Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§12. Виды функций

99.Прямая пропорциональность. Говорят, что переменные x è y связаны прямой пропорциональной зависимостью, если их отношение постоянно:

y / x = k, ò.å. y = kx. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой y = kx,

ãäå k ¹ 0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Перечислим свойства функции y = kx : 10. Область определения — множество R.

20. Функция нечетная, так как f(-x) = k(-x) = = -kx = -f(x).

30. Ïðè k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

T.3.2. Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат.

На рис. 19 изображены графики функции y = kx ïðè k > 0 è k < 0.

П р и м е р. Построить график функции y = 2x.

qДля построения искомой прямой достаточно найти одну ее точку, отличную от начала координат, и провести прямую через начало координат и найденную точку. В качестве такой точки выберем точку

(1; 2) (åñëè x = 1, òî y = 2 Ч 1 = 2 ) График функции y = 2x изображен на рис. 20.n

100. Линейная функция. Линейной функцией называется функция, заданная формулой y = kx + b, ãäå k è b — действительные числа. Если, в частности,

131

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Ðèñ. 19 Ðèñ.20

k = 0, то получаем постоянную функцию y = b; åñëè b = 0, то получаем прямую пропорциональность y = kx.

Перечислим свойства линейной функции ó = kx +

+b ïðè k ¹ 0,b ¹ 0 :

10. Область определения — множество R.

20. Функция ни четная, ни нечетная.

30. Ïðè k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

T.3.3. Графиком линейной функции y = kx + b ÿâëÿ-

ется прямая.

На рис. 21 изображен график функции y = kx + b. Это прямая, параллельная прямой, служа-

щей графиком функции y = kx, и проходящая че-

рез точку (0; b) на оси ординат.

Число k называется угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла a между прямой и положительным лучом оси Ox, ò.å. k = tg a.

132

АЛГЕБРА

§12. Виды функций

Ïр и м е р. Построить график функции

y = - 0,5x + 4.

q Графиком линейной функции является прямая, а для ее построения достаточно знать две точки этой прямой.

Ïðè x = 0 имеем y = 4, à ïðè x = 4 получим y = 2. Отметив на координатной плоскости точки (0; 4) и (4; 2), проведем через них прямую (рис. 22).n

Ðèñ.21

Ðèñ.22

101. Взаимное расположение графиков линейных функций. Пусть даны две линейные функции

y = k1x + b1 è y = k2x + b2. Их графиками служат прямые (см. п. 100). Эти прямые пересекаются, åñëè k1 ¹ k2 (ðèñ. 23, à). Прямые параллельны, åñëè

k1 = k2. Последний случай, в свою очередь, можно

133

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

разбить на два: если k1 = k2 è b1 = b2, то прямые

совпадают; åñëè k1 = k2 è b1 ¹ b2, то прямые параллельны и не совпадают (ðèñ. 23, á).

a)

á)

Ðèñ.23

102. Обратная пропорциональность. Говорят, что переменные x è y связаны обратной пропорциональной зависимостью, если их произведение постоянно: xy = k, ò.å. y = k/x. Обратной пропорциональностью называют функцию, заданную форму-

ëîé y = k/x, ãäå k ¹ 0. Число k называют коэффици-

ентом обратной пропорциональности.

Перечислим свойства функции y = k/x:

10. Область определения — множество R áåç òî÷- êè x = 0.

20. Функция нечетная, поскольку f (– x) = k/(–x) = = – k/x = – f (x).

134

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

30. Åñëè k > 0, то функция убывает на (- ¥,0) и на

(0, + ¥). Åñëè k < 0, то функция возрастает на (- ¥,0)

è íà (0, + ¥).

40. Оси координат, т. е. прямые x = 0 è y = 0, являются вертикальной и горизонтальной асимптотами графика функции (см. пп. 215 и 218).

Это означает, что ветви графика неограниченно (асимптотически) приближаются к осям координат.

Построим график функции y = 1/x. Для этого сначала построим ветвь графика на промежутке

(0, + ¥),	составив таблицу значений функции:
x = 1/ 4,	y = 4; x = 1/ 2, y = 2; x = 1, y = 1; x = 2,

y = 1/ 2; x = 4, y = 1/ 4. Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Это ветвь графика функции y = 1/ x на промежутке (0, + ¥).

Воспользуемся нечетностью функции y = 1/ x è

к построенной ветви добавим ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график

функции y = 1/ x (ðèñ. 24).

Аналогичный вид имеет график функции y = k / x при любом положительном k. На рис. 25 изображен график функции y = 2/ x.

Åñëè k < 0, то ветви графика обратной пропорциональности расположены не в I и III координатных четвертях, как в случае, когда k > 0, а во II и IV четвертях. На рис. 26 изображены графики функций y = -1/ x, y = -2/ x.

135

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Ðèñ.24

Ðèñ.25

График обратной пропорциональности y = k / x

называют гиперболой.

103. Функция y = x2. Перечислим свойства фун-

êöèè y = x2 :

10. Область определения — вся числовая прямая.

20. Функция четная: f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x). 30. На промежутке [0, + ¥) функция возрастает. 40. На промежутке (-¥, 0] функция убывает. Графиком функции y = x2 является парабола (см.

ï.93). Этот график изображен на рис. 15.

104.Функция y = x3. Перечислим свойства функции y = x3 :

136

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

Ðèñ.26

Ðèñ.27

10. Область определения — вся числовая прямая.

20. Функция нечетная: f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x). 30. Функция возрастает на всей числовой пря-

ìîé.

График функции y = x3 изображен на рис.27. Он называется кубической параболой.

105. Степенная функция с натуральным пока-

зателем. Функция y = xn, ãäå n — натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. Ïðè n = 1 получаем функцию y = x, ее свойства рассмотрены в п. 99, а график (прямая) изображен на рис. 14. При n = 2 получаем

функцию y = x2, ее свойства рассмотрены в п. 103, а график (парабола) изображен на рис. 15. При n =

= 3 получаем функцию y = x3, ее свойства рас-

137

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

смотрены в п. 104, а график (кубическая парабола) изображен на рис. 27.

Пусть n — произвольное четное натуральное число, большее двух: n = 4, 6, 8, ... . В этом случае

функция y = xn обладает теми же свойствами, что

и функция y = x2. График такой функции напо-

минает параболу y = x2, только ветви графика при x > 1 тем круче идут вверх, чем больше n, à ïðè

x < 1 тем «теснее прижимаются» к оси Ox, ÷åì

больше n (ðèñ. 28).

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех, т.е. n = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция

y = xn обладает теми же свойствами, что и функ-

Ðèñ. 28

Ðèñ. 29

138

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

öèÿ y = x3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем кру- че идут вверх и вниз, чем больше n; ðèñ. 29). Îòìå-

тим также, что на промежутке (0, 1) график функ-

öèè y = xn тем медленнее отдаляется от оси Ox с ростом x, чем больше n.

106. Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию y = x-n, ãäå n — натуральное число. При n = 1 получаем y = x-1

èëè y = 1/ x. Свойства этой функции рассмотрены

в п. 102, а ее график (гипербола) изображен на рис. 24.

Пусть n — нечетное число, большее единицы:

n =3, 5, 7, ... . В этом случае функция y = x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция

y = 1/ x. График функции y = x-n (n =3, 5, 7, ...) íàïî-

минает график функции y = 1/ x (ðèñ. 30, à). Пусть n — четное число, например n = 2. Ïåðå-

числим некоторые свойства функции y = x-2 :

10. Функция определена при всех x ¹ 0. 20. Функция четная.

30. Функция убывает на (0, + ¥) и возрастает на

(-¥, 0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = x-n при четном n, большем двух.

139

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

a)

á)

Ðèñ. 30

График функции y = x–n при четном n изображен на рис. 30, á.

107. Функция y = x. Перечислим свойства фун-

êöèè y = x :

10. Область определения — луч [0,+ ¥). Это сле-

дует из того, что выражение x определено лишь при x ³ 0.

20. Функция ни четная, ни нечетная. 30. Функция возрастает на луче [0,+ ¥).

Для построения графика составим таблицу зна- чений функции: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1,4; x = 4, y = 2; x = 9, y = 3.

140