Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§13. Преобразования графиков

132.Построение графика функции y = f(x - a) +

+b. Для построения графика функции y = f(x) + b надо перенести график функции y = f(x) на вектор

(0; b) вдоль оси ординат. Далее, для построения графика функции y = f(x - a) надо перенести график

функции y = f(x) на вектор (a; 0) вдоль оси абсцисс. Наконец, для построения графика функции y =

= f(x - a) + b надо выполнить параллельный перенос графика функции y = f(x) и на вектор (a; 0), è

на вектор (0; b) , т. е. в итоге на вектор (à; b).

На практике это правило удобно использовать в следующей формулировке. Чтобы построить график

функции y = f(x - a) + b , нужно:

	à)		á)
Ðèñ. 61		Ðèñ. 62

171

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

1)выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав в качестве начала новой системы координат x¢O¢y¢ точку O¢ (à; b);

2)в плоскости x¢O¢y¢ построить график функции y¢ = f(x¢).

П р и м е р. Построить график функции

y = x - 2 + 4.

q 1) Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат x¢O¢y¢ в точку O¢ (2; 4).

2) В плоскости x¢O¢y¢ построим график функции

y¢ = x¢. Это и есть требуемый график (рис. 61).n

Íà ðèñ. 62, à изображены графики функций y = = f(x), y = f(x) - 2, y = f(x) + 3, à íà ðèñ. 62, á — графики функций y = f(x) , y = f(x - 2), y = f(x + 3).

133. График квадратичной функции. Квадратичной называют функцию, которую можно задать

формулой вида y = ax2 + bx + c, ãäå a, b, c	— ëþ-
бые действительные числа, причем a ¹ 0.	Äëÿ ïî-

строения графика этой функции выполним следующие преобразования (называемые выделением пол-

ного квадрата) квадратного трехчлена ax2 + bx + c :

	æ	b	ö
ax2	+ bx + c = a çx2 +		x÷	+ c =
	è	a	ø

172

АЛГЕБРА

§ 13. Преобразования графиков

æ æ

b

b

2

ö

b

2

ö

= a ç çx2

+ 2 ×

x +

÷ -

÷

+ c =

÷

ç ç

2a

4a

2

÷

4a

2

è è

ø

ø

æ

æ

b ö

2

b

2

ö

æ

b ö

2

b

2

ç

-

÷

= a

ç

çx +

÷

+ c = aç x +

÷

-

+ c =

4a2 ÷

è

2a ø

è

2a ø

4a

è

ø

æ

b ö2

+

4ac - b2

= açx +

÷

.

è

2a ø

4a

Èòàê,

æ

b ö2

4ac - b2

y = ax2 + bx + c = açx +

÷

+

.

(1)

è

2a ø

4a

à)		á)

Ðèñ. 63

173

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Для построения графика функции (1) нужно выполнить параллельный перенос плоскости (см. п. 132),

поместив начало новой системы координат x¢O¢y¢ â

æ

b

4ac - b

2

ö

точку

ç

-

;

÷

,

и в плоскости

¢ ¢

¢

ïîñò-

O¢ç

2a

4a

÷

x O y

è

ø

роить параболу — график функции y¢ = a(x¢)2. Ïðÿ-

ìàÿ x = - b называется осью симметрии парабо-

2a

ëû, служащей графиком квадратичной функции (1), а точка, в которой парабола пересекается с ее осью симметрии, — вершиной параболы.

Åñëè à > 0, то ветви параболы, служащей графиком функции (1), направлены вверх (рис. 63, à); â ýòîì ñëó-

æ	- ¥, -	b ù
чае функция убывает на ç			ú	и возрастает на
è		2a û

é	b		ö
ê-		, + ¥	÷. Åñëè æå à < 0, то ветви параболы направ-
ë	2a		ø

ëåíû âíèç (ðèñ. 63, á); в этом случае функция возрас-

æ	- ¥, -	b ù
òàåò íà ç			ú	и убывает на
è		2aû

é

ê-

ë

bö

,+ ¥÷. 2a ø

134. Способы построения графика квадратичной

функции. Графиком функции y = ax2 + bx + c, ãäå a ¹ 0, является парабола (см. п. 133). Для ее построения на практике используются три способа, которые мы проиллюстрируем на следующем примере.

174

АЛГЕБРА

§13. Преобразования графиков

Ïр и м е р. Построить график функции

y = -0,5x2 - x + 4.

q I способ: отыскание координат вершины па-

раболы по формулам x = -

b

; y =

4ac - b2

.

0

2a

0

4a

x

=

-1

=

Здесь à = –0,5, b = –1, c = 4. Значит, x0

0= –

2 (-0,5)

= -1;

ó0

=

4(-0,5) × 4 - 1

= 4,5.

Èòàê, (–1; 4,5) —

4(-0,5)

вершина параболы. Для построения графика найдем координаты еще нескольких точек; например, (0; 4), (1; 2,5), (2; 0). Отметив вершину параболы, полученные точки и точки, симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график (рис. 64).

õ =–1

Ðèñ. 64

II способ: построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.

175

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена. Для

этого решим уравнение - 0,5x2 - x + 4 = 4, ò. å.

0,5x2 + x = 0, откуда x1 = 0, x2 = -2.

Итак, мы нашли две точки графика À (0; 4) è Â (– 2; 4).

Так как точки À è Â лежат на параболе и имеют одинаковую ординату, то они симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому указанная ось проходит перпендикулярно отрезку ÀÂ через его середину. Абсцисса точки À равна нулю, а абсцисса точки Â равна – 2, поэтому уравнение оси параболы имеет вид õ = –1. Подставив значение õ = – 1 â ðà-

венство ó = – 0,5õ2 – õ + 4, получим ó =

= 4,5. Значит, вершина Ñ параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии,

имеет координаты õ0 = – 1, ó0 = 4,5. Отметив на коор-

динатной плоскости точку Ñ (– 1; 4,5), построим па-

раболу, проходящую через три точки À, Â, Ñ. Это и есть искомый график (рис. 64).

III способ: построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Из уравнения - 0,5x2 - x + 4 = 0 находим x1 = -4, x2 = 2. Поэтому мы знаем две точки искомой

параболы: D (– 4; 0) è E (2; 0). Так как ось симмет-

рии параболы перпендикулярна отрезку DE и проходит через его середину, то уравнение этой оси имеет вид õ = – 1. Подставив значение õ = – 1 â

равенство y = -0,5x2 - x + 4, находим ó = 4,5. Èòàê,

вершиной параболы служит точка Ñ (–1; 4,5). По трем точкам D, E è Ñ строим искомый график (рис. 64). n

176

АЛГЕБРА

§ 13. Преобразования графиков

135. Построение графика функции y = f (kx).

Задача I. Построить график функции y = f (kx),

ãäå k > 0, k ¹ 1, зная график функции y = f (x).

q Пусть y0 = f (x0). Поставим вопрос: какое зна- чение аргумента õ нужно взять, чтобы функция y = f (kx) приняла значение ó0? Ясно, что это значе- ние õ должно удовлетворять условию kx = x0, ò. å. x = x0 / k. Таким образом, точка (õ0; ó0), лежащая на графике заданной функции y = f (x), преобразуется в точку (x0 / k;y0), лежащую на графике функции y = f (kx). Это преобразование есть сжатие графика y = f (x) с коэффициентом k ê îñè Îó (åñëè

0 < k < 1, то фактически получается растяжение îò

îñè Îó с коэффициентом 1/ k). n

На рис. 65 изображены графики функций y = arccos x è y = arccos 2x, а на рис. 66 — графики

функций y = x è y = x / 3.

Задача II. Построить график функции y = f(-x),

зная график функции y = f(x).

q Пусть y0 = f(x0). Для того чтобы функция y =

= f(-x) приняла значение ó0, значение õ должно удовлетворять условию õ0 = –õ, ò. å. õ = –õ0. Точка (õ0; ó0) графика функции y = f(x) преобразуется в

177

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Ðèñ. 65 Ðèñ. 66

точку (–õ0; ó0) графика функции y = f(-x) . Это зна- чит, что график функции y = f(-x) можно получить

из графика функции y = f(x) преобразованием симметрии последнего относительно оси Îó. n

На рис. 67 изображены графики функций y = = log3 x è y = log3(-x).

Задача III. Построить график функции y = f (kx), ãäå k < 0, k ¹ –1, зная график функции y = f(x).

q Имеем f(kx) = f (- k x). Поэтому график функции y = f (kx) можно получить сжатием графика

функции y = f(x) с коэффициентом k ê îñè Îó è

симметрией полученного графика y = f( k x) относительно оси Îó. n

На рис. 68 изображены графики функций y = x3/2

è y = (-2x)3/2.

178

АЛГЕБРА

§ 13. Преобразования графиков

Ðèñ. 67

Ðèñ. 68

136. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. Здесь речь идет о построе-

нии графиков функций вида y = m sin kx, y =

= m cos kx, y = m tg kx, y = m ctg kx.

П р и м е р. Построить график функции

y = -3 cos2x.

q Построим одну полуволну графика функции y = cos x. Осуществив ее сжатие к оси Îó с коэффи-

циентом 2, получим график функции y = cos2x. Теперь произведем растяжение построенного графика от оси Îõ с коэффициентом 3, а затем преобразование симметрии относительно оси Îõ. В результате будет построена полуволна графика фун-

êöèè y = -3 cos2x. Íà ðèñ. 69, à показана одна полуволна искомого графика, а на рис. 69, á — весь график. n

179

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

à)		á)

Ðèñ.69

137.График гармонического колебания ó =

=Asin (wx + a). Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой

y = A sin (wx + a),

которая называется формулой гармонических (èëè

синусоидальных) колебаний. Величина À называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина w называется частотой колебания. Чем больше w, тем больше число колебаний за единицу времени. Наконец, a называется

начальной фазой колебания.

П р и м е р. Построить график функции

æ x			p	ö
y = 2 sin ç		-		÷.
è	3		6	ø

180