Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

				-	3
	tg t =	sin t	=		5	=	3	, ctg t =	4	.
		cos t			4
				-		4		3
					5

Èòàê, cost = - 4 , tg t = 3 , ctg t = 4 . n

5

4

3

82. Формулы двойного угла. Если в формулах (3), (1), (5) из п. 79 положить a = t, b = t, то получим следующие тождества:

	sin2t = 2sint cost,							(1)
	cos2t = cos2 t - sin2 t,							(2)
	tg 2t =	2 tg t			.			(3)
		1 - tg2 t
	Формула (3) верна при t ¹		p	+		pk	, k Î Z.
	4				2

Соотношения (1), (2) и (3) называют формулами двойного угла. С их помощью синус, косинус, тангенс любого аргумента можно выразить через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента. Например, справедливы равенства

sin5t = 2sin 5t cos 5t , cos 8t=- cos2 4t - sin2 4t. 2 2

В ряде случаев полезным оказывается использование полученных формул «справа налево», т.е. за-

мена выражения 2sin t cos t выражением sin2t, âû-

111

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

ражения cos2 t - sin2 t выражением cos2t è, íàêî-

нец, выражения

2 tg t

выражением tg2t.

1 - tg2 t

П р и м е р. Упростить выражение tg t - ctg t.

q tg t - ctgt =

sint

-

cost

=

sin2 t - cos2 t

=

cost

sint

sint cost

= -

cos2 t - sin2 t

= -2

cos 2t

= -2 ctg 2t. n

1

sin2t

sin 2t

2

83. Формулы понижения степени. Çíàÿ, ÷òî

cos2 t + sin2 t = 1 (ñì. ï. 81), à

cos2 t - sin2 t = cos 2t

(см. п. 82), находим

cos2 t =

1 + cos2t

.

(1)

2

Аналогично находим

sin2 t =

1 - cos2t

.

(2)

2

Формулы (1) и (2) называются формулами пониже-

ния степени. Они позволяют преобразовать sin2 t è cos2 t в выражения, содержащие первую степень косинуса двойного аргумента. Например, справедли-

вы равенства

æ 2p

ö

- cos x

æ p

ö

1

+ cosç

+ 2a÷

3

2 x

1

2

=

è

ø

sin

=

, cos

ç

+ a÷

.

2

2

è 3

ø

2

112

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

Формулы (1) и (2) используются и «справа нале-

во» для преобразования сумм 1 + cos2t, 1 - cos2t в произведения. Например, верны равенства

2		5x				2			a + b
1 + cos5x = 2 cos				, 1		- cos (a + b) = 2sin				.
	2								2
П р и м е р 1. Доказать тождество
	tg		t		=		sin t	.
	2						1 + cos t

q Знаменатель правой части преобразуем по формуле (1), а числитель — по формуле синуса двойного угла (см. п. 82). Получим равенство

sin t		2sin t cos t			sin t		= tg t , n
	=	2	2	=		2
1 + cos t		2 cos	2 t		cos	t	2

22

справедливое при всех t ¹ p + 2pk, k Î Z.

П р и м е р 2. Вычислить sin4 x + cos4 x, åñëè

известно, что cos2x = 5 . 13

q Воспользовавшись тем, что sin4 x = (sin2 x)2 è

cos4 x = (cos2 x)2, применим формулы понижения степени:

sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 =

æ 1		- cos 2x ö2		æ 1		+ cos 2x ö2			2	+ 2 cos2 2x
= ç			÷	+ ç			÷	=			=
		2				2				4
è			ø	è			ø

113

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

2

1 +

25

=

1 + cos

2x

=

169

=

97

. n

2

169

2

84. Выражение

sin t, cos t è

tg t

через

tg

t

.

2

Используя тождества sint = 2 sin

t

cos

t

2

t

+

è

cos

2

2

2

2

t

+ sin

= 1 (см. пп. 82 и 81), запишем

2

2 sin

t

cos

t

t

t

sin t = 2 sin

cos

=

2

2

.

2

2

cos

2

t

+ sin

2 t

2

2

Разделим числитель и знаменатель последней

дроби почленно на

cos

2 t

:

2

2 tg

t

sin t =

.

(1)

2

1 + tg2

t

2

Далее, учитывая, что в силу формулы (2) п. 82 cost = cos2 t - sin2 t , аналогично получим

22

		1 - tg2	t
	cos t =		2		.	(2)
		1 + tg2	t
			2

114

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

Наконец, разделив равенство (1) на (2), получим

	2 tg	t
tg t =	2				.	(3)
	1 - tg2		t
	2

Формулы (1) — (3) справедливы при t ¹ (2n + 1)p,

n Î Z.

П р и м е р. Найти

2 + 3 cos t

, åñëè tg

t

= -

2

.

4 - 5 sin t

2

3

q Согласно формулам (1) и (2), имеем

æ

2 ö

4

2ç -

÷

1 -

sin t =

è

3 ø

= -

12

, cos t =

9

=

5

,

æ

2 ö2

13

4

13

1 +

1 + ç -

÷

9

è

3 ø

2 +

15

2 + 3 cos t

13

41

откуда

=

=

. n

4 - 5 sin t

60

4

+

112

13

85. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. Имеют место следующие формулы:

sin a + sin b = 2sin a + b cos a - b ,		(1)
2	2
sin a - sinb = 2 sin a - b cos a + b ,		(2)
2	2
cos a + cosb = 2 cos a + b cos a - b ,		(3)
2	2

115

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

	cos a - cosb = -2sin		a + b	sin	a - b		,	(4)
	2					2
	tg a + tg b =	sin (a + b)				,		(5)
		cos a cos b
	tg a - tg b =	sin(a - b)				.		(6)
		cos a cos b

Формулы (5) и (6) верны при a è b, отличных от

p + pk, k Î Z. 2

П р и м е р. Преобразовать в произведение

cos 48o - cos12o.

q Применив формулу разности косинусов (4) при a = 48o, b = 12o, получим

cos 48o - cos12o = -2sin	48o +	12o	sin	48o - 12o	=
2			2

= -2 sin30o sin18o.

Òàê êàê sin30o = 0,5, то окончательно получим

cos 48o - cos12o = - sin18o. n

86. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Справедливы следующие формулы:

sin a cos b =		sin (a - b) + sin (a + b)	,		(1)
2
sina sinb =	cos(a - b) - cos(a + b)			,	(2)
2

116

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

cos a cosb =	cos(a - b) + cos(a + b)	.	(3)

2

П р и м е р. Преобразовать в сумму sin43o cos19o.

q Воспользовавшись формулой (1) при a = 43o,

b = 19o, получим

sin 43o cos19o = sin(43o - 19o ) + sin(43o + 19o ) = 2

=1 (sin24o + sin62o ). n 2

87. Преобразование выражения a cos t + b sin t

ê âèäó Asin (t + a). Любое выражение вида a cost +

	+b sin t	можно представить в виде A sin(t + a).								Äëÿ
	этого вынесем за скобки выражение							a2 + b2		è ïî-
	лучим
				a cost + b sint =
			æ		a		b		ö
	=	a2 + b2 ç				cost +			sint÷.
			ç	a2	+ b2	a2	+ b2		÷
			è						ø
	æ	a	ö2	æ	b	ö2
	Íî ç		÷	+ ç		÷ = 1.	Это значит, что
	ç		÷	ç		÷
	è a2 + b2		ø	è	a2 + b2 ø

117

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

a	è	b
точка с координатами		лежит
a2 + b2		a2 + b2

на единичной окружности, поэтому существует такое a, ÷òî

a	= sin a,	b	= cos a.
a2 + b2		a2 + b2

Обозначив a2 + b2 через À, имеем

a cost + b sint = A (sin a cost + cos a sint).

Применив к выражению в скобках формулу (3) из п. 79, получим

a cost + b sint = A sin(t + a).

Числа a, b, A, a связаны друг с другом соотношениями

a = A sina, b = A cos a, A = a2 + b2 ,

sin a =	a	, cos a =	b	.
	a2 + b2		a2 + b2

Например,

3 sin2t + 4 cos2t = 5 sin(2t + a),

ãäå sina = 4 , cos a = 3 .

55

88.Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. Для преобразования выражений, содержащих обратные

118

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

тригонометрические функции, используют определения этих функций (см. пп. 126–128) и формулы тригонометрии.

П р и м е р 1. Упростить выражение sin(arccosx),

ãäå -1 £ x £ 1.

q Положим y = arccos x. Тогда cos y = x, ãäå

0 £ y £ p. Нужно найти siny. Известно,	÷òî sin2 y =
= 1 - cos2 y, поэтому sin2 y = 1 - x2. Íî	0 £ y £ p, à

на отрезке [0, p] синус принимает только неотрица-

тельные значения. Таким образом, siny = 1 - x2 ,

ò. å. sin(arccosx) = 1 - x2 . n

П р и м е р 2. Вычислить tg (0,5 arccos (- 0,6)).

q Пусть a = arccos (- 0,6). Тогда cos a = - 0,6, где p /2 < a < p. Нужно вычислить tg (a /2). Имеем (см.

	ï.	83) cos2(a /2) = 0,5 (1 + cos a) = 0,5 (1 - 0,6) = 0,2.
	Далее, так как 1 + tg2(a /2) =			1	(ñì. ï. 81),
			cos2	(a /2)
	òî	1 + tg2(a /2) = 5, откуда	tg2 (a /2) = 4, ò. å.
	tg (a / 2) = 2 èëè tg (a /2) = -2.

По условию, p /2 < a < p, т. е. p /4 < a /2 < p /2,

а в интервале (p / 4, p /2) имеем tg (a /2) > 0. Итак, tg (a /2) = 2, т. е. tg (0,5 arccos (- 0,6)) = 2. n

119

Раздел III

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

§11. Свойства функций

89.Определение функции. Числовой функцией

ñобластью определения D называют соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от x. Переменную x называют независимой переменной (èëè аргументом). Число y, соответствующее числу x, называют значением функции f в точке x

и обозначают f (x) (читают: «эф от икс»). Буквой f обозначается заданная функция, т.е. функциональная зависимость между переменными x è y, и используется запись y = f (x). Говорят также, что f (x) есть значение функции f в точке x.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции, ее обозначают D (f).

Все значения, которые принимает функция f (x) (ïðè x, принадлежащих области ее определения), образуют

множество значений функции, его обозначают E (f). Имеются и другие подходы к введению понятия функции, например такой: переменная y называется функцией переменной x, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения x однозначно определить значение y.

Рассмотрим функцию y = x2, ãäå 1 £ x £ 3. Эта запись означает, что задана следующая функция: каждому числу x из отрезка [1, 3] ставится в соответствие квадрат этого числа. Например,

120