Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 4. Комплексные числа

3/4

1/4

При этом удобно пользоваться общим правилом для возведения мнимой единицы i в любую натуральную

степень. Так как i1 = i,		i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, òî
i4n+1 = i, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i, i4n = 1,n Î N.
q	П р и м е р 3. Вычислить (1 + 2i)6.
Согласно формуле бинома Ньютона, имеем
	(1 + 2i)6 = 16 + C1	× 15 × 2i + C2 × 14 × (2i)2 +
	6	6
+ C3	× 13 × (2i)3 + C4 × 12	× (2i)4 + C5 × 1 × (2i)5 + (2i)6	=
6	6	6

= 1 + 12i + 15 × 4i2 + 20 × 8i3 + 15 × 16i4 + 6 × 32i5 + 64i6 =

=1 + 12i - 60 - 160i + 240 + 192i - 64 = 117 + 44i. n

49.Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число z = a + bi на координатной плоскости xOy изображается точкой Ì с координатами à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ называют действительной осью, à îñü Îy — мнимой осью.

Действительные числа изображаются точками действительной оси, а чисто мнимые числа — точками мнимой оси.

На рис. 10 построены изображения комплексных

чисел z1 = 2 + i, z2 = 3, z3 = 2i, z4 = –1 + i, z5 = –2,5, z6 = –1 – i, z7 = –3i, z8 = 3 – 2i. Заметим, что сопряженные комплексные числа изображаются точками, симметричными относительно оси Îõ (точки z4 è z6 íà ðèñ. 10).

Известно, что положение точки на плоскости можно задавать также ее полярными координатами r è j

61

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî r = OM = a2 + b2 является модулем комплексного числа z = a + bi. Полярный угол j называют аргументом комплексного числа, изображаемого этой точкой. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если j — аргу-

мент числа z, òî j + 2pk — также аргумент этого числа при любом целом k. Для однозначности определения аргумента его выбирают в пределах -p < j £ p и обозначают arg z; такое значение аргумента называют главным. В дальнейшем под аргументом комплексного числа будем понимать его главное значение.

Тригонометрической формой комплексного числа z = a + bi называется его запись в виде

z = r(cosj + i sinj),

(1)

ãäå r = a2 + b2 — модуль, а j — аргумент числа z.

z3

z4 z1

z2

z5

z6

z8

z7

Ðèñ. 10

Ðèñ. 11

62

АЛГЕБРА

§ 4. Комплексные числа

3/4

1/4

При этом аргумент j связан с à è b формулами

	cos j	=	a	, sin j =	b	.	(2)
			a2 + b2		a2 + b2
	П р и м е р. Записать в тригонометрической фор-
	ме числа: а)	- 2 3 + 2i; á) -3i ; â) 1 -				5.
	q а) Сначала находим модуль числа: r						=

=(-2 3)2 + 22 = 4. Далее, согласно формулам (2),

имеем cos j = - 2 3 = -			3 , sinj = 2			= 1 . Значит,
		4	2		4		2
arg z = j =	5p		æ	5p			5p	ö
		. Èòàê, z = 4 çcos			+ i sin			÷.
	6		è	6			6	ø

б) Здесь r = 3, j = - 2p (точка, изображающая данное число, принадлежит отрицательной части мни-

		æ	æ		p ö			æ		p öö
мой оси). Поэтому	z = 3	ç cos ç		-		÷	+ i sinç		-		÷÷ .
		ç	è		2 ø			è		÷
		è								2 øø
в) Здесьr = 5 - 1, j = p.Значит, z =								5 - 1(cos p +
+i sin p). n

50. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Пусть

z1 = r1(cosj1 + i sinj1), z2 = r2(cosj2 + i sinj2) — комплексные числа, заданные в тригонометрической фор-

ме. Тогда для их произведения z1z2 и частного z1 z2

63

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

справедливы формулы

	z1z2 = r1r2(cos(j1 + j2) + i sin(j1 + j2)),												(1)
	z1	=	r1	(cos(j	1	- j	2	) + i sin(j	1	- j	2	)),	(2)
	z2		r2

ò. å. при умножении (делении) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются (делятся), а аргументы складываются (вычитаются).

П р и м е р 1. Выполнить действия:

æ

p

p ö

1

æ

æ

2p ö

æ

à)

4ç cos

+ i sin

÷

×

ç cosç

-

÷ + i sinç

-

è

6

6 ø

10

ç

è

3

ø

è

è

æ

2p

+ i sin

2p ö

á)

32çcos

÷: 8i.

è

3

3

ø

q а) Используя формулу (1), находим

4

æ

æ p

2p

ö

æ p

2p

öö

ç cosç

-

÷ + i sinç

-

÷÷

=

10

ç

è 6 3 ø

÷

è

è 6 3 øø

2

æ

æ

p ö

æ

p

öö

2

=

çcosç -

÷ + i sinç

-

÷÷

= -

i.

5

ç

è

2 ø

è

÷

5

è

2 øø

2p öö ÷÷ ; 3 ø÷ø

б) Сначала представим число 8i в тригонометри-

æ

p

+ i sin

p ö

ческой форме; получим

8 ç cos

÷ .

Теперь

è

2

2 ø

воспользуемся формулой (2):

32

æ

æ 2p

p

ö

æ 2p

p

öö

æ

p

p

ö

ç cosç

-

÷

+ i sinç

-

÷÷

=

4 ç cos

+ i sin

÷

=

8

ç

è 3 2

ø

è 3 2

÷

è

6

6 ø

è

øø

= 2 3 + 2i. n

64

АЛГЕБРА

§ 4. Комплексные числа

3/4

1/4

При возведении комплексного числа z = = r(cos j + i sinj), в натуральную степень n выполня-

ется равенство
zn = rn (cosnj + i sinnj),	(3)

ò. å. модуль данного числа возводится в степень n, а аргумент умножается на показатель степени.

Ïðè r = 1 соотношение (3) принимает вид

(cosj + i sinj)n = cosnj + i sinnj								(4)
и называется формулой Муавра.
Ï ð è ì å ð		2. Возвести в степень:
	æ	æ	3p ö		æ	3p öö7
2	ç cos ç -			÷	+ i sin ç -		÷÷ .
	ç	è	4 ø		è	÷
	è					4 øø

q Используя формулу (3), а также периодичность синуса и косинуса (см. п. 121), получим

æ

æ

21p ö

æ

21p öö

27 ç cos ç

-

÷ + i sin ç

-

÷÷

=

ç

è

4

ø

è

÷

è

4 øø

æ

æ

21p

ö

æ

21p

öö

= 128

ç cos

ç

-

+

6p

÷

+ i sin ç

-

+ 6p ÷÷

=

ç

è

4

ø

è

4

÷

è

øø

æ

3p

+ i sin

3p

ö

= -64

2 + 64 2 i.

= 128 çcos

÷

è

4

4

ø

n

Рассмотрим, наконец, задачу извлечения корня натуральной степени n из комплексного числа z. Можно доказать, что корень n-é степени из комплек-

65

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

сного числа z = r(cosj + i sinj) имеет n различных

значений, которые находятся по формуле

n	z =	n	æ	j + 2pk	+ i sin	j + 2pk ö
			r çcos				÷,
			è	n		n	ø

ãäå k = 0, 1, 2, ... , n – 1.

П р и м е р 3. Решить уравнение z2 +

(5)

4 = 0.

qКорнями данного уравнения являются все

значения - 4.

Для числа –4 имеем r = 4, j = p .

Согласно формуле (5), находим

æ

p + 2pk

+ i sin

p + 2pk ö

ãäå k = 0, 1.

- 4 = 2çcos

÷ ,

è

2

2

ø

æ

p

p ö

= 2i.

Åñëè k = 0, òî w1

= 2 çcos

+ i sin

÷

2

è

2 ø

æ

3p

3p ö

Åñëè k = 1, òî w2

= 2 çcos

+ i sin

÷ = -2i.

2

2

è

ø

Итак, уравнение z2 + 4 = 0 имеет два корня: 2i

è-2i. n

Ïр и м е р 4. Найти 3 - 64i.

q Для числа –64 i имеем r = 64, j = - p . 2

66

АЛГЕБРА

§ 4. Комплексные числа

3/4

1/4

Используя формулу (5), получим

æ

p

p

ö

3 - 64i

ç

-

+ 2pk

-

+

2pk ÷

= 4

ç cos

2

+ i sin

2

÷

, k = 0, 1, 2.

ç

3

3

÷

ç

÷

è

ø

Ïðè k = 0, 1, 2 соответственно находим

w

= 4

æ

æ

p ö

æ

p öö

= 2 3 - 2i ;

ç cos

ç -

÷

+ i sin ç -

÷÷

1

ç

è

6 ø

è

÷

è

6 øø

æ

p

p

ö

= 4i ;

w2

= 4 çcos

+ i sin

÷

2

2

è

ø

w3

æ

7p

+ i sin

7p ö

= -2

3 - 2i. n

= 4 çcos

6

÷

è

6 ø

67

Раздел II

ВЫРАЖЕНИЯ

§5. Основные понятия

51.Виды алгебраических выражений. Из чисел

èпеременных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня, а также с помощью скобок составляют алгебраические выражения.

Примеры алгебраических выражений:

1)

2a2b - 3ab2

(a + b); 2) a + b +

c

; 3)

3a2

+ 3a + 1

;

5

a - 1

æ 1

1

c

ö3

3

3

3

+

-

- x)4; 7) a2 - b2 .

4) ç

÷ ;

5) a + b;

6)

( 2

è a

b

3 ø

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то оно называется целым. Из написанных выше целыми являются выражения 1, 2 и 6.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то оно называется дробным. Так, из написанных выше дробными являются выражения 3 и 4.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Например, из написанных выше рациональными являются выражения 1, 2, 3, 4 и 6.

68

АЛГЕБРА

§ 5. Основные понятия

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то такое алгебраи- ческое выражение называется иррациональным. Так, из написанных выше иррациональными являются выражения 5 и 7.

Итак, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными. Рациональные выражения, в свою очередь, разделяются на целые и дробные.

52. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения. Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых зна- чений переменных называют областью определения алгебраического выражения.

Целое выражение имеет смысл при любых значе- ниях входящих в него переменных. Так, при любых значениях переменных имеют смысл целые выражения 1, 2, 6 из п. 51.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Например, дробное выражение 3 из п. 51 имеет смысл при всех à, кроме à = 1, а дробное выражение 4 — при всех à, b, c, кроме значений à = 0, b = 0.

Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональное выражение 5 имеет смысл только при тех à, b, ïðè

которых a + b ³ 0, а иррациональное выражение 7 — только при a ³ 0 è b ³ 0 (ñì. ï. 51).

69

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое выражение; его значение называется значением алгебраического выражения при выбранных зна- чениях переменных.

3	2	+ b
Например, значение выражения	a
		ïðè
	2a	- b

à = 5, b = 2 найдем подстановкой данных значений

3	52	+ 2	3	27	=	3	.
переменных в это выражение:	× 5	- 2	=
2			10 - 2			8

53. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество. Рассмотрим два выражения

f(x) = x2 - 2x è g(x) = 4x - 5. Ïðè õ = 2 имеем f(2) =

= 22 - 2 × 2 = 0; g(2) = 4 Ч 2 - 5 = 3. Числа 0 и 3 называются соответственными значениями выраже-

íèé x2 - 2x è 4x - 5 ïðè õ = 2.

Найдем соответственные значения тех же выра-

жений при	õ = 1:
f(1)	= 12 - 2 × 1 = -1;	g(1) = 4 × 1 - 5	= -1;
ïðè õ = 0:
f(0) = 02 - 2 × 0 = 0;		g(0) = 4 × 0 - 5	= -5.

Соответственные значения двух выражений могут быть равными друг другу (так, в рассмотренном

примере выполняется равенство f(1) = g(1) ), а могут и отличаться друг от друга (в рассмотренном примере f(2) ¹ g(2); f(0) ¹ g(0) ).

70