозначим

n

Iz = ∑mi ri 2 , кг м2 .

i=1

Суммирование идет по всем частицам тела.

Скалярная величина, равная сумме произведений масс частиц системы на квадрат расстояний этих частиц до некоторой оси, называется моментом инерции системы относительно этой оси

n
Iz = ∑mi ri	2 , кг м2 .
i=1
Итак,
Lz = I zωz .

Если ось вращения неподвижна в пространстве, то

I z = const .

Продифференцируем по t

dLz

= I

z

dωz

= I

z

ε

z

.

dt

dt

Известно, что

dLz

n

=

∑M iz внешн .

dt

i=1

Следовательно,

n

∑M iz

внешн

= I zεz .

i=1

Обозначим

n

∑M iz внешн

= M z .

i=1

Окончательно имеем

M z

= I zεz .

Индексы часто опускают, тогда

M = Iε .

Момент внешних сил относительно некоторой оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию углового ускорения вращения тела на ту же ось

100

M = Iε .

Это основное уравнение динамики вращения твердого тела

вокруг неподвижной оси.

6.2. Вычисление моментов инерции

По определению

	n
I = nlim→∞	∑mi ri	2	= ∫r 2 dm .
	i=1		m

Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню.

а)

б)

Рис. 6.2 (а, б). Вычисление момента инерции стержня

101

I = ∫r 2 dm = ∫l	r 2 m dr = m		∫l	r 2 dr = m	r3		l0	= m l3	= ml2	,
0	l	l	0	l 3				l 3	3

I = ml3 2 .

Рассмотрим еще несколько случаев. Ось проходит через середину стержня перпендикулярно ему. Длина стержня l, масса m. В этом случае

I = ml 2 .

12

Ось z проходит через центр диска радиуса R и массой m перпендикулярно плоскости диска. Момент инерции диска равен

I = mR2 2 .

Отметим, что момент инерции не зависит от толщины диска b.

Рис. 6.3. Вычисление момента инерции диска

Ось z проходит через центр шара радиуса R и массой m. Момент инерции шара равен

I = 52 mR2 .

102

Рис. 6.4. Вычисление момента инерции шара

6.4. Теорема Штейнера

Пусть О1 и А1 две параллельные друг другу оси, расстояние между которыми равно a. Возьмем элементарную массу тела dm и из точек О и А проведем в нее радиус-векторы r,r′.

Рис. 6.5. Вывод теоремы Штейнера

103

Построим вектор a

ar+rr′ = rr, rr′ = rr−ar, (rr′)2 = r 2 −2rrar+a2 .

Умножим равенство на dm и проинтегрируем

∫(r′)2 dm = ∫r 2 dm − 2∫arrrdm + ∫a2 dm .

m	m	m	m
Очевидно, что

∫(r′)2 dm = I A , ∫r 2 dm = IO , ∫a2 dm = a2 ∫dm = ma2 ,

m		m			m			m
rr		r	r		r	1		r	r r
2∫ardm =	2a		∫rdm = 2am				∫rdm =		2amRC .
m			m		m m
Далее запишем					− 2marR + ma2 .
I	A	= I		O
						C

Пусть ось О проходит через центр масс, тогда получим

RrC = 0, IO = 0, I A = IC + ma2 .

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

I A = IC + ma2 .

Рис. 6.6. Применение теоремы Штейнера

104

6.4. Кинетическая энергия вращательного движения

Кинетическая энергия i-й частицы твердого тела равна

T =	miVi 2	=	mi (ωri )2	=	miω2 ri 2	.
i	2	2		2

Кинетическая энергия всего тела равна

n	n	m	ω2 r	2		ω2 n		2		ω2
T = ∑Ti = ∑		i	i		=		∑mi ri		=		I .
			2			2				2
i=1	i=1						i=1

Следовательно,

T= Iω2 2 .

6.5.Работа внешних сил при вращении твердого тела

Запишем известные соотношения
	Iω	2				1			dϕ
dA = dT, dT = d					=			I 2ωdω = Iωdω = I		dω =
	2					2			dt
= Idϕ				dω			= Iεdϕ = Mdϕ.
				dt

Следовательно,

dT = Mdϕ .

Здесь М – момент сил (относительно оси вращения), действующих на твердое тело, dϕ – элементарный угол поворота тела.

Работа внешних сил при повороте на конечный угол равна

ϕ

A = ∫Mdϕ , Дж.

0

Работа, совершаемая в единицу времени (мощность), равна

P = dAdt = M ddtϕ = Mε,Вт.

105

6.6. Условия равновесия твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями:

		dV	N	rвнешн		dL	N	r внешн
	m	C	= ∑Fi		,		= ∑M i		.
		dt				dt
			i=1				i=1

Тело будет находиться в состоянии покоя, если нет причин, приводящих к возникновению поступательного и вращательного движения. Такими причинами являются внешние силы и моменты внешних сил.

Условия равновесия твердого тела имеют вид

N	r	внешн = 0,	N	v	внешн = 0.
∑Fi			∑M i
i=1			i=1

Глава 7. Движение в неинерциальных системах отсчета

Неинерциальными системами отсчета называются системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.

7.1. Силы инерции

Обозначим K – инерциальная система отсчета, K ′– неинерциальнаяr система отсчета, движущаяся относительноK с ускорением a0 поступательно.

Пусть в инерциальной системе К на частицу массой m дейст-

вует сила F . Запишем второй закон Ньютона F = mar . Из рисунка следует

где rr	r = r0 + r ′,
	– радиус-вектор частицы в системе К, r ′ – радиус-вектор

частицы в неинерциальной системе отсчета K′, rr0 – радиус-вектор

начала системы координат K′ в инерциальной системе К. Продифференцируем дважды по времени и получим

106

ar = ar′+ ar0 , mar = mar′+ mar, F = mar′+ mar0 , F −mar0 = mar′.

Рис. 7.1. Движение систем отсчета

Из последнего уравнения видно, что при переходе в неинерциальную систему отсчета уравнение второго закона Ньютона изменяется. Введем обозначение

r Fи = −mar0 .

Вектор Fи называется силой инерции, которая учитывает ус-

коренное движение системы отсчета K ′ относительно К. Можно записать

F+ Fи = mar′.

Внеинерциальной системе отсчета, произведение массы час-

тицы на ее ускорение равно векторной сумме сил F , обусловленных взаимодействием тел, и силы инерции Fи , действующей на тело в неинерциальной системе.

107

Введение силы инерции Fи позволяет сохранить математиче-

скую формулировку второго закона Ньютона для описания движения в неинерциальной системе отсчета. В то же время силы инерции нельзя рассматривать как результат взаимодействия между телами.

7.2.Силы инерции в произвольно движущейся неинерциальной системе отсчета

Пусть неинерциальная система отсчета K′ совершает относительно системы отсчета K как поступательное, так и вращатель-

ное движение. Запишем для некоторой точки M r = r ′+ r0 .

Орты системы отсчета K	′	–	′ ′	′	вращаются с угловой
			i , j , k

скоростью ω вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через начало координат системы отсчета.

Продифференцируем по времени

r

dx

′ r

dy

′ r

dz

′ r

r

′

r

′

r

′

drr

dr

x′

di

dj

dk

0

=

i ′+

j ′+

k

′

+

+

y′

+ z′

+

.

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

Теперь вычислим вторую производную по времени

d

2 r

d

2

x

′ r

d

2

y

′

r

d

2

z

′

r

r

i

′

+

j

′

+

k

′

+

2

2

2

2

dt

=

dt

dt

dt

dx

r

′

r

′

dz′

r

′

′ di

dy′ dj

dk

=

+

+

+

dt

dt

dt

dt

dt

dt

r

′

r

dz′

r

′

dx′ di

dy′ dj ′

dk

+

+

+

+

dt

dt

dt

dt

dt

dt

r

′

d 2

r

′

r

′

d 2 rr

d 2 i

j

d 2 k

+

x′

+

y′

+ z′

+

0

.

2

2

2

2

dt

dt

dt

dt

108

Рассмотрим поворот орта i ′

при вращении с угловой скоро-

стью ωr

. Модуль вектора

di ′ равен

di ′

=

i ′

dϕ = dϕ.

Разделим на dt обе части

dir′

=

dir′

=

dϕ

=ω.

dt

dt

dt

r

При dtr → 0, dϕ → 0 и векторdi ′оказывается перпендику-

лярным к i ′ и ω . Запишем

ddti ′ =ωr ×ir′.

Это выражение правильно дает как модуль, так и направление вектора. Аналогично,

drj ′

r

r

′

dk ′

r

r

′

=ω × j

,

=ω

×k .

dt

dt

Продифференцируем по времени второй раз

d 2 ir′

dωr r

r

dir′

dωr r

r

v

r

dt

2

=

dt

×i ′

+ ω

×

dt

=

×i

′ +[ω

×[ω

×i ′]],

dt

d 2 rj ′

dωr r

r

drj ′

dωr r

r

v

r

dt

2

=

dt

× j ′

+ ω

×

dt

=

× j

′

+[ω

×[ω

× j ′]],

dt

d 2 kr′

dωr r

r

dkr′

dωr r

r

v

r

=

×k ′

+ ω ×

=

×k ′

+[ω

×[ω

×k

′]].

dt

2

dt

dt

dt

После подстановки получим

109