Arbeit macht frei

157

Рис.8-40. Передаточная функция для полосового фильтра (a), направленного фильтра (b) и направленного полосового фильтра (c).

	Рис.8-41. Карта изолиний на рис.8-35 после обработки	Рис.8-42. Карта изолиний на рис.8-35 после обработки
		направленным ФНЧ.
	фильтром нижних частот.

УПРАЖНЕНИЯ

Упр.8.1. Выведите выражение для зоны Френеля (ур.(8.2)), используя рис.8-15.

Упр.8.2. Обратитесь к сумме ОСТ (рис.8-1d). Проследите первую кратную волну от дна, которая начинается на времени 2 с и заканчивается на времени около 3 с справа. Обратите внимание на резкое возрастание кажущегося наклона справа. Какова причина этого воз- растания?

Упр.8.3. Выполните обращение ур.(8.5), чтобы вывести выражение для расчета интер- вальных скоростей по коэффициентам отражения (начальная величина скорости равна v0).

Упр.8.4. Обратитесь к рис.8-31a. Рассмотрите кратную волну от первой отражающей по- верхности. Проследите время пробега на диаграмме ВСП (рис.8-31b). Кратные волны не достигают луча падающей волны, поэтому их можно устранить путем суммирования в ко- ридоре.

Arbeit macht frei

158

Упр.8.5. Обратитесь к рис.8-31b. Должны ли быть одинаковыми наклоны падающей и восходящей волн, ассоциированных со слоем?

Упр.8.6. Исследуя спектр скоростей после подавления кратных волн, можете ли вы ска- зать, какая методика была использована: f-k (Раздел 8.2.1) или t-x (Раздел 8.2.2)? (Подсказ-

ка: обратитесь к рис.8-1b, 8-8b и 8-10b).

Упр.8.7. Какой процедуре соответствует суммирование ОСТ в области f-k?

Упр.8.8. Нарисуйте схему времен пробега для точечного рассеивающего объекта на запи- си ВСП без смещения.

Упр.8.9.(a) Рассмотрите модель отражательной способности для профиля I241 на рис.8-20 (правая колонка). Как будут выглядеть боковые граничные эффекты на разрезе прямой модели с нулевым выносом, если вы не подавляете их в своей программе моделирования?

(b) Рассмотрите разрез с нулевым выносом для профиля I241 на рис.6-32 (правая колонка). Как будут выглядеть боковые граничные эффекты на мигрированном разрезе, если вы не подавляете их в своей программе миграции?

159

Приложение A

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Для данной непрерывной функции x(t) одной переменной t, преобразование Фу- рье определяется выражением:

∞
X (ω) = ò x(t) exp(−iωt)dt	(A.1)

−∞

где ω - двойное преобразование Фурье переменной t. Если t обозначает время, то ω - угловая частота. Изменяющаяся во времени частота f связана с угловой частотой равенством: ω = 2πf. Преобразование Фурье является обратимым, т.е. при данном X(ω),

соответствующая временная функция запишется как:
x(t) = ∞ò X (ω) exp(iωt)dω	(A.2)
−∞

Вданной работе, для преобразования Фурье приняты следующие знаки. Для прямого преобразования знак аргумента в степенном выражении является отрицатель- ным, если переменная – время, положительным, если переменная – пространство. Об- ратное преобразование имеет знак, противоположный тому, который использовался в соответствующем прямом преобразовании. Для удобства, масштабные коэффициенты в ур.(A.2) опущены.

Вобщем случае, X(ω) – комплексная функция. Используя свойства комплексной функции, X(ω) можно выразить в виде двух функций частоты:

X (ω) = A(ω) exp[iφ(ω)]

(A.3)

где A(ω) и φ(ω) – соответственно амплитудный и фазовый спектры, которые рас-

считываются по уравнениям

A(ω) = [X r2 (ω) + X i2 (ω)]1 / 2	(A.4a)
и
φ (ω ) = arctan[ X i (ω) / X r (ω )]	(A.4b)
где Xr(ω) и Xi(ω) – действительная и мнимая части преобразования Фурье X(ω).
Если X(ω) выразить в единицах его действительной и мнимой составляющих
X (ω) = X r (ω) + iX i (ω)	(A.5)
и сравнить с уравнением (A.3), можно видеть, что

160
Xr (ω) = A(ω)cosφ(ω)	(A.6a)

и

X i (ω) = A(ω)sinφ(ω)

(A.6b)

Рассмотрим функции x(t) и y(t). В таблице A-1 приведены некоторые основные теоремы, которые полезны в различных случаях применения преобразования Фурье.

Дискретная временная функция называется временным рядом. При оцифровке непрерывная функция x(t) принимает вид:

		x(t) = åxkδ (t − k t), k = 0,1,2...			(A.7)
			k
		Таблица A-1. Теоремы преобразования Фурье (Bracewell, 1965)
		Операция	Временная об-	Частотная область
			ласть
	(1) Сложение		x(t)+y(t)	« X(w)+Y(w)
	(2)	Умножение	x(t)y(t)	« X(w)*Y(w)
	(3)	Свертка	x(t)*y(t)	« X(w)Y(w)
	(4)	Автокорреляция	x(t)*x(-t)	« úX(w)ú2
	(5)	Производная	dx(t)/dt	« iwX(w)
	(6) Теорема Парсефаля		òúx(t)ú2dt	« òúX(w)ú2dw
	В выражении (A.7),		t – шаг дискретизации, а δ(t−k t) – дельта-функция Дирака.
Дискретный эквивалент интеграла Фурье (ур.(A.1)) записывается в виде суммы:
		X (ω) = å xk exp(−iω)k t, k = 0,1,2...			(A.8)
			k
	Определим новую переменную z = exp(−iωΔt). Подставив в уравнение (A.8)
сумму в явном виде, получаем:
			X(z) = x0+x1z+x2z2+…		(A.9)

Функция X(z) называется z-преобразованием x(t); это полином переменной z. Степень z представляет временную задержку дискретных выборок во временном ряду x(t).

Двумерное преобразование Фурье волнового поля P(x,t) определяется как

P(kx ,ω) = òò P(x,t) exp(ikx x − iωt)dxdt	(A.10)
Функция P(x,t) может быть восстановлена по P(kx,ω) двумерным обратным пре-
образованием Фурье:	(A.11)
P(x,t) = òòP(kx ,ω) exp(−ikx x + iωt)dkx dω