01_Физические_основы_механики

Vr =Vr′ + ur, Vx =Vx′ + u, Vy =Vy ′, Vz =Vz ′.

Здесь Vr – скорость частицы в K -системе, V ′– скорость час-

тицы в K′-системе. Полученные уравнения называются законом классического сложения скоростей. Продифференцируем по времени и получим

	dV			dV ′		dV ′	r	r′
		=			=		, a = a .
	dt			dt		dt′
Пусть K -система –			инерциальная. Рассмотрим частицу, на
которую в K -системе не действуют силы:								a = 0. Запишем для

частицы в системе K′: ar′ = 0,V ′ = const. В системе K′ частица, на которую не действуют силы, движется прямолинейно и равномерно. Следовательно, в K′-системе выполняется первый закон Ньютона и K′-система является инерциальной.

Любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной.

Умножим равенство для ускорений на массу частицы, одинаковую в обеих системах отсчета, и получим mar = mar′, F = F ′.

Запишем F = mar, F ′ = mar′. Уравнение второго закона Ньютона

имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

Отсюда следует принцип относительности Галилея: все меха-

нические явления протекают одинаковым образом в различных инерциальных системах отсчета (при одинаковых начальных условиях) и описываются одинаковыми уравнениями.

Глава 3. Закон сохранения импульса

3.1.Импульс материальной точки и системы материальных точек

Запишем для материальной точки второй закон Ньютона ddtp = Fr .

60

Импульс материальной точки равен pr = mV.

Запишем далее

dpr = Fdt.

Величина в правой части называется элементарным импульсом силы. Проинтегрируем обе части

pr2	r	t2	r	r	r	t	2	r
∫r	dp = ∫Fdt, p2				− p1	= ∫Fdt.
p1		t1				t

Интеграл в правой части называется импульсом силы за промежуток времени. Приращение импульса частицы за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на частицу, за этот же промежуток времени.

Введем определение. Совокупность материальных точек, рассматриваемых в данной задаче, называется системой материальных точек или системой.

Рассмотрим систему N материальных точек, каждая из которых имеет импульс p1 , p2 ,..., pi ,..., pN .

Рис. 3.1. Система материальных точек

61

Импульсом системы материальных точек называется вектор, равный геометрической сумме импульсов материальных точек системы

pr = ∑N pri .

i=1

Пусть имеется К материальных точек. Выделим из них систему из N материальных точек. На каждую материальную точку действуют как частицы данной системы, так и частицы не входящие в систему. Силы, с которыми взаимодействуют частицы сис-

темы, называются внутренними силами F внутр . Силы, действующие на частицы системы со стороны частиц не входящих в

эту систему, называются внешними силами F внешн .

Рассмотрим систему из трех взаимодействующих частиц, на которые действуют также и внешние силы. Обозначим для крат-

кости F внутр = f , F внешн = F.

Рис. 3.2. Силы, действующие на материальные точки системы

Запишем для каждой частицы

62

dp

r

r

r

dp

2

r

v

r

1

=

f

12

+ f

13

+ F ,

= f

21

+ f

23

+ F ,

dt

1

dt

2

dpr

r

r

r

3

= f

31

+ f

32

+ F .

dt

3

Сложим уравнения

dpr1

+

dp2

+

dp3

= (fr12 + fr21 )+ (fr13 + fr31 )+

dt

dt

r

dt

r

r

r

r

.

+ (f23 + f32 )+ F1

+ F2

+ F3

По третьему закону Ньютона каждая скобка равна нулю, сле-

довательно,

d

(pr

+ pr

+ pr

)

r

r

r

2

1

3

=

F

+ F

+ F .

dt

1

2

3

Обобщая результат на систему N частиц, можно записать

d

N

r

N

rвнешн

dpr

N

rвнешн

∑pi = ∑Fi

, или

=

∑Fi

.

dt

dt

i=1

i=1

i=1

Производная импульса системы материальных точек по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на материальные точки системы.

3.2. Закон сохранения импульса

Введем еще одно понятие. Система материальных точек называется замкнутой, если на частицы системы не действуют внешние силы (или их действие пренебрежимо мало). Из предыдущего параграфа следует, что импульс системы может изменяться только под действием внешних сил. Пусть система материальных точек замкнута

Fi внешн = 0 .

При этом

	N	rвнешн		dpr		r	N	r
	∑Fi		= 0,		= 0,	p = ∑pi = const.
				dt
	i=1						i=1

Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным, т.е. не изменяется со временем

63

∑N pri = const .

i=1

Это закон сохранения импульса. При этом импульсы отдельных частиц системы могут изменяться со временем. Пусть в некоторый момент времени t для замкнутой системы частиц

p= p1 + p2 +... + pi +... + pN .

Вдругой момент времени t′

p′ = p1′ + p2′ +... + pi′ +... + p′N .

Из закона сохранения импульса следует, что

p1 + p2 +... + pi +... + pN = p1′ + p2′ +... + pi′ +... + p′N .

Спроецируем обе части равенства, например, на ось x

p1x + p2 x +... + pix +... + pNx = p1′x + p2′x +... + pix′ +... + p′Nx .

3.3. Сохранение импульса в незамкнутой системе

Пусть на частицы системы действуют внешние силы, так что в любой момент Fi внешн ≠ 0. Рассмотрим два случая.

Геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю

				∑Fri		внешн	= 0 .
				N
				i=1
При этом
	dpr	N	rвнешн			r	N	r
		= ∑Fi			=	0, p = ∑pi = const .
	dt
		i=1					i=1

Импульс системы остается постоянным.

Сумма проекций внешних сил на некоторое направление равна нулю

N	rвнешн		N	внешн	= 0 .
∑Fi			= ∑Fix
i=1		x	i=1

Запишем для системы частиц:

64

	dpr	N	rвнешн
		= ∑Fi		.
	dt
		i=1

Спроецируем на оси декартовой системы координат

dprdt x

Перепишем

N

rвнешн

dpr

N

rвнешн

=

∑Fi

,

=

∑Fi

,

dt

i=1

x

y

i=1

y

dpr

N

rвнешн

=

∑Fi

.

dt

z

i=1

z

	d	N	N				d	N	N
		∑pix = ∑Fix внешн = 0,						∑piy	= ∑Fiy	внешн ,
	dt i=1		i=1				dt i=1		i=1
				d	N	N
					∑piz = ∑Fiz внешн.
				dt i=1		i=1

Из первого уравнения запишем

	d	N	N
		∑pix = 0,	∑pix = const.
	dt i=1		i=1

Проекция импульса системы частиц на ось x остается постоянной.

3.4. Центр масс системы

Центром масс (центром инерции) системы называется точка

С, радиус-вектор которой равен

		N r
r		∑mi ri
R	=	i=1	.
c		N
		∑mi

Здесь, m ,rr	i=1
	– масса и радиус-вектор i-й материальной точки

i i

(частицы). Запишем

65

N

M = ∑mi

,

где M – масса системы частиц.

i=1

Далее

r

1

N

r

Rc

=

∑mi ri .

M i=1

Продифференцируем по времени

drr

dR

1

N

c

=

∑mi

i

.

dt

M

Следовательно,

i=1

dt

p

r

1 N

r

1

N

r

Vc =

∑miVi =

∑pi

=

,

M

M i=1

M i=1

где Vr – скорость центра масс; V , pr

– скорость и импульс i-той

c

i i

точки системы; p – импульс системы материальных точек.

Запишем

pr = MVc .

Импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Продифференцируем по времени обе части

dpr = M dVc . dt dt

Известно, что

dp

dt

Следовательно,

N r

=∑Fi внешн. i=1

M dVc = ∑N Frвнешн .

dt i=1 i

Это уравнение движения центра масс системы.

3.5. Система центра масс (Ц-система)

66

Система отсчета, жестко связанная с центром масс системы материальных точек, называется системой центра масс или Ц-

системой.

Запишем в некоторой системе отсчета

pr = MVrc , ∑N pri = MVrc .

i=1

Перейдем в Ц-систему. Очевидно, что в этой системе центр масс покоится и, следовательно, Vc = 0 . Тогда

∑N pri = 0 .

i=1

Всистеме центра масс импульс системы материальных точек всегда равен нулю.

3.6. Движение тела с переменной массой

r Пусть некоторое тело массой m , движущееся со скоростью

V в течение времени dt , получает приращение массы dm , например, за счет того, что часть этого тела отделяется от него со скоростью u относительно тела. В этом случае скорость тела по-

лучает приращение и становится равной V + dV , масса тела становится равной m +dm , причем dm < 0 .

Скорость отделяемого элемента относительно неподвижной

системы отсчета равна ur +V .

Найдем приращение импульса системы за время dt : dpr = (m + dm)(V + dV )+ (−dm)(ur +V )− mV =

= mVr + mdVr + dmVr + dmdVr − dmur − dmVr − mVr = = mdVr − dmur + dmdVr ≈ mdVr − dmur.

Величиной dmdu можно пренебречь по равнению с остальными слагаемыми, следовательно

67

dpr = mdV −dmur.

Разделим на dt

обе части

dV dpr

dpr

dV dm r

dm r

= m

−

u, m

=

+

u.

dt

dt

dt

dt

dt

dt

Запишем

dpr

rвнешн

dV

r

внешн

dm r

= F

,

m

= F

+

u.

dt

dt

dt

Второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл си-

лы и называется реактивной силой

Frреакт = dmdt ur.

68

		Рис. 3.3. Реактивное движение
Величина	dm	> 0 , если масса присоединяется и			dm	< 0 ,
	dt				dt
если масса отделяется. Пусть масса отделяется, тогда					dm < 0 , и
					dt

F реакт направлена против вектора u , как показано на рисунке.

Рис. 3.4. Реактивная сила

Глава 4. Закон сохранения энергии

4.1. Работа и мощность

69