Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

13

						= 3 8 = 2; 81						= 4 813 = 4 (34)3 =
											4
		Например: 83
=	4	12	3	= 27;		4	-0,5	=	1	=		1	=	1	.
		3	= 3						40,5			4		2

40. Свойства степеней с рациональными показателями. Для любого числа à определена операция возведения в натуральную степень (см. п. 34); для

любого числа a ¹ 0 определена операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень (см. п.35); для любого a ³ 0 определена операция возведения в положительную дробную степень (см. п. 39), и, наконец, для любого числа à > 0 определена операция возведения в отрицательную дробную степень (см. п. 39).

П р и м е р. Вычислить

							0,5			æ 1			ö0,25				- (-4)					-1		× (0,343)				0
					(6,25)				× ç				÷																.
										è 16			ø
															æ 25			ö	1									æ 1			ö0,25
																							25			5
												0,5							2													=
	q Имеем (6,25)												=		ç			÷		=					=		;	ç			÷
															è	4		ø						4		2		è 16			ø
	1
æ	1 ö					1				1			(-4)-1								1
				4	= 4			=										= -					;(0,343)0 = 1.
= ç			÷									;
è	16 ø					16				2											4
													5		×	1	-		æ	-	1		ö	× 1	=	3
	В итоге получаем																		ç				÷				.n
													2			2			è		4		ø			2

51

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

Åñëè à > 0, b > 0 è r, s — любые рациональные числа, то:

10. ar × as = ar +s. 20. ar : as = ar -s.

30. (ar )s = ars.

40.

50.

ar ar

br

× br = (ab)r.

=æ a ör ç ÷ . è b ø

41.Приближенные значения чисел. Абсолютная

èотносительная погрешности. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю ос-

тавшуюся цифру не изменяют.

П р и м е р 1. Округлить число a = 2471,05624 с точностью до: а) десятков; б) единиц; в) десятых; г) сотых; д) тысячных.

q а) Цифра единиц, следующая за разрядом десятков, равна 1, т. е. меньше 5. Значит, округлив до десятков, имеем a » 2470. Знак » называют знаком приближенного равенства.

б) Цифра десятых равна 0, значит, округлив до единиц, имеем a » 2471.

в) Цифра сотых равна 5, значит, округлив до десятых, имеем a » 2471,1.

г) Цифра тысячных равна 6, значит, округлив до сотых, имеем a » 2471,06.

д) Цифра десятитысячных равна 2, значит, округлив до тысячных, имеем a » 2471,056. n

52

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

Все найденные значения называются приближен-

ными значениями числа a » 2471,05624.

Пусть à — приближенное значение числа a. Тогда модуль разности чисел a и à, ò. å. a - a , называ-

åòñÿ абсолютной погрешностью приближенного значения числа a, а отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

П р и м е р 2. Взвесив деталь, масса которой равна 54,12705 г, на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, получили приближенное значение массы 54,1 г. Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.

q Абсолютная погрешность равна 54,12705 – –54,1 = 0,02705; относительная погрешность равна

0,02705 × 100% = 0,05%. n

54,1 Если абсолютная погрешность приближенного

значения à, найденного для интересующего нас числа a, не превосходит некоторого числа h, то пишут

a = a ± h; говорят, что à — приближенное значение

числа a с точностью äî h.

П р и м е р 3. Найти приближенное значение числа a = 2471,05624 с точностью до 0,01.

q Округлив число a до сотых (см. пример 1, г), получим a = 2471,06. Абсолютная погрешность этого приближенного значения равна ½2471,05624 –

– 2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Значит, 2471,06 — приближенное значение числа a с точностью до 0,01. n

53

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

42. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. Возьмем ирра-

циональное число 2.

Имеем:
12 < 2 < 22;	1 < 2 < 2;
1,42 < 2 < 1,52;	1,4 <	2 < 1,5;
1,412 < 2 < 1,422;	1,41 <	2 < 1,42;
1,4142 < 2 < 1,4152;	1,414 <		2 < 1,415;
1,41422 < 2 < 1,41432;	1,4142 <		2 < 1,4143.

Числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 называются äå-

сятичными приближениями числа 2 по недостатку с точностью соответственно до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001, до 0,0001. Числа 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 называются десятичными приближения-

ми числа 2 по избытку соответственно с той же точностью.

Для числа 2 используют представление в виде

бесконечной десятичной дроби: 2 = 1,4142... .

Вообще, любое действительное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби, причем периодической, если число рациональное (ñì. ï. 16), и непериодической, если число иррациональное.

Например, 14 = 0,2(54) = 0,2545454... (ñì. ï. 17). 55

Десятичное приближение числа 14 с точностью до

55

54

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

0,001 по недостатку равно 0,254, а по избытку равно

0,255.

43. Понятие о степени с иррациональным показателем. Пусть a — иррациональное число. Какой смысл вкладывается в запись aa , ãäå à — положительное число? Рассмотрим три случая: à = 1,

à> 1, 0 < a < 1.

1)Åñëè à = 0, то полагают 1a = 1.

2)Пусть a > 1. Возьмем любое рациональное число r1 < = и любое рациональное число r2 > =. Тогда

r1 < r2 è ar1 < ar2 . В этом случае под aa понимают число, которое заключено между ar1 è ar2 äëÿ ëþ-

бых рациональных чисел r1 è r2 таких, что r1 < =, à

r2 > =. Доказано, что такое число существует и единственно для любого à > 1 и любого иррационального числа a.

3) Пусть 0 < a < 1. Возьмем любое рациональное число r1 < = и любое рациональное число r2 > =. Òîã-

äà r1 < r2 è ar1 > ar2 . В этом случае под aa понимают

такое число, которое заключено между ar12 è ar21 для любых рациональных чисел r1 è r2, удовлетворяющих

неравенству r1 < a < r2. Доказано, что такое число су-

ществует и единственно для любого числа à из интервала (0, 1) и любого иррационального числа a.

44. Свойства степеней с действительными показателями. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y — любые

55

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

действительные числа, то справедливы следующие свойства:

10. ax × ay = ax+y. 20. ax : ay = ax-y.

30. (ax)y = axy.

40.

50.

ax × bx = (ab)x.

ax	æ a öx
	= ç		÷ .
bx
	è b ø

§4. Комплексные числа

45.Понятие о комплексном числе. Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее,необходимость выполнения вычитания — к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлече- ния корней из положительных чисел — к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой. Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Так как каждую точку Ì координатной плоскости xOy можно отождествить с координатами этой точки, то естественно в качестве новых чисел ввести упорядоченные пары действительных чисел.

56

АЛГЕБРА

§ 4. Комплексные числа

3/4

1/4

Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара (à; b) действительных чисел à è b.

Два комплексных числа (à; b) è (c; d) называются равными тогда и только тогда, когда a = c è

b= d.

46.Арифметические операции над комплексными числами. Суммой комплексных чисел z = (a; b) è w = (c; d) называется комплексное число (a + c; b +

+d).

Например, (2; 7) + (3; –4) = (2 + 3; 7 – 4) = (5; 3). Комплексным нулем считают пару (0;0). Числом, противоположным числу z = (a; b), считают

число (–a; –b); его обозначают –z.

Разностью комплексных чисел z è w называют такое число è, ÷òî z = w + è. Справедливо следующее правило вычитания комплексных чисел: (a; b) –

– (c; d) = (à – c; b – d).

Например, (9; 10) – (8; 12) = (9 – 8; 10 –12) = = (1; –2).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) è w = (c; d) называется комплексное число (ac – bd; ad +

+bc).

Например, если z = (2; 5), w = (3; 1), òî

zw = (2 · 3 – 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17).

Пусть z = (a; b), w = (c; d) ¹ (0; 0). Тогда существует, и только одно, комплексное число u = (x; y)

такое, что z = uw. Это число è называют частным от деления z íà w. Можно доказать, что справедливо следующее правило деления комплексных чисел:

	(c; d) ¹ (0; 0), òî	(a; b)	æ ac + bd				bc - ad ö
åñëè			= ç			;			÷ .
		(c; d)	è c2		+ d2		c2	+ d2	ø

57

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

Впрочем, при делении комплексных чисел используют не указанную формулу, а умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю (см. п.48).

Арифметические операции над комплексными числами обладают теми же свойствами, что и арифметические операции над действительными числами (см. п. 31).

47. Алгебраическая форма комплексного числа. Используя введенные в п. 46 определения сложения и умножения комплексных чисел, легко полу- чить следующие равенства:

(0; 1) · (0; 1) = (– 1; 0),	(1)
(a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1),	(2)
(a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0),	(3)
(a; 0) · (b; 0) = (ab; 0).	(4)

Условимся вместо (à; 0) писать просто à, а комплексное число (0; 1) обозначать буквой i и называть мнимой единицей. Тогда равенство (1) принимает вид

i × i = -1, ò. å.

i2 = -1,	(5)
а равенство (2) — вид
(a; b) = a + bi.	(6)

Запись a + bi называется алгебраической формой комплексного числа z = (a; b); при этом число à называется действительной частью комплексного числа z (обозначение: Re z), число b — åãî мнимой частью (обозначение: Im z).

58

АЛГЕБРА

§ 4. Комплексные числа

3/4

1/4

Например,

z = (2; - 4) = 2 - 4i; Rez = 2, Im z = -4.

Если мнимая часть комплексного числа a + bi отлична от нуля, то такое число называется мнимым; åñëè ïðè ýòîì à = 0, т. е. число имеет вид bi, то оно называется чисто мнимым; наконец, если у комплексного числа a + bi мнимая часть равна нулю, то получается действительное число à.Комплексные числа a + bi è a – bi, действительные части которых равны, а мнимые противоположны по знаку, называют сопряженными. Число, сопряженное с числом z,

обозначают через z , ò. å. åñëè z = a + bi, òî z = a – bi. Сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами:

z z+=za=-2bia, zz = a2 + b2.

Модулем комплексного числа a + bi называется

число a2 + b2 (обозначение: z èëè r). Сопряженные комплексные числа имеют один и

тот же модуль: a + bi = a - bi .

48. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь,

÷òî i2 = -1. Чтобы преобразовать в комплексное чис-

ло дробь вида a + bi , нужно и числитель, и знамена- c + di

тель дроби умножить на число c - di, сопряженное знаменателю.

59

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

П р и м е р 1. Найти действительные числа õ è y такие, что выполняется равенство

(2x - 3yi) (2x + 3yi) + 4xi = 97 + 8i.

qИмеем (2x - 3yi) (2x + 3yi) = 4x2 - 9y2i2 = 4x2 +

+9y2. Тогда заданное равенство можно переписать в виде

4x2 + 9y2 + 4xi = 97 + 8i.

Так как комплексные числа a + bi è ñ + di равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части (à = ñ) и коэффициенты при мнимых частях (b = = d), то приходим к системе уравнений

	ì	2	+ 9y	2	= 97,
	ï4x
	í	= 8,
	î
	ï4x
откуда находим	x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = -3.n
Ï ð è ì å ð	2. Вычислить (1 + 2i)i -					3 + 2i	.
						1 - i

q1) (1 + 2i)i = i + 2i2 = -2 + i;

2)	3 + 2i		=	(3		+ 2i) (1 + i)								=		3		+ 2i + 3i + 2i				2	=
		1 - i		(1 - i) (1 + i)																	1 - i2
=		3 + 5i - 2			=			1 + 5i			=	1		+			5	i;
	1 + 1								2	2						2
				æ		1			5	ö				5				3
3)	(-2 + i) - ç							+		i÷ = -						-				i	. n
				è		2			2	ø				2				2

Чтобы возвести комплексное число в степень с натуральным показателем, используют формулы квадрата суммы, куба суммы (см. п. 56) и более общую формулу бинома Ньютона (см. п. 62 или п. 203).

60