191

Применяя оператор к задержанному волновому полю Q(y,ω,z) (ур.(C.33)), полу-

чаем:

i

β

1 ∂3Q

−

∂

2Q

+ i

m

∂Q

= 0

α

m ∂ ∂ 2

∂

2

α

1

∂z

1

z y

y

Таблица C-1. Коэффициенты оптимизированных дробных однона- правленных волновых уравнений (Lee и Suh, 1985)

(C.50)

где m = 2ω/v. Kjartansson (1979) вывел это уравнение другим способом и запро- граммировал его для модели- рования наклона 45° и мигра- ции в пространственно- частотной области. Такая ми- грация, обычно известная как алгоритм омега-x (omega-x algorithm), включает две вло- женные операции: (a) смеще- ние во времени, основанное на уравнении (C.33), которое не зависит от скорости для ми-

грации

времен и зависит от скорости для миграции глубин; (b) фокусировка энергии дифраги- рованных волн с помощью уравнения (C.50).

Имея код для оператора, соответствующего наклону 45°, вы легко реализуете приближения более высоких порядков, которые заданы уравнением (C.46) с ассоцииро- ванными коэффициентами в таблице C-1. Обратите внимание, что разность между ал- горитмами, соответствующими наклонам 45° и 65°, представляет собой значения, ис- пользуемые для коэффициентов (α1, β1). Отметим также, что аппроксимация, соответ- ствующая 15°, получается из уравнения (C.50) при α1 = 0.5 и β1 = 0.

На рис.4-90 показаны импульсные отклики различных приближений однона- правленного дисперсионного соотношения (one-way dispersion relation), которое осно- вано на уравнении (C.46). Можно видеть, что при включении элементов высшего по- рядка в уравнение (C.46), волновые фронты становятся похожими на полукруг. При- ближение, соответствующее наклону 15°, дает эллиптический волновой фронт. При- ближение, соответствующее наклону 45°, дает импульсный отклик, имеющий сердце- видную форму. В Разделе 4.3.4 изложены практические аспекты миграции времен для сильных наклонов в частотно-пространственной области; в Разделе 5.1 рассматривается миграция глубин, а в Разделе 6.5 – трехмерная миграция.

C.4 F-K-миграция

Здесь приводится краткое обсуждение математической формулировки методик f-k-миграции. Начнем с решения скалярного волнового уравнения для волнового поля при нормальном падении (см. уравнение (C.7)) в предположении горизонтально- слоистой модели разреза v(z). Выполняя обратное преобразование Фурье уравнения (C.7), где kx замещено ky, получаем:

192

P( y, z, t) = òò P(k y ,0,ω) exp(-ik z z)×exp(-ik y y + iωt)dk y dω	(C.51)
где kz определено уравнением (C.28). Затем применим принцип получения изо-
бражения t = 0, чтобы получить мигрированный разрез P(y,z,t = 0):
P( y, z,t = 0) = òò P(k y ,0,ω) × exp(-ik y y - ikz z)dk y dω)	(C.52)

Это уравнение метода сдвига фаз (Gazdag, 1978). Уравнение (C.52) включает ин- тегрирование по частоте и обратное преобразование Фурье по оси средних точек y. Схема миграции методом сдвига фаз приведена на рис.4-38.

Рассмотрим особый случай v(z) = v = const. Stolt (1978) разработал методику ми- грации, которая включает распределение в области двумерного преобразования Фурье

из частоты, изменяющейся во времени ω, в вертикальное волновое число kz. Перепи- шем уравнение (C.28):

ω =	v	(k y2	+ kz2 )1 / 2	(C.53)
2

Выполняя дифференцирование и сохраняя горизонтальное волновое число ky без изменений, получаем:

dω =

v

kz

dkz

(C.54)

2

(k y2 + kz2 )1/ 2

Подставив уравнения (C.53) и (C.54) в уравнение (C.52), получаем:

év

k

z

ù

é

v

ù

P(y, z,t = 0) = òòê

ú

× Pêk y ,0,

(k y2 + kz2 )1/ 2

ú

(C.55)

2

2

1/ 2

2

ê2

(k y

+ kz )

ú

ë

û

ë

û

× exp(-ik y y - ikz z)dky dkz

Это уравнение миграции Stolt с постоянной скоростью. Оно включает две опе- рации в f-k-области. Первая операция: частота, изменяющаяся во времени ω, распреде- ляется в вертикальное волновое число kz посредством уравнения (С.53). Это то же са- мое, что размещение точки B` в точку B на рис.4-34. Вторая операция: к амплитудам

применяется масштабный коэффициент

v		kz	(C.56)
2		(k y2 + kz2 )1/ 2

который эквивалентен коэффициенту наклона, ассоциированному с миграцией Кир- хоффа (Раздел 4.2.1). Схема миграции Stolt с постоянной скоростью приведена на рис.4-39.

Чтобы распространить алгоритм на случай изменяющейся скорости без потери эффективности, Stolt (1978) выполнил преобразование координат, которое включает растяжение оси времен таким образом, чтобы волновое уравнение было не зависимым

193

от скорости. Здесь в кратком виде приводится теоретическая процедура. Рассмотрим волновое поле P(y,z,t) и преобразованное волновое поле P(y,d,T):

P(y,z,t) = P(y,d,T)

где T – растянутая ось времен, а d – выходная переменная (эквивалент z) для ми- грации в системе растянутых координат. Здесь переменная y тождественна в обеих сис- темах координат. Этот преобразование координат, в основном, эквивалентно растяже- нию данных с использованием среднеквадратичных скоростей:

	1	é	t	2	ù1/ 2	(C.57)
T(t) =		ê2òdt`vrms (t`)t`ú
	c
		ë	0		û

где

vrms2 (t) = 1t òt v2 (t`)dt`

0

c – произвольная эталонная скорость, используемая для сохранения вертикальной оси как оси времени после преобразования координат из t в T. После выполнения длитель- ных расчетов, задержанное во времени скалярное волновое уравнение принимает сле- дующую форму в растянутых координатах (Stolt, 1978):

	¶2 P	+W	¶2 P	+	2 ¶2 P			= 0	(C.58)
	¶y2		¶d 2		c ¶d¶T

где W – сложная функция скорости и переменных координат. На практике, она обычно задается равной постоянной величине от 0 до 1. Процедура миграции Stolt с растяжением выглядит следующим образом:

(0)Начнем с суммарного разреза, который предполагается разрезом с нулевым выносом P(y,z = 0,t).

(1)Преобразуем этот временный разрез в растянутый разрез P(y,d= 0,t) путем трансформирования координат (ур.(C.57)).

(2)Выполним двумерное преобразование Фурье растянутого разреза

P(ky,d = 0,ωT).

(3)Применим следующую функцию распределения, чтобы выполнить миграцию:

æ

1 ö ωT

1

æ

ωT2

2

ö1 / 2

k

d

= ç1

-

÷

-

ç

2

-Wk

y

÷

(C.59)

è

W ø

c

ç

c

÷

W è

ø

Это уравнение основано на дисперсионном соотношении задержанного волно- вого уравнения в растянутых координатах (C.58).

Приведем (без вывода) выражение для волнового поля после миграции:

								194
ì								1	ü
ï c		é(1-W )+							ùï
í									úý
		ê				[1+ (2 -W )k y2 / kd2 ]1/ 2
ï	2 -W ê								úï
î		ë							ûþ		(C.60)
	ì		é	ck						ùü
					d
× Pík y ,0,			ê			((1		-W ) +[1+ (2 -W )k y2	/ kd2	]1 / 2 )úý
				2 -W
	î		ë							ûþ

(4)Выполним двумерное преобразование Фурье мигрированного разреза в растянутых координатах P(y,d,T = 0).

(5)Вернемся в пространственно-временные координаты P(y,z,t = 0) – это окончательный мигрированный разрез.

При W = 1, уравнение (C.59) принимает простую форму:

		æ		2		ö
k	d	= ç	ωT		- k 2	÷	,
				2
		ç	c		y	÷
		è				ø

которая выполнит распределение эквивалента уравнения (C.59) в алгоритм Stolt с по- стоянной скоростью.

Обратите внимание, что миграция Stolt с растяжением пытается оперировать ва- риациями скорости, но она не является подставляемой величиной для миграции глубин. Stolt лишь предпринял попытку приспособить свой алгоритм к изменениям скорости, которыми может оперировать миграция времен. Практические аспекты f-k-миграции приведены в Разделе 4.3.8.

C.5 Остаточная миграция

Взаимосвязь между выходной и входной частотами, изменяющимися во време- ни, для оператора миграции времен при наклоне 90° (перезапись из уравнения (C.28)), выглядит следующим образом:

	æ	- v		2	2	ö	1 / 2
ω = çω 2					k y	÷	(C.61)
τ	ç			4		÷
	è					ø

где ωτ = vkz/2 – выходная частота; ω – входная частота. Ур.(C.61) относится к одношаговой миграции, если скорость миграции такая же, как скорость в среде. Рас- смотрим двухшаговую миграцию: сначала она выполняется со скоростью v1, а затем – со скоростью v2. Выходная частота первого шага равна:

		æ	2		ö1 / 2
ω		= çω 2	-	v1 k y	÷	(C.62a)
	1	ç	4		÷
		è			ø

Горизонтальное волновое число ky фиксированное, т.к. оно не изменяется в про- цессе миграции. Если выходная частота одношаговой миграции, определенная уравне- нием (C.61), задана равной выходной частоте двухшаговой миграции,