Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

125. Свойства и график функции y = ctg x.

10. Область определения: x ¹ pk, k Î Z.

20. Множество значений — вся числовая прямая.

30. Функция периодическая с основным периодом p.

40. Функция нечетная.

50. Функция убывает на промежутках (pk, p + pk), k Î Z.

60. Прямые x = pk, k Î Z — вертикальные асимптоты.

График функции y = ctgx изображен на рис. 51.

126. Функция y = arcsin x. Функция y = sin x

возрастает на отрезке [–p/2, p/2] принимает на нем

Ðèñ. 51

161

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

все значения от –1 до 1 (см. рис. 48). Значит, для

функции y = sin x , -p / 2 £ x £ p /2, существует обратная функция (см. п. 115). Эту функцию обозна-

÷àþò y = arcsin x (читается: «арксинус õ»). График функции y = arcsin x можно получить из

графика функции y = sinx , -p / 2 £ x £ p /2, с помощью преобразования симметрии последнего относительно прямой ó = õ (ðèñ. 52).

Перечислим свойства функции y = arcsin x : 10. Область определения — отрезок [–1, 1].

20. Множество значений — отрезок [-p / 2, p /2]. 30. Функция нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x. 40. Функция возрастающая.

Ðèñ. 52

Ðèñ. 53

162

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

Из сказанного выше следует, что записи y = arcsin x è x = sin y , -p / 2 £ y £ p / 2, эквивалентны. Подставив в равенство x = sin y вместо ó åãî âû-

ражение, т. е. arcsin x, получим x = sin (arcsin x) . Следовательно, для любого õ из [–1, 1] имеем

sin (arcsin x) = x, - p /2 £ arcsin x £ p / 2.

127. Функция y = arccos x. Функция y = cos x

убывает на отрезке [0, p], принимает на нем все зна- чения от –1 до 1 (см. рис. 49). Значит, для функции y = cos x , рассматриваемой на отрезке [0, p], существует обратная функция. Она обозначается y = arccos x (читается: «арккосинус õ»).

График функции y = arccos x получается из графика функции y = cos x , 0 £ x £ p, с помощью преобразования симметрии относительно прямой ó = õ (ðèñ. 53).

Перечислим свойства функции y = arccos x : 10. Область определения — отрезок [–1, 1]. 20. Множество значений — отрезок [0, p].

30. Функция не является ни четной, ни нечетной. 40. Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи y = = arccos x è x = cos y, 0 £ y £ p, эквивалентны. Подставив в равенство x = cos y вместо ó выражение

arccos x, получим cos (arccos x) = x . Следовательно, для любого õ из промежутка [–1, 1] имеем

cos (arccos x) = x, 0 £ arccos x £ p.

163

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

128. Функции y = arctg x, y = arcctg x. Ôóíê-

öèÿ y = tgx возрастает на интервале (-p / 2, p / 2), принимает на нем все значения (см. рис. 50). Поэто-

му на указанном интервале для функции y = tg x существует обратная функция. Она обозначается

y = arctgx (читается: «арктангенс õ»).

График функции y = arctg x получается из гра-

фика функции y = tg x, - p /2 < x < p / 2, с помощью преобразования симметрии относительно прямой ó = = õ (ðèñ. 54).

Перечислим свойства функции y = arctg x : 10. Область определения — множество R.

20. Множество значений — интервал (-p / 2, p / 2).

30. Функция нечетная: arctg (–x) = – arctg x.

40. Функция возрастающая.

50. Прямые y = p/2 è y = –p/2 — горизонтальные асимптоты соответственно при õ º +× è õ º –×.

Ðèñ. 54

Ðèñ. 55

164

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

Из сказанного выше следует, что записи y =

= arctgx è x = tg y, - p /2 < x < p / 2, эквивалентны. Для любого õ имеем

tg(arctgx) = x, - p /2 < arctgx < p /2.

Функция y = ctgx убывает на интервале (0, p), принимает на нем все значения (см. рис. 51). Следовательно, на этом интервале для функции y = ctg x существует обратная функция. Она обозначается y = arcctgx (читается: «арккотангенс õ»).

График функции y = arcctgx получается из графика функции y = ctg x , 0 < x < p, с помощью преобразования симметрии относительно прямой ó = õ (ðèñ. 55).

Перечислим свойства функции y = arcctg x : 10. Область определения — множество R.

20. Множество значений — интервал (0, p).

30. Функция не является ни четной, ни нечетной. 40. Функция убывающая.

50. Прямые y = 0 è y = p — горизонтальные асимптоты соответственно при õ º +× è õ º –×.

Из сказанного выше следует, что записи y = = arcctg x è x = ctg y , 0 < x < p, эквивалентны. Для любого õ имеем

ctg (arcctgx) = x, 0 < arcctgx < p.

Функции ó = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x è y = arcctg x называются обратными тригонометрическими фукнциями.

129. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Определения и свойства обратных тригонометрических функций (см. пп. 126–128) позволяют истолковать их следующим образом:

165

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

арксинусом числа a Î [-1, 1]						называется такое
число a О [-p /2, p / 2], синус которого равен à:
arcsin a	= a	sin	a =		a è	-p / 2 £ a £ p / 2;
	, åñëè
арккосинусом числа				a О [-1, 1] называется та-
кое число a О [0, p],		косинус которого равен à:

arccos a = a, åñëè cos a = a è 0 £ a £ p;

арктангенсом числа à называется такое число a О= (-p / 2, p / 2), тангенс которого равен à:

arctg a = a, åñëè tg a = a è -p / 2 < a < p / 2;

арккотангенсом числа à называется такое число a О (0, p), котангенс которого равен à:

arcctga = a, åñëè ctg a = a è 0 < a < p.

Справедливы следующие тождества:

arcsin (-a) = - arcsin a, arccos (-a) = p - arccos a, arctg (-a) = - arctg a, arcctg (-a) = p - arcctg a.

П р и м е р. Вычислить:

à) arcsin (	3 / 2);	ä) arcctg 3;
á) arcsin (-1/ 2);		å) arctg (-1);
â) arccos (	2 /2);	æ) arcctg 0;
ã) arccos (-	2 / 2);	ç) arcctg (- 3).

q а) По определению, a = arcsin ( 3 / 2) — ýòî

такое число, что sin a = 3 / 2 è -p / 2 £ a £ p /2. Îò-

сюда следует, что a = p / 3, т. е. arcsin ( 3 /2) = p / 3.

166

АЛГЕБРА

§ 12. Виды функций

б) Рассуждая аналогично, получаем arcsin (1/2) = = p/ 6. Но arcsin (-1/2) = - arcsin (1/2), значит,

arcsin (-1/ 2) = - p / 6.

в) По определению, a = arccos ( 2 / 2) — ýòî òà-

кое число, что cos a = 2 / 2 и 0	£ a £ p. Отсюда сле-
äóåò, ÷òî a = p / 4, ò. å. arccos (	2 / 2) = p / 4.

ã) Òàê êàê arccos (-a) = p - arccos a, то получаем

arccos (- 2 / 2) = p - arccos ( 2 /2) = p - p / 4 = 3p / 4.

д) По определению, a = arctg 3 — это такое число, что tg a = 3 и -p / 2 < a < p / 2. Отсюда следует,

÷òî a = p / 3, ò. å. arctg 3 = p / 3.

е) Рассуждая аналогично, получаем arctg1 = p / 4.

Но arctg (-1) = - arctg1, значит, arctg(-1) = -p / 4.

ж) По определению, a = arcctg0 — это такое чис-

ëî, ÷òî ctg a = 0 è		0 < a < p. Отсюда следует, что
a = p / 2,	ò. å. arcctg 0 = p / 2.
з) Рассуждая аналогично, находим arcctg			3 =
= p / 6.	Òàê êàê	arcctg(-a) = p - arcctga,	òî
arcctg (-	3) = p - arcctg 3 = p - p / 6 = 5p / 6. n

167

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

§13. Преобразования графиков

130.Построение графика функции y = mf(x).

Задача I. Построить график функции y = mf(x),

ãäå m > 0, m ¹ 1, зная график функции y = f(x). q Ординаты точек графика функции y = mf(x) ïî-

лучаются умножением на m соответствующих ординат точек графика функции y = f(x). Такое преобразование графика функции y = f(x) называется его растяжением îò îñè Îõ с коэффициентом ò, åñëè m > 1, è сжатием ê îñè Îõ, åñëè 0 < m < 1. n

На рис. 56 изображены графики функций y = log2 x è y = 0,5 log2 x.

Ðèñ. 56

Ðèñ. 57

168

АЛГЕБРА

§ 13. Преобразования графиков

Задача II. Построить график функции y = -f(x),

зная график функции y = f(x).

q При одном и том же значении õ ординаты

точек графиков функций y = f(x) è y = -f(x) отли- чаются только знаками. Значит, график функции

y = -f(x) можно получить из графика y = f(x) преобразованием симметрии последнего относительно оси Îõ. n

На рис. 57 изображены графики функций ó = = 10õ è ó = –10õ.

Задача III. Построить график функции y = mf(x),

ãäå m < 0, m ¹ -1, зная график функции y = f(x).

q Òàê êàê mf(x) = - m f(x), то график функции

y = mf(x) можно получить растяжением (сжатием) графика функции y = f(x)

îò îñè Îõ с коэффициентом m и последующим преобразованием симметрии относительно оси Îõ (см. задачи I и II). n

На рис. 58 изображены графики функций ó = õ4 è

ó= –3õ4.

131.Графики функций ó =

= àõ2, ó = àõ3. Графиком функции ó = õ2 является парабола. Чтобы построить гра-

фик функции ó = àõ2, нужно

Ðèñ. 58

169

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

осуществить растяжение (сжатие) параболы ó = õ2 îò

îñè Îõ с коэффициентом a; ïðè ýòîì åñëè a < 0, òî

график функции y = a x2 нужно еще отобразить

симметрично относительно оси Îõ (ñì. ï. 130).

На рис. 59 изображены графики функции ó = = àõ2 для значений à, равных 1; –1; 3; – 0,5. Все эти графики называют параболами. Ïðè à > 0 ветви параболы, служащей графиком функции ó = àõ2, направлены вверх, а при a < 0 — âíèç.

Аналогично, зная график функции ó = õ3, можно построить график функции вида ó = àõ3. На рис. 60 изображены эти графики для значений à, равных 1; –1; 3.

Ðèñ. 59

Ðèñ. 60

170