01_Физические_основы_механики

Рис. 8.7. Неразрывность трубки тока

Запишем

ρ= m12 . V12

Если жидкость несжимаема, следовательно,

ρ = const, m12 = const.

Отсюда делаем вывод, что

dm1 = dm2 , ρV1 s1dt = ρV2 s2 dt, V1 s1 =V2 s2 .

Посколькусечения s1 и s2 взятыпроизвольно, этоозначает, что

Vs = const. .

Это выражение называется уравнением неразрывности струи или уравнением неразрывности.

8.6. Уравнение Бернулли

Рассмотрим трубку тока в однородном поле силы тяжести. Выделим часть жидкости сечениями s1, s2 и рассмотрим ее со-

120

стояние в момент времени t. На сеченияr s1, s2		действуют давле-
ния	p1, p2 , создающие силы давления F1, F2 :
	F1 = p1s1 , F2 = p2 s2 .
Если, например, F1 > F2 , то жидкость		между сечениями
s1, s2	за некоторое время dt сместится по трубке так, что сечения
s1, s2	перейдут из положений 1,2 в новые положения 1′, 2′. Обо-
значим V1 ,V2 – скорости частиц жидкости в сечениях s1, s2 . За

время dt через сечения s1, s2 протекают массы жидкости, равные

				dm1 = ρV1dts1 ,				dm2 = ρV2 dts2 .
Для несжимаемой жидкости
dm	= dm	2	,	ρV dts	1	= ρV	dts		2	,	V dts	1	=V	dts	2	= dV, м3	,
1				1		2					1		2

dm1 = dm2 = ρdV.

Здесь dV – объем жидкости, протекающей за dt через каждое сечение s1, s2 .

а)

121

б)

Рис. 8.8 (а, б). Вывод уравнения Бернулли

Если рассматривать жидкость между сечениями как механическую систему массой m, то для нее можно записать выражение

dE = dAстор ,	dAстор	= F dr cos 0 + F dr cosπ =
		1	1	2	2
= p1 s1V1dt − p2 s2V2 dt = p1dV - p2 dV.
Обозначим dm1 –	масса	жидкости		между	′
					сечениями 1,1 ,

′	dm – масса жидко-
dm2 – масса жидкости между сечениями 2,2 ,

сти между сечениями 1′,2. Найдем приращение полной механической энергии системы

122

dE =[E(dm2 ) + E(dm)]−[E(dm1 ) + E(dm)]= E(dm2 ) − E(dm1 ),

													dm						V		2													ρdV								2
E(dm2 ) =T2 +U 2 =																	2		2				+ dm2 gh2									=								V 2			+ ρdVgh2		,
																	2																			2
E(dm ) =T +U														dm V							2	+ dm gh =											ρdV						V		2		+ ρdVgh ,
										1		=					1 1
1			1														2											1		1					2					1				1
	ρdV	V 2 + ρdVgh													−			ρdV					V 2					−	ρdVgh							= p dV - p								dV.
													2
2			2																2					1									1							1			2
					ρV		2		+ ρgh												ρV			2		− ρgh						= p					− p
				2													2		−				1																				,
			2																			2								1						1
					ρV		2		+ p						+ ρgh													ρV		2	+ p + ρgh .
					2									2								2		=					1
			2																									2					1
Поскольку сечения s1, s2																					взяты произвольно , то
											ρV				2		+ p					+ ρgh							= const.
												2
Это уравнение Бернулли.
Для горизонтальной трубки тока, очевидно
										h = h ,											ρV			2		+ p = const.
												1					2				2
Здесь			ρV 2				–				гидростатическое																			давление,										p – статическое

2

давление, сумма определяет полное давление.

8.7. Формула Торричелли

123

Рис. 8.9. Вывод формулы Торричелли

В вертикальный сосуд налита жидкость так, что ее поверхность сообщается с атмосферой, площадь поверхности жидкости

обозначим s1 . В боковой стенке сосуда имеется отверстие площадью s2 , причем s2 << s1 . Выделим трубку тока с сечениями s1, s2 . Запишем условие неразрывности струи:

			s V = s V					2	,V =V			2	s2	,V <<V		2	.
													s
			1 1 2							1					1
													1				s1 , s2 равно ат-
Обозначим V1				≈ 0,V2			=V .				Давление вблизи
мосферному			pa .	Запишем уравнение Бернулли
ρV2 2	+ p	2	+ ρgh		2	= ρV12				+ p + ρgh					, ρV 2		+ p	a	+ ρgh	2	=
2							2				1			1	2

= pa + ρgh1 ,

V 2 = 2g(h1 − h2 ),V = 2g(h1 − h2 ).

124

Обозначим h = h1 − h2 . Тогда

V = 2gh.

Полученное выражение определяет скорость истечения жидкости из отверстия и называется формулой Торричелли.

8.8. Ламинарное течение

Существует два типа течения жидкости. Течение, при котором жидкость можно разбить на слои, не перемешивающиеся друг с другом, называется ламинарным. Течение, при котором происходит перемешивание слоев, называется турбулентным.

Характер течения жидкости определяется безразмерной вели-

чиной, называемой числом Рейнольдса

Re = ρηVL ,

где ρ – плотность жидкости, V – скорость течения жидкости, L

– характерный размер, η – вязкость жидкости, Нм2с = Па с.

Существует критическое значение числа Рейнольдса Re кр ,

значение которого определяет характер течения.

Течение остается ламинарным, если Re < Re кр. Течение ста-

новится турбулентным, если Re ≥ Re кр. Для воды критическое значение числа Рейнольдса равно Re кр =1000.

125

8.9. Внутреннее трение

Рассмотрим ламинарное течение жидкости и выделим два слоя с разными скороcтями V1 >V2 , имеющие общую границу.

Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой. В то же время медленный слой тормозит движение более быстрого слоя. Сила, с которой более медленный слой действует на более быстрый слой, замедляя его движение, называется

силой внутреннего трения между слоями жидкости Fвн .

Опыт дает, что величина силы внутреннего трения равна

Fвн =η dVdz s, H.

dV

Здесь s – площадь соприкосновения слоев, dz – градиент

модуля скорости в направлении оси Z, перпендикулярной направлению скорости движения слоев, η– вязкость жидкости.

Рис. 8.10. Течение слоев жидкости

126

8.10. Течение жидкости в трубе круглого сечения

Пусть жидкость течет в трубе круглого сечения радиуса R с постоянной в каждой точке скоростью, т.е. течение жидкости является стационарным.

Выделим вдоль оси цилиндрический объем радиусом r и длиной l . На него действует сила давления

F= ( p1 − p2 )πr 2 ,

исила внутреннего трения

	F	=η	dV	2πrl.
	вн		dr
	Если течение стационарное
	Vr(t) = const, ar = 0, F = F , ( p − p					)πr 2		dV		2πrl.
					2		=η
		вн		1				dr

Пусть начало оси r находится на оси трубы. Из опыта известно, что по мере удаления от оси скорость течения уменьшается. Это означает, что градиент скорости вдоль оси r отрицательный, следовательно,

dV	< 0,	dV	= −	dV	, ( p	− p	2	)r = −η	dV	2l, dV =
dr		dr		dr	1				dr

= − ( p1 − p2 ) rdr. 2ηl

Проинтегрируем

V = − ( p1 − p2 ) 1 r 2 + const. 2ηl 2

Кроме того, известно также, что у стенки трубы скорость равна нулю

r = R, V (R) = 0.

Подставим граничное условие в выражение для скорости

	0 = −	( p1 − p2 )	R2	+ const,	const =	( p1 − p2 )	R2 .
		4ηl				4ηl
				127

Рис. 8.11. Течение жидкости в трубе

В результате имеем

	( p1 − p2 )		2			r	2
V (r) =		R			−
				1					.
	4ηl					R		2

	Обозначим на оси трубы			( p1 − p2 )
	r = 0,V (0) =V ,V	0	=					R2 .
	0					4ηl
	Тогда
					r	2
						2
	V (r) =V0 1 −				R		.

8.11. Объем жидкости, протекающей через сечение трубы

Найдем объем жидкости, протекающей через сечение трубы за некоторое время. Разобьем сечение трубы на кольца радиусом r и толщиной dr .

Площадь кольца

ds =π(r + dr)2 +πr 2 = 2πrdr.

Объем жидкости, протекающей через ds за время dt , равен dV = dsVdt = 2πrdrV (r)dt.

Объем жидкости, протекающей через все сечения трубы за время dt, равен

128

	R		( p	−	p	2	)			r	2		t
V = ∫2πrdrV (r)dt = ∫2πr			1						−
											2
			4ηl					1		R		dr∫dt =
	0												0
=	πR 4	( p − p )t					.
			1	2

8ηl

Рис. 8.12. Сечение трубы

Обозначим Q = Vt – объем жидкости, протекающий через все

сечение трубы в единицу времени. Тогда

Q = ( p1 − p2 ) πR4 , м3 . 8ηl с

Это выражение называется формулой Пуазейля.

8.12. Движение тела в жидкости

При движении тела в жидкости наrнего действуют силы, рав-

нодействующую которых обозначим R .

Эту силу можно разложить на составляющую, направленную против скорости движения Fc и вторую силу, перпендикулярную скорости Frп . Сила Fc называется лобовым сопротивлением, а

129