01_Физические_основы_механики

сила Frп – подъемной силой. Лобовое сопротивление складывает-

ся из сопротивления трения и сопротивления давления.

При малых значениях числа Рейнольдса лобовое сопротивление обусловлено в основном силой трения, которая определяется

формулой Стокса

Fc =6πηrV.

Эта формула точно справедлива для шарика радиусом r .

Рис. 8.13. Движение тела в жидкости

Глава 9. Релятивистская механика

Релятивистская механика – раздел механики, изучающий движения тел со скоростью близкой к скорости света в вакууме. В основе релятивистской механики лежат два постулата, являющиеся обобщением опытных фактов.

9.1. Постулаты Эйнштейна

Вспомним принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчета эквивалентны друг другу с точки зрения механики. Все законы механики и уравнения их описывающие имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

Принцип относительности Галилея был сформулирован в период, когда определенное развитие получила только механика. В результате анализа существующих разделов физики А. Эйнштейн сформулировал утверждение, которое называется принципом

130

относительности Эйнштейна: все физические явления протекают одинаковым образом во всех инерциальных системах отсчета. Все законы природы и уравнения их описывающие, имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

В начале 20 в. были осуществлены знаменитые опыты Майкельсона и Морли, результаты которых, в частности, привели к формулировке постулата о независимости скорости света от скорости источника.

Скорость света в вакууме не зависит от того, покоится источник света или движется и одинакова во всех направлениях. Скорость света в вакууме является предельной: никакой сигнал, никакое тело и воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме равной

c = 3 108 мс .

Физическая теория пространства и времени, созданная А.

Эйнштейном, называется специальной теорией относительности.

9.2. Относительность времени

Рассмотрим следующую задачу. Имеется стержень длиной l , на концах которого закреплены источник света s и зеркало.

В нулевой момент времени источник посылает световой луч, который возвращается в точку s через время

∆τ = cl + cl = 2cl .

Здесь ∆τ – время, отсчитанное по часам наблюдателя, относительно которого стержень покоится. Рассмотрим этот же процесс с точки зрения наблюдателя, относительно которого стержень движется со скоростью u , как показано на рисунке.

Обозначим ∆t – время, необходимое для того, чтобы посланный луч света вернулся в s . Это время отсчитывается по часам наблюдателя, относительно которых стержень движется.

131

Рис. 9.1. Покоящееся зеркало

Рис. 9.2. Движущееся зеркало

132

Из рисунка можно записать
c∆t			2	2			u∆t						2			2		2		∆t			2	2
			= l		+						,			(c			− u		)				= l		,
									2
	2																			2
			∆t	=		2l				1				=			∆τ .
						c
									1	−		u 2					1 −			u 2
																				c2
													c2

Итак, промежуток времени между двумя событиями (вспышка и возвращение луча) оказывается различным в двух системах отсчета

∆t =	2l		1		= ∆τ .
	c
		1	−	u 2	1	−	u 2
				c 2			c 2

Время ∆τ отсчитано по часам, покоящимся относительно стержня. Оно называется собственным временем. Собственным временем тела называется время, отсчитанное по часам, покоящимся относительно этого тела. Время ∆t отсчитывается по часам системы отсчета, в которой стержень движется. Это время называют также временем в лабораторной системе отсчета.

Запишем

∆t

=

1

,

u

<1,

1 −

u 2

<1,

1

>1,

∆t

>1.

∆τ

−

u

2

c

c2

1 −

u

2

∆τ

1

c2

c2

С точки зрения наблюдателя, относительно которого стержень движется, процесс происходит в течение большего времени, т.е. дольше или время для наблюдателя замедляется, ∆t > ∆τ. Указанное явление называется замедлением времени.

9.3. Преобразование координат и времени

Пусть имеется неподвижная система отсчета K и

движущаяся система K ′, в каждой из которых находится наблюдатель.

133

а)

б)

Рис. 9.3 (а, б). Вывод преобразований Лоренца

В момент времени t = t′ = 0 , когда системы совпадают, в начале обеих систем отсчета происходит вспышка света. Пусть источник света точечный. Световые лучи распространятся одинаковым образом во всех направлениях, и точки пространства, до

134

которых в данный момент времени дошли световые лучи, представляют сферическую поверхность.

Обозначим координаты таких точек в системе

K ′ в момент

времени t

′

′ ′

′

- x , y , z .

Запишем уравнение сферы в системе отсчета K ′

x

′2

+ y

′2

+ z

′2

′ 2

.

= (ct )

Наблюдатель в системе K также будет «видеть» сферу.

Пусть

x, y, z –

координаты точек поверхности сферы в мо-

мент t. Тогда

x2 + y2 + z2 = (ct)2 .

Предположим, что «штрихованные» и «нештрихованные» ве-

личины связаны линейными функциями

+ϕt .

x =αx

′

+ βt ,

y = y , z = z , t =γx

′

′

′

′

′

Возьмем дифференциал последнего выражения при условии x′ = const . Получим

∆t =ϕ∆t′.

Интервалы времени в системах отсчета связаны формулой

∆t =

∆t′

,

1 −

u 2

c2

где u – скорость системы отсчета K ′

относительно системы K .

Следовательно,

1 .

ϕ =

1

−

u 2

c2

Решая совместно уравнения, можно получить

u

x′+ut′

t′+ x′

x =

′

′

c2

u 2

, y = y , z = z ,t =

.

1 −

1 −

u 2

c2

c2

135

Заменим «штрихованные» величины на «нештрихованные»

и наоборот и запишем вместо u величину ( − u ):

x′ = x −ut , y′ = y, z′ = z,t′ = t − x				u
				c2	.
1 −	u 2	1 −	u 2
	c2			c2

Полученные формулы называются преобразованиями коор-

динат и времени или преобразованиями Лоренца.

	Рассмотрим случай	u	<<1, и получим преобразования Гали-
		c

лея

x= x′+ut′, y = y′, z = z′,t = t′.

9.4.Следствия из преобразований Лоренца Одновременность событий

В системе K ′ в точках с координатами x1′, x′2 одновременно в момент времени t0′ происходят события – вспышки света.

Запишем из преобразований Лоренца для системы K :

′	′	u			′		′	u
t1 = t0 + x1 c2 , t2 = t0						+ x2 c2 .
1 −	u 2					1 −	u 2
	c2						c 2
Видно, что если события происходят одновременно в системе
K ′, но в разных точках x1′	≠ x2′ , то эти же события в системе K
будут не одновременными	t1 ≠t2 .				События будут одновремен-

ными в обеих системах в том случае, если они происходят в одной и той же точке пространства x1′ = x′2 ,t1 = t2 .

136

Промежуток времени между событиями

В системе K ′ в точке с координатой x0′ в моменты времени t1′,t2′ происходят два события. Промежуток времени между собы-

тиями в системе K ′

обозначим ∆t′: ∆t′ = t2′ −t1′.

Найдем промежуток времени между этими же событиями в

системе K :

u

u

t2′ + x0′

t1′ + x0′

t2′

−t1′

∆t′

c 2

c 2

=

,

∆t =

.

∆t = t2 −t1 =

u 2

−

u 2

u 2

u 2

1−

1−

1

−

1

−

c 2

c 2

c 2

c 2

Обозначим ∆t′ = ∆τ – собственное время, отсчитанное по ча-

сам, покоящимся относительно движущейся системы отсчета K ′. Запишем

	∆τ = ∆t 1 −	u 2	.
		c2

Промежутки времени между двумя событиями оказываются разными в различных системах отсчета.

Сокращение длины

В системе K ′ вдоль оси X ′ неподвижно расположен стержень. Обозначим x1′, x′2 – координаты концов стержня в сис-

теме K ′.

l0 = x′2 − x1′,

где l0 – собственная длина стержня, измеренная в системе отсчета, в которой стержень покоится. Найдем длину стержня в системе K . Для этого нужно определить координаты его концов x1 , x2 в один и тот же момент времени t0 в системе K .

Тогда

137

l = x2 − x1.

Запишем

x2′ − x1′ = x2 − ut0 − x1 − ut0 = x2 − x1 , l0 =

l

,

1 −

u 2

1 −

u 2

1

−

u 2

1 −

u 2

c2

c2

c2

c2

l = l0 1−

u2

.

c2

Рис. 9.4. Сокращение длины

Длина стержня l , измеренная в системе отсчета, в которой стержень движется, меньше, чем собственная длина l0 , измеренная в системе отсчета, где стержень покоится.

9.5. Преобразование скорости

138

Вычислим дифференциал dx и dt и разделим их друг на дру-

га

u

dx = dx′ + udt ,

dt = dt′ + dx′

dx

dx′ + udt

c2

,

=

.

dt

u

2

2

u

1 −

1

−

u

dt′ + dx′

c2

c

2

2

c

Разделим на dt′

числитель и знаменатель

dx

dx

′

+ u

dx

dx′

=

dt

,

=Vx ,

=Vx′.

dt

u

1

+

dx′

dt

dt

dt

c 2

Очевидно, что

Vx′+ u

Vx =

.

1 +Vx′

u

c2

Вычислив дифференциалы dy,dz и поделив их на dt , мож-

но получить формулы

Vy′ 1 −

u 2

Vz′

1 −

u 2

Vy =

c2

c

2

,Vz =

.

1 +Vx′

u

u

1 +Vx′

c2

c2

Рассмотрим случай, когда

u

<<1. Получим

c

Vx =Vx′ +u,Vy =Vy′,Vz =Vz′.

Это формулы преобразования скорости в классической механике.

Пусть частица движется параллельно осям X , X ′, тогда

139