Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 2. Рациональные числа

3/4

1/4

1	2	=	7	; 2	1	=	15	. Значит,1	2	× 2	1	=	7	×	15	=7	7·× 15= 3. n
5		5		7 7				5		7		5		7 5 × 7

13. Десятичные дроби. Â âèäå десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще 10n. Например,

	3	= 0,3;	48	= 0,48;	21	= 0,021. Таким же обра-
	10		100		1000

зом можно записать смешанное число или неправильную дробь с указанным выше знаменателем (превратив ее предварительно в смешанное число). На-

пример, 2	3	= 2,3;	317	= 3	17	= 3,17. В этих случа-
10		100		100

ях целую часть смешанного числа отделяют запятой от числителя дробной части. Значит, десятичная дробь — это, по существу, другая форма записи дроби со знаменателем 10n.

В виде десятичной дроби можно представить любую обыкновенную дробь, знаменатель которой является делителем некоторой степени числа 10. Например, 125 — делитель числа 1000, поэтому

дробь	196	можно представить в виде десятичной:
125
		196	=	196	× 8	=	1568	= 1,568.
					× 8
		125	125			1000

Общий вывод о представлении обыкновенной дроби в виде десятичной таков: если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только двойки и пятерки, то эту дробь можно записать в виде десятичной; если же дробь несократима и в разложение ее знаменателя на простые множители входят, кроме двоек и пятерок, другие

21

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

Рассмотрим десятичную дробь 7,234. Имеем

7,234 = 7		234				= 7 +			200 + 30 + 4							= 7 +						200		+			30	+
1000											1000							1000								1000
+				4				= 7 +				2		+	3			+		4			.
				1000							10			100				1000
Данную дробь можно записать так:
7,234 = 7							234			= 7				2340				= 4			23 400				.
							1000				10 000							100					000
Íî 7	2340			= 7,2340, à							7			23400					= 7,23400.							Значит,
10 000											100000

7,234 = 7,2340 = 7,23400. Таким образом, если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить — полу- чится равная ей дробь.

Для десятичных дробей вводится понятие знача- щей цифры числа. Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих в нача- ле. Например, в числе 23,4009 шесть значащих цифр; в числе 0,1023 четыре значащих цифры: 1, 0, 2, 3; в числе 0,0004 одна значащая цифра: 4.

14. Арифметические действия над десятичными дробями. Ïðè сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая — под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, например, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а

22

АЛГЕБРА

§ 2. Рациональные числа

3/4

1/4

вторая — три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: 12,7 = 12,700, тогда

12,700 + 3,442 16,142

Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей.

Ïðè умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем 27 · 13 = = 351. Отделим запятой справа две цифры (сумма цифр у множителей после запятой равна двум). В итоге получаем 2,7 · 1,3 = 3,51.

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

´ 2,12		´	3,43
0,13			0,0002
636		0,000686
212
0,2756

Рассмотрим умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем 12 733 · 10 = 127 330. Отделив запятой справа три цифры, получим 12,733 · 10 = 127,330. Но 127,330 = 127,33. Значит, 12,733 · 10 = 127,33. Таким образом, умножение десятичной дроби на 10 сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.

23

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

Вообще, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на одну, две, три цифры вправо (приписав в случае необходимости к дроби справа определенное количе- ство нулей). Например, 1,47 · 10 000 = 14 700.

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13; имеем

–22,1 13

13 1,7

–9191

0

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых; так, 0,221 : 13 = 0,017.

Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном случае — на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 — от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:

–		257,6		112
		224		2,3

–	336
	336
	0

Чтобы разделить десятичную дробь на 10n, надо в этой дроби перенести запятую на n цифр влево

24

АЛГЕБРА

§ 2. Рациональные числа

3/4

1/4

(при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Òàê, 27,344 : 104 = = 0,0027344.

Деление десятичных дробей, как и деление натуральных чисел, не всегда выполнимо. Пусть нужно разделить 2,8 на 0,09. Имеем 280 : 9 = 31,11... . В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь (см. п. 16). В таких случаях, как правило, переходят к обыкновенным дробям. Например,

2,8 : 0,09 =	28	:	9	=	28× 100	=	280	= 31	1	.
10			100	10× 9		9		9

15. Проценты. Среди десятичных дробей особенно часто на практике используют дробь 0,01, которая называется процентом и обозначается 1%. Так, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5

èò. ä.

Ïр и м е р 1. Рабочий должен был изготовить за смену 80 деталей. По окончании рабочего дня оказалось, что он выполнил 150% сменного задания. Сколь-

ко деталей изготовил рабочий?

q Так как 150% = 1,5, то рабочий изготовил 80 ´

´1,5 = 120 (деталей). n

Ïр и м е р 2. Рабочий к 12 часам изготовил 55 деталей, что составило 68,75% сменного задания. Сколько деталей он должен изготовить за смену?

q Обозначим количество деталей, составляющих сменное задание, через õ. Из условия следует, что

68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî 68,75 × x = 55, откуда 100

x = 100 × 55 = 80 (деталей). n 68,75

25

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

16. Обращение обыкновенной дроби в бесконеч- ную десятичную периодическую дробь. Пусть дана десятичная дробь 2,73. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей (см. п.13): 2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Допускают также запись дроби 2,73 в виде десятичной дроби с бесконечным множеством нулей, т. е. 2,73 = = 2,73000... . Здесь после запятой содержится бесконечно много десятичных знаков. Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.

Ò.1.12. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Возьмем, например, число 3 и будем делить чис-

14

литель на знаменатель, постепенно получая десятич- ные знаки:

–	3,00000000...												14
	28												0,214285714...
	20
	–14
		60
	– 56
		–		40
				28
		–		120
				112
					–80
						70
				100
					– 98
							–		20
									14
									60...

26

АЛГЕБРА

§ 2. Рациональные числа

3/4

1/4

Таким образом, 3 = 0,214285714... .

14

Выпишем последовательно остатки, которые получились при выполнении операции деления:

2,6,4,12,8,10,2,6,....

Все эти остатки меньше делителя, т. е. меньше числа 14. Это значит, что на каком-то шаге деления должен неизбежно появиться снова такой остаток, который уже встречался ранее. Так, на седьмом шаге появился остаток 2, который был на первом шаге. Кроме того, ясно, что как только появится остаток, который уже встречался, за ним пойдут остатки в той же последовательности, которая была ранее.

Периодически повторяющиеся группы остатков приведут к периодически повторяющейся группе цифр в десятичной записи числа:

3

— = 0,2142857142857142857....

14

Последовательно повторяющаяся группа цифр (минимальная) в записи бесконечной десятичной дроби после запятой называется периодом, а бесконеч- ная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки:

0,2142857142857142857... = 0,2(142857).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической. Так, 2,(23) = 2,2323232323... — чистая перио-

27

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

дическая дробь; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) — смешанная периодическая дробь.

17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. Чтобы бесконечную десятичную дробь умножить на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно, как и в конечной десятичной дроби, перенести запятую на один, два, три и т. д. знака вправо. Так, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´

´100 = 12,323232... = 12,(32).

Ïр и м е р. Обратить в обыкновенную дробь число: а) 0,(13); б) 0,2(54).

q а) Положим õ = 0,(13) = 0,131313... .Умножим эту чистую периодическую дробь õ на такое число, чтобы запятая переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить число õ на 100, тогда 100õ = = 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Теперь выч- тем õ èç 100õ, получим 100õ – õ = 13,(13) – 0,(13).

Значит, 99õ = 13, откуда находим x = 13 . 99

б) Положим õ = 0,2(54). Перенесем в этой смешаной периодической дроби запятую вправо так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно õ умножить на 10, получим 10õ = = 2,(54).

Положим y = 2,(54) и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы это делали ранее. Имеем

100y = 254,(54); 100y – ó = 254,(54) – 2,(54);

99y = 252; y = 252 = 28 . 99 11

28

АЛГЕБРА

§ 2. Рациональные числа

3/4

1/4

Значит, 10x =	28	, откуда x =	28	=	14	. n
			11× 10
11				55

18. Координатная прямая. Проведем прямую l, отметим на ней точку Î, которую примем за начало отсчета, выберем направление и единичный отрезок [0, 1] (рис. 1).

Ðèñ. 1

В этом случае говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу или дроби соответствует одна точка прямой l. Пусть, например, дано число 3. Отложим от точки Î в заданном направлении единичный отрезок три раза, получим точку À — она и соответствует числу 3. Аналогично, если дано число 4,2, то отложив от точки Î в заданном направлении единичный отрезок четыре раза, а затем еще 0,2 части этого отрезка, получим точку Â — она и соответствует числу 4,2.

Если точка Ì прямой l соответствует некоторому числу r, то это число называют координатой точ- ки и пишут Ì (r). Так, для точек J, A, B (рис. 1) можно указать их координаты: J (1), A (3), B (4,2). Координатой точки Î считается число нуль.

Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки Î в направлении, противоположном заданно-

му. Получим точку A¢ , симметричную точку À относительно начала отсчета Î. Координатой точки À

29

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

является число 3, а координату точки A¢ записывают –3 и читают: «минус 3». Аналогично, координата

точки B¢ , симметричной точке Â (рис. 1), есть число –4,2. Числа 3 и –3, 4,2 и – 4,2 называют противоположными. Числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными; так, 1, 3, 4,2 — положительные числа. Числа, которым соответствуют точки, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными; так, –3, –4,2 — отрицательные числа. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

Заданное направление на координатной прямой называют положительным (обычно оно идет вправо), а направление, противоположное заданному, —

отрицательным.

19. Множество рациональных чисел. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,... называют также положительными целыми числами. Числа – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, ..., противоположные натуральным, называют отрицательными целыми числами. Число 0 также считают целым числом. Итак, целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют вместе множество рациональных чисел.

Заметим, что любое рациональное число можно

представить в виде отношения m , ãäå m — целое, n

à n — натуральное число, причем одно и то же число можно записать в виде отношения многими способами.

30