Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 6. Целые рациональные выражения

Если соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях переменных, то выражения называются тождественно равными.Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Так, тождественно равны выражения õ5 è õ2 · õ3, a + b + c è c + b + a, (2ab)2 è 4a2b2.

Примеры тождеств: a + b = b + a, a + 0 = a, (a +

+ b) c = ac + bc, a × 1 = a, x5 = x2 × x3.

2a 10a

Пропорция (см. п. 32) a - 1 = 5(a - 1) åñòü òîæ-

дество при всех значениях à, кроме à = 1, поскольку при à = 1 знаменатели дробей обращаются в нуль, т. е. дроби не имеют смысла. Замена выражения

ac выражением a (сократили на ñ) есть тождествен- bc b

ное преобразование выражения ac при ограничени- bc

ÿõ b ¹ 0, c ¹ 0. Значит, ac = a — тождество при всех bc b

значениях переменных, кроме b = 0, c = 0. Верные числовые равенства также называют тождествами.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.

§6. Целые рациональные выражения

54.Одночлены и операции над ними. Одночленом называют такое выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произ-

71

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

ведения и не содержит никаких других действий над

числами и переменными. Например, 3a × (2,5a3),

(5ab2) × (0,4c3d), x2y × (-2z) Ч 0,85 — одночлены, тогда

как выражения a + b, ab не являются одночленами. c

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных называют степенью одночлена. Если между двумя одночленами поставить знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду, умножение одночленов — тождественные преобразования.

П р и м е р 1. Привести одночлен 3a × (2,5a3 ) к стандартному виду.

q 3a × (2,5a3) = (3 × 2,5) × (a × a3) = 7,5a4. n

П р и м е р 2. Умножить одночлены 24ab2cd3 è

0,3a2b3c.

q24ab2cd3 × (0,3a2b3c) =

=(24 × 0,3) × (a × a2) × (b2 × b3) × (c × c) × d3 = 7,2a3b5c2d3. n

72

АЛГЕБРА

§6. Целые рациональные выражения

Ïр и м е р 3. Возвести одночлен (-3ab2c3) в четвертую степень.

q (-3ab2c3)4 = (-3)4 × a4 × (b2)4 × (c3)4 = 81a4b8c12. n

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называются подобными, если они отличаются только коэффициентами или совсем не отличаются. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается 0). Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

П р и м е р 4. Сложить 185x2yz3 è - 8x2yz3.

q5x2 yz3 + (–8x2yz3) = (5 + (–8)) x2yz3 = –3x2yz3. n

55.Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду. Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 54) и привести подобные члены, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида — в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

П р и м е р. Привести к многочлену стандартного вида заданное выражение:

à) 3a × 5b + 3ab + 2a × (-4b) + b × b;

á) (3a + 5b - 2c) + (2a - b + 4c);

â) (5a2b + ab2) - (3a2b - 4ab2);

73

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

ã) 4x2(x - 0,5x2 + 3);

ä) (2x2y + 3xy2) (2x + 3y + 1).

q а) Сначала приведем к стандартному виду чле-

ны многочлена: 15ab + 3ab - 8ab + b2 . Приведя подобные члены, получим многочлен стандартного вида

10ab + b2.

б) Так как перед скобками стоит знак «+», то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Тогда получим

3a + 5b - 2c + 2a - b + 4c = (3a + 2a) + (5b - b) + +(-2c + 4c) = 5a + 4b + 2c.

в) Так как перед скобками стоит знак «–», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Тогда получим

5a2b + ab2 - 3a2b + 4ab2 =

= (5a2b - 3a2b) + (ab2 + 4ab2) = 2a2b + 5ab2.

г) Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена:

4x2 x - 0,5x23 + 3 = 4x2 × x - 4x2 × 0,5x2 + 4x2 × 3 = = 4x3 - 2x4 + 12x2.

ä) 2x2y (2x + 3y + 1) + 3xy2(2x + 3y + 1) =

= (4x3y + 6x2y2 + 2x2y) + (6x2y2 + 9xy3 + 3xy2) =

3

= 4x2y + 6x2y2 + 2x2y + 6x2y2 + 9xy3 + 3xy2.

74

АЛГЕБРА

§ 6. Целые рациональные выражения

Остается привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим

4x3y + 12x2y2 + 2x2y + 3xy2 + 9xy3. n

56. Формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

(a + b) (a - b) = a2 - b2,				(1)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,				(2)
(a - b)2	= a2 - 2ab + b2,			(3)
(a + b) (a2	- ab + b2) = a3		+ b3,	(4)
(a - b) (a2	+ ab + b2) = a3		- b3,	(5)
(a + b)3 = a3		+ 3a2b + 3ab2 + b3,		(6)
(a - b)3 = a3		- 3a2b + 3ab2 - b3.		(7)

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения; формулу (1) — разностью квадратов, формулы (2) и (3) — соответственно квадратом суммы è квадратом разности, формулы (4) и (5) — суммой кубов è разностью кубов, а формулы (6) и (7) — кубом суммы è кубом разности.

П р и м е р. Привести к многочлену стандартного вида заданное выражение:

à) (3x2 + 4y3)(3x2 - 4y3);

á) (3a2 - 5b3)2;

â) (3a + 1)(9a2 - 3a + 1).

75

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

q а) Используя формулу (1), получим

(3x2)2 - (4y3)2 = 9x4 - 16y6.

б) Согласно формуле (3), находим

(3a2)2 - 2 × 3a2 × 5b3 + (5b3)2 = 9a4 - 30a2b3 + 25b6.

в) Воспользовавшись формулой (4), имеем

(3a)3 + 1 = 27a3 + 1. n

57. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей — многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа нале-

âî»): ac + bc = c(a + b).

П р и м е р 1. Разложить на множители

28x3 - 35x4.

q28x3 - 35x4 = 7x3 × 4 - 7x3 × 5x = 7x3(4 - 5x). n

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший

76

АЛГЕБРА

§ 6. Целые рациональные выражения

по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2. Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1)— (7) из п. 56, будучи прочитанными «справа налево», во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

П р и м е р 2. Разложить на множители:

à) x6 - 1; á) 4a4b3 + 16a3b4 + 16a2b5.

q а) Имеем x6 - 1 = (x3)2 - 12. Применив форму-

лу разности квадратов, получим (x3 + 1) (x3 - 1). Далее, используя формулы суммы кубов и разности ку-

бов, находим (x + 1) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + x + 1).

Èòàê,

x6 - 1 = (x + 1) (x - 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1).

б) Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные à è b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим

4a2b3(a2 + 4ab + 4b2). Но по формуле (2) имеем

a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2, поэтому окончательно получаем

4a4b3 + 16a3b4 + 16a2b5 = 4a2b3(a + 2b)2. n

3. Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различ- ными способами. Иногда удается такая группиров-

77

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

ка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки.

П р и м е р 3. Разложить на множители: а) x3 - 3x2 + 5x - 15;

á) 20x2 + 3yz - 15xy - 4xz;

â) a2 - 7ab + 12b2;

ã) x4 + 4y4.

q а) Произведем группировку следующим образом: (x3 - 3x2) + (5x - 15). В первой группе вынесем за скобки общий множитель x2, во второй — общий множитель 5. Получим x2 (x - 3) + 5(x - 3). Теперь многочлен (õ – 3) как общий множитель вынесем за скобки: (õ – 3) (x2 + 5). Таким образом,

x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3) (x2 + 5).

á) 20x2 + 3yz - 15xy - 4xz = (20x2 - 15xy) + +(3yz - 4xz) = 5x(4x - 3y) - z(4x - 3y) =

= (4x - 3y) (5x - z).

в) Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же много- члена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего попробовать применить способ группировки. В данном примере представим –7ab â âèäå – 3ab - 4ab. Тогда получим

a2 - 7ab + 12b2 = a2 - 3ab - 4ab + 12b2 =

78

(a ¹ 0),

АЛГЕБРА

§6. Целые рациональные выражения

=(a2 - 3ab) - (4ab - 12b2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =

=(a - 3b) (a - 4b).

г) Прибавим и вычтем одночлен 4x2y2 :

x4 + 4y4 = (x4 + 4x2y2 + 4y4) - 4x2y2 = (x2 + 2y2)2 -

- (2xy)2 = (x2 + 2y2 - 2xy) (x2 + 2y2 + 2xy). n

58. Многочлены от одной переменной. Многочлен

àõ + b, ãäå à, b — числа а õ — переменная, называется многочленом первой степени; много-

÷ëåí ax2 + bx + c, ãäå à, b, ñ — числа (a ¹ 0), à õ — переменная, называется многочленом второй степени (èëè квадратным трехчленом); многочлен

ax3 + bx2 + cx + d, ãäå à, b, ñ d — числа (a ¹ 0), à õ

— переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, если à, b, ñ, ..., l, m — числа (a ¹ 0), à õ — переменная, то многочлен

axn + bxn-1 + cxn-2 +... + lx + m

называется многочленом n -é степени (относительно õ); axn,bxn-1,...,lx,m — члены многочлена; à, b, ñ,

..., l, m — коэффициенты; axn — старший член многочлена; à — коэффициент при старшем члене; m — свободный член многочлена. Обычно много- член записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной õ постепенно уменьшаются (в частности, на первом месте стоит старший

79

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

член, на последнем — свободный член) и называют эту запись стандартным видом многочлена. Степень многочлена — это степень старшего члена.

Например, 5x5 - 2x3 + 3x2 + 1 — многочлен пя-

той степени, в котором 5õ5 — старший член, 1 — свободный член многочлена.

Корнем многочлена Ð (õ) называют такое значе- ние õ, при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена Ð (õ) = õ3 + 2õ2 – 7õ – 2, òàê êàê Ð (2) = 23 + 2 · 22–

–7 · 2 – 2 = 0.

59.Деление многочленов. Схема Горнера. Теорема Безу. Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и возводить в натуральную степень. Иногда выполнимо и деление многочлена на многочлен.

А именно, если существует такой многочлен S (x),

÷òî P (x) = Q (x) S (x),то говорят, что многочлен Ð (õ)

делится на многочлен Q (x) и называют Ð (õ) делимым, Q (x) — делителем, à S (x) — частным.

Например, многочлен P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15

делится на многочлен Q (x) = x2 + 5, поскольку x3 - - 3x2 + 5x - 15 = (x2 + 5) (x - 3); здесь в частном получается многочлен S (x) = x - 3.

Если же многочлен P (x) не делится на многочлен Q (x), то рассматривают деление с остатком. Возможность такого деления вытекает из следующего свойства: для любых двух многочленов P (x) è Q (x) таких, что степень P (x) не меньше степени Q (x),

80