161

Интеграл в ур.(A.10) рассчитывается в два шага: сначала выполняется преобра- зование Фурье в t:

P(x,ω) = ò P(x, t) exp(−iωt)dt	(A.12)

а затем – преобразование Фурье в x, и мы получаем двумерное преобразование Фурье:

P(kx ,ω) = ò P(x,ω) exp(ik x x)dx	(A.13)

ЛИТЕРАТУРА

Bracewell, R.N., 1965 The Fourier transform and its applications: McGraw-Hill Book Co.

Приложение B

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ДЕКОНВОЛЮЦИИ

Представленный здесь материал основан на работах Robinson (1967), Treitel и Robinson (1966), Robinson и Treitel (1980), Claerbout (1976) и Yilmaz (1974).

B.1 Синтетическая сейсмограмма

Рассмотрим модель разреза, которая состоит из однородных горизонтальных слоев с мощностями, соответствующими шагу дискретизации. Сейсмический импе- данс, ассоциированный со слоем, определяется как I = ρv, где ρ - плотность слоя; v – скорость продольных волн в этом слое. Мгновенное значение сейсмического импеданса для k-того слоя определяется как

Ik = ρkvk

(B.1)

Для вертикально падающей плоской волны, коэффициент отражения продоль- ных волн, ассоциированный с границей раздела, определяется как:

ck = (Ik+1 – Ik)/(Ik+1+Ik)

(B.2)

Допустим, что изменение скорости с глубиной пренебрежимо мало сравнитель- но с изменением плотности с глубиной. Уравнение (B.2) принимает вид:

ck = (vk+1 – vk)/(vk+1+vk)

(B.3)

При единичной амплитуде падающей волны, величина коэффициента отражения соответствует доле амплитуды волны, отраженной от границы раздела.

Зная коэффициенты отражения, мы можем рассчитать импульсный отклик гори- зонтально-слоистой модели разреза, используя метод Kunetz (Claerbout, 1976). Им- пульсный отклик содержит не только первичные отражения, но и все возможные крат- ные отражения. Свертка импульсного отклика с импульсом источника дает синтетиче-

162

скую сейсмограмму. К сейсмограмме могут быть добавлены случайные помехи, но мо- дель фильтрации, используемая здесь для принятия обратных фильтров, не включает случайные помехи. Допустим также, что форма импульса источника не изменяется при его распространении в разрезе; следовательно, модель фильтрации не включает внут- реннее затухание.

Свертка сейсмического импульса w(t) с импульсным откликом e(t) дает сейсмо- грамму x(t):

x(t) = w(t)*e(t)

(B.4)

Применив к обеим частям преобразование Фурье, получаем:

X (ω) = W(t)E(ω)

(B.5)

где X(ω), W(ω) и E(ω) представляют соответственно преобразование Фурье сейсмограммы, импульса источника и импульсного отклика.

ПРОПУСК: на стр.498 срезана правая колонка

В действительности, величина нулевой задержки представляет собой накоплен- ную энергию, содержащуюся во временном ряду:

r0 = e02 + x12 +...eN2

−1

(B.12)

Рассмотрим z-преобразование модели фильтрации в уравнении (B.4):

X(z) = W(z)E(z)

(B.13)

Подставив 1/z вместо z и взяв комплексно сопряженную величину, получаем:

		(1/ z) =		(1/ z)		(1/ z)	(B.14)
	X		W		E

где черта над символом означает комплексно сопряженную величину. Перемно- жив обе части уравнений (B.13) и (B.14), получим:

X (z)		(1/ z) = [W (z)		(1/ z)][E(z)		(1/ z)]	(B.15)
	X		W		E

Сделаем перегруппировку в правой части:

X (z)		(1/ z) = [W (z)E(z)]{		(1/ z)		(1/ z)]	(B.16)
	X		W		E

По определению, ур.(B.16) дает

rx = rw*re

(B.17)

где rx, rw и re – функции автокорреляции соответственно сейсмограммы, сейсми- ческого импульса и импульсного отклика.

Основываясь на предположении белой последовательности коэффициентов от- ражения, получаем:

rx =r0 rw

(B.18)

163

Согласно уравнению (B.18), ФАК сейсмограммы представляет собой масштаби- рованную версию ФАК сейсмического импульса. Мы увидим, что для преобразования

сейсмического импульса в единичный импульс с нулевой задержкой необходимо знать ФАК импульса. Ур.(B.18) свидетельствует о том, ФАК сейсмограммы может быть ис- пользована вместо сейсмического импульса, т.к. он часто неизвестен.

B.2 Обратная величина импульса источника

Основным назначением деконволюции является сжатие импульса источника в единичный импульс с нулевой задержкой, что обеспечивает разрешение отражений, расположенных близко одно к другому. Допустим, что существует следующий опера- тор фильтра f(t):

w(t)*f(t) = δ(t)	(B.19)
где δ(t) – дельта-функция Кронекера. Фильтр f(t) называется обратным фильтром
для w(t). Запишем f(t) в единицах сейсмического импульса w(t):
f(t) = 1/w(t)	(B.20)
z-преобразование сейсмического импульса конечной длины m+1 записывается
как (Приложение A):
W(z) = w0+w1z+w2z2+…+wmzm	(B.21)

z-преобразование обратного фильтра может быть получено деления полиномов:

F(z) = 1/W(z)

(B.22)

Результатом является другой полином, коэффициенты которого представляют собой элементы обратного фильтра:

F(z) = f0+f1z+f2z2+…+fnzn+…

(B.23)

Полином F(z) в уравнении (B.23) имеет только положительные степени z; это означает, что фильтр f(t) является каузальным. Если коэффициенты F(z) асимптотиче- ски приближаются к нулю при времени, стремящемся к бесконечности, фильтр имеет конечную энергию, и мы говорим, что фильтр f(t) является реализуемым. Если коэффи- циенты возрастают без ограничения, мы говорим, что нереализуемый. На практике мы предпочитаем работать с каузальным и реализуемым фильтром. Такой фильтр, по оп- ределению, является также минимально-фазовым. Если это так, то сейсмический им- пульс w(t) также должен быть минимально-фазовым. Чтобы применить фильтр с ко- нечной длиной n+1, полином F(z) должен быть усеченным. Усечение оператора фильт- ра обуславливает некоторую ошибку при сжатии сейсмического импульса.

Обращение сейсмического импульса может быть также выполнено в частотной области. По уравнению преобразования Фурье (B.19) получаем:

W(ω)F(ω) = 1

(B.24)

Подставив (B.6b), получаем:

164

F(ω) = 1/{Aw (ω) exp[iφw (ω)]}

Выразим преобразование Фурье обратного фильтра F(ω) как

F(ω) = Af (ω) exp[iφ f (ω)]

и сравним его с (B.25); получаем:

Af (ω ) = 1 / Aw (ω )

и

φ f (ω ) = −φ w (ω )

(B.25)

(B.26)

(B.27a)

(B.27b)

Уравнения (B.27) показывают, что амплитудный спектр обратного фильтра представляет собой обратную величину спектра сейсмического импульса, а фазоча- стотный спектр обратного фильтра представляет собой фазочастотный спектр сейсми- ческого импульса с обратным знаком.

B.3 Обратный фильтр

Вместо процедуры деления полиномов (уравнение (B.22)), рассмотрим другой подход к выведению обратного фильтра. Начнем с z-преобразования ФАК сейсмиче-

ского импульса

Rw (z) = W (z)W (1/ z)

и z-преобразования уравнения (B.19)

W (z)F (z) = 1

откуда получаем

W (z) = 1/ F(Z)

Подставим в уравнение (B.28):

Rw (z)F(z) = W (1/ z)

Поскольку импульс является функцией реального времени,

rw (t) = rw (−t)

(B.28)

(B.29)

(B.30)

(B.31)

(B.32)

Рассмотрим особый случай трехточечного обратного фильтра (f0, f1, f2). Допус- тим, что сейсмический импульс w(t) является минимально-фазовым (каузальным и реа-

165

лизуемым); следовательно, результат его обращения f(t) также является минимально- фазовым. z-преобразование f(t) выглядит как

F(z) = f0 + f1 z + f 2 z 2	(B.33a)
z-преобразование его автокоррелограммы rw(t) выглядит как
Rw (z) = ... + r2 z −2 + r1 z −1 + r0 + r1 z + r2 z 2 + ...	(B.33b)
z-преобразование w(t) выглядит как

		W (z) = w	0	+ w z + w		z 2 + ...+ w		m	z m
				1	2
следовательно,
		(1/ z) = w0	+ w1 z −1 + w2 z −2				+ ...wm z −m			(B.33c)
	W

Подставив уравнения (B.33a), (B.33b) и (B.33c) в уравнение (B.31), получаем:

(r2 z −2 + r1 z −1 + r0 + r1 z + r2 z 2 )( f0 + f1 z + f2 z 2 ) = w0 + w1 z −1 + w2 z −2

(B.34)

Чтобы решить это уравнение по (f0, f1, f2), идентифицируем коэффициенты сте- пеней z. Коэффициент z0:

r0 f0 + r1 f1 + r2 f2 = w0

Коэффициент z1:

r1 f0 + r0 f1 + r1 f 2 = 0

Коэффициент z2:

r2 f0 + r1 f1 + r0 f2 = 0

В матричной форме, уравнения для коэффициентов дают:

ér0	r1	r2	ùé f0		ù	éw0		ù
êr	r	r	úê f	1	ú	= ê	0	ú	(B.35)
ê 1	0	1	úê		ú	ê		ú
ê	r1		úê		ú	ê	0	ú
ër2		r0 ûë f2			û	ë		û

Обратите внимание, что величина w0 , равная w0 для обычного случая импульса

действительного источника, представляет собой амплитуду импульса при t = 0. Имеют- ся четыре неизвестных и три уравнения. Нормируя относительно f, получаем:

ér	r	r	ùé 1	ù	éLù
ê 0	1	2	úê	ú	ê	0	ú	(B.36)
êr1	r0	r1	úêa1	ú	= ê		ú
ê	r1		úê	ú	ê	0	ú
ër2		r0 ûëa2		û	ë		û