Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 7. Дробные рациональные выражения

ìè тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:

P1 + P2 = P1 + P2 . Q Q Q

Аналогично обстоит дело в случае разности дробей с одинаковыми знаменателями:

P1 - P2 = P1 - P2 . Q Q Q

Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

П р и м е р. Упростить выражение

3 + 2x - 1 - 2 . 2x2 + 2x x2 - 1 x

qИмеем 2x2 + 2x = 2x (x + 1); x2 - 1 = (x - 1)(x + 1).

Общий знаменатель равен 2x (x + 1) (x - 1); значит,

3

+

2x - 1

-

2

=

3

x-1

+

2x - 12x

-

2x2 + 2x x2 - 1 x 2x (x +

1) (x - 1) (x + 1)

2

2(x-1)(x+1)

3 (x - 1) + 2x(2x - 1) - 4(x - 1) (x + 1)

-

=

=

x

2x (x - 1) (x + 1)

=

x + 1

=

1

.n

2x (x - 1) (x + 1)

2x (x - 1)

67. Умножение и деление рациональных дробей. Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби,

91

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:

P1 × P2 = P1 × P2 .

Q1 Q2 Q1 × Q2

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

P1 : P2 = P1 × Q2 .

Q1 Q2 Q1 × P2

Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

П р и м е р. Выполнить действия:

à)

x2 + 2x + 1

×

9x4

; á)

a3 - 2a2

:

a2 - 4

.

18x3

x2 - 1

3a + 3

3a2 + 6a + 3

q Имеем

x2 + 2x + 1

(x + 1)2

9x4

9x4

=

;

=

.

18x3

18x3

x2 - 1 (x -

1) (x + 1)

Используя правило умножения дробей, получа-

åì

x2 + 2x + 1	×	9x4	=	(x + 1)2	× 9x4	=	x	(x + 1)	.
							2(x - 1)
18x3		x2 - 1 18x3 (x + 1) (x - 1)

92

АЛГЕБРА

§ 7. Дробные рациональные выражения

б) Имеем

a3 - 2a2

=

a23(a - 2)

;

a2 - 4

=

(a - 2)(a + 2)

.

3a + 3

3(a + 1)

3a2 + 6a + 3

3(a + 1)2

Используя правило деления дробей, находим

a3 - 2a2

a2 - 4

a2(a -

2) × 3(a + 1)2

:

=

=

3a + 3

3a2 + 6a + 3

3 (a + 1) (a - 2) (a + 2)

=

a2(a

+ 1)

. n

a +

2

68. Возведение рациональной дроби в целую сте-

P

ïåíü. Чтобы возвести рациональную дробь Q â íà-

туральную степень n , нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение — числитель, а второе выражение — зна-

	æ	P ön			Pn
менатель результата:	ç		÷	=		.
	è Q ø				Qn

П р и м е р 1. Преобразовать в дробь степень

æ

2x

2

y

3

ö3

ç

÷

.

ç

5

÷

3z

è

ø

æ

2x

2

y

3

ö3

(2x

2

y

3

)

3

8x

6

y

9

q

ç

÷

=

=

. n

5

5

3

15

ç

3z

÷

(3z

)

27z

è

ø

93

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

При возведении дроби в целую отрицательную

æ

P ö-n

æ

Q ön

степень используется тождество

ç

÷

= ç

÷ ,

è

Q ø

è

P ø

справедливое при всех значениях переменных, при

которых P ¹ 0 è Q ¹ 0.

П р и м е р 2. Преобразовать в дробь выражение

æ

(a + b)2(a - b)3 ö-5

ç

÷

.

ç

+ 2b)

4

÷

(a

è

ø

æ

(a + b)2(a - b)3

ö

-5

æ

(a + 2b)4

ö5

q

ç

÷

=

ç

÷

=

ç

(a + 2b)

4

÷

ç

(a + b)

2

(a - b)

3

÷

è

ø

è

ø

(a + 2b)20

= (a + b)10 (a - b)15 . n

69. Преобразование рациональных выражений.

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой — целые рациональные выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

П р и м е р. Упростить выражение

æ

2a

4a2

ö

æ

2a

1

ö-1

8a2

ç

-

÷

× ç

+

÷

++

.

ç

2a + b

2

2

÷

ç

2

2

÷

2a + b

è

4a

+ 4ab + b

ø

è

4a

- b

b - 2a ø

94

АЛГЕБРА

§ 7. Дробные рациональные выражения

2

2a

+b

2

2a

-

4a

=

2a

+ b

4a

=

q1)

-

2a + b

4a2 + 4ab + b2

2a + b

(2a + b)2

=

2a(2a + b) - 4a2

=

2ab

;

(2a + b)2

(2a + b)2

2)

2a

+

1

=

2a

-

12a+b

=

4a2 - b2

b

- 2a (2a - b) (2a + b) 2a - b

=

2a - 2a - b

=

-b

;

(2a

- b) (2a + b)

(2a - b) (2a + b)

æ

b

ö

-1

(2a - b) (2a + b)

3)

ç -

÷

= -

;

ç

(2a - b) (2a + b)

÷

b

è

ø

	2ab	æ		(2a - b) (2a + b) ö		=
4)		× ç	-		÷
	(2a + b)2
		è		b	ø

= -

2ab (2a - b) (2a + b)

=

2a (b - 2a)

=

2ab - 4a2

;

b(2a + b)2

2a + b

2a + b

2ab - 4a2

8a2

2ab + 4a2

5)

+

=

=

2a + b

2a

+ b

32a + b

= 2a (2a + b) = 2a.n

2a + b

95

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

§8. Иррациональные выражения

70.Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов). При преобразовании арифметических корней используются их свойства 10 — 50 (ñì. ï. 37).

П р и м е р. Упростить выражение:

à) 45a	5	æ3	a	2	ö5		â)	4	23	x ; ã)	30 9
	;	á) ç			÷	;		x			2 ;
		è			ø

ä) 5 a × 5 a2 ; å) 3 a × 6 a (все переменные считаются принимающими только неотрицательные значения).

q а) Используя свойство 10, получим

5	=	9a	4	× 5a	=	9 × a	4	× 5a	= 3a	2	5a.
Ö4545a5

Такое преобразование называется вынесением множителя èç-ïîä знака корня.

æ3	a2	ö5		3	(a2)5 =
б) Согласно свойству 30, имеем з		÷	=
è		ø

= 3 a10 . Упростим подкоренное выражение, для чего

вынесем множитель за знак корня. Тогда 3 a10 =

= 3 a9 × a = 3 a9 × 3 a = a33 a.

в) Преобразуем выражение x23 x, äëÿ ÷åãî âîñ-

96

АЛГЕБРА

§ 8. Иррациональные выражения

пользуемся внесением множителя под знак корня:

x23 x = 3 (x2)3 × 3 x = 3 x6 × 3 x = 3 x6 × x = 3 x7 .

Согласно свойству 40, имеем 4 3 x7 = 12 x7 .

г) В силу свойства 50 показатель корня и показатель степени подкоренного выражения можно разделить на одно и то же натуральное число. Разделив указанные

показатели на 3, получим 30 29 = 10 23 === 10 8.

д) Согласно свойству 10, для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

5 a × 5 a2 = 5 a × a2 = 5 a3 .

е) Прежде всего нужно привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 50, мы можем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натураль-

ное число. Поэтому 3 a = 6 a2 . Далее имеем 6 a2 ´

´ 6 a = 6 a3 . Разделив теперь показатели корня и степени подкоренного выражения на 3, получим 6 a3 =

= a. n

На практике при выполнении действий над радикалами довольно часто переходят к дробным показателям. Например,

	3 7			3		+ 7			23
8 x3 × 12 x7 = x		× x		= x						= 24 x23 .
	8		12		8		12 = x24

97

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

71. Тождество Ö

a2

= |a|. Упростим выражение

a2 .

Здесь возможны два случая: a ³ 0

èëè

a < 0.

Åñëè

a ³ 0, òî a2

= a; åñëè æå a < 0, òî

a2

= -a.

Значит,

ìa,, еслиåñëèaa³³0,

a2 = í

-–a ,åñëèесли a<<0.0.

î

,

a

Но точно так же определяется модуль действи-

тельного числа (см. п. 28). Итак,

a2

= a.

Например,

32 = 3 = 3;

(-5)2

= - 5 = -(-5) = 5.

Вообще, если n — четное число, т. е. n = 2k, òî

2k a2k = a .

П р и м е р. Упростить

x2 - 6x + 9 + 2 - x + x - 3.

q Имеем

x2 - 6x + 9 =

(x - 3)2

= x - 3.

Òàê

как заданное выражение содержит слагаемое

2 - x,

òî 2 - x ³ 0,

откуда находим, что x £ 2. Значит,

õ – 3 < 0, а потому

x - 3

= -(x - 3) = 3 - x.

Èòàê,

x2 - 6x + 9 = 3 - x, и мы получаем

x2 - 6x + 9 + 2 - x + x - 3 =

= 3 - x + 2 - x + x - 3 = 2 - x. n

98

АЛГЕБРА

§ 8. Иррациональные выражения

72. Преобразование иррациональных выражений. Для преобразования иррациональных выражений используют свойства радикалов (см. п. 37) и свойства степени с рациональным показателем (см. п. 40).

П р и м е р. Упростить выражение

æ 4

4

ö2

-

1

x3

-

x

1

+

æ

2

ö

f (x) =

ç

+

x ÷

+

+ x

-1

2

ç

÷

ç x0

÷ .

4

ç

÷

ç

1 -

x

x

÷

è

x

ø

è

ø

q 1)

4

x3 - 4 x

=

4

x (4

x2

- 1)

=

1 -

1 - x

x

= 4 x (4 x - 1) = -4 x;
	1 -		x
					+ x		- 4		4
2) -	4	x +		1		=		x	4· Öxx++11+ +xÖx		=
					4 x				4	=
										x

= -		x + 1 +		x =		1	;
		4 x				4 x
	æ	ö2					1 ;
3)	ç	1 ÷ =			1	=
	ç 4	÷	(	4	x)2		x
	è	x ø
4)	x0 + 2 + x-1 = 1 + 2 + 1 =
		x					x x

= x + 2 x + 1 = ( x + 1)2 .

xx

99

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

æ

x + 1)2 ö

-

1

1

æ

ö

5)

(

2

x

2

=

ç

÷

= ç

÷

ç

x

÷

ç

x + 1)

2

÷

è

ø

è (

ø

=

x

=

x .

(

x + 1)2

x + 1

6)

1

×

x

=

1 .

x

x + 1

x + 1

Обычно стараются записать ответ так, чтобы в знаменателе не содержалась иррациональность. Для избавления от иррациональности в знаменателе дро-

	áè	1	умножим и числитель, и знаменатель на
		x + 1

x - 1 — это выражение называется сопряженным

для выражения x + 1. Получим
1 =	x - 1	=	x - 1	= x - 1. n
x + 1	( x + 1) ( x - 1)		( x)2 - 12	x - 1

§ 9. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма

73. Понятие трансцендентного выражения. Трансцендентным называется выражение, содержащее переменные под знаком трансцендентной функции, т.е. под знаком показательной, логарифмической, тригонометрических или обратных тригонометрических функций (см. пп. 114, 116, 118, 126–128).

100