Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

Например:

– 2 = –24 =–36 = –10050 ; 0,3 = 103 = 206 = 1000300 .

Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь. Для целых чисел — это дробь со знаменателем 1.

§3. Действительные числа

20.Иррациональные числа. Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, т. е. не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называются иррациональными. Например, длина диагонали квадрата со

стороной 1 (рис. 2, à) должна выражаться некоторым положительным числом r, таким, что r2 = 12 +

+12 (по теореме Пифагора, см. п. 275), т. е. таким, что r2 = 2. Число r не может быть целым, так как 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9 и т. д. Число r не может быть и

дробным: если			r =			m	— несократимая дробь, где
						n
n ¹ 1, òî r2 =	m2			— также несократимая дробь, где
	n2
n2 ¹ 1; значит,		m2				не является целым числом, а по-
			n2

тому не может быть равным 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом,

которое обозначается 2 (читается: «квадратный корень из двух»). На рис. 2, á изображена координатная прямая l, OABJ — квадрат, OC = OB = OD. Тогда

координатой точки Ñ является число 2 , а коорди-

31

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

Ðèñ. 2

натой точки D — число – 2 . Обе точки C è D имеют иррациональные координаты.

Так как любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби (см. п. 16) и в свою очередь любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число (см. п. 17), то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби и в свою очередь любая бесконечная десятич- ная непериодическая дробь есть иррациональное число.

21. Множество действительных чисел. Числовая прямая. Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чи- сел. Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу (достаточно найти расстояние до этой точки от начала отсчета и поставить перед найденным числом знак «+» или «–» в зависимости от того, справа или слева от начала отсчета находится заданная точка).

Множество действительных чисел называют также числовой прямой. Геометрической моделью числовой прямой служит координатная прямая.

32

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

22. Числовая плоскость. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Ïîä парой чисел обычно понимают два числа, которые рассматриваются в определенном порядке (упорядоченная пара). Множество всех пар действительных чисел называют числовой плоскостью.

Как для множества всех действительных чисел (или числовой прямой) есть геометрическая модель — координатная прямая (см. пп. 18 и 21), так и для множества всех пар действительных чисел (числовой плоскости) есть геометрическая модель — координатная плоскость. Координатная плоскость

õOy определяется двумя взаимно перпендикулярными прямыми с общим началом Î и одинаковым масштабом (рис. 3). Точка Î называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс èëè îñüþ Îõ, вертикальная — осью ординат èëè îñüþ Îy. Говорят, что эти оси образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Каждой точке плоскости xOy соответствует пара чисел — координат этой точки относительно данной кооординатной системы. Рассмотрим прямоугольные проекции точки Ì íà îñè Îõ è Oy (рис. 3); соответ-

Ðèñ. 3

33

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

ствующие точки на осях Îõ è Oy обозначе- ны через Ìõ è Ìy.Точка Ìõ имеет координату (абсциссу) õ, точка Ìy — координату (ординату) y. Эти два числа, записанные в указанном порядке, называют координатами точки Ì и пишут Ì (õ; y).

Оси координат делят координатную плоскость на четыре координатные четверти (квадранты), которые нумеруются римскими цифрами (см. рис. 3). Знаки координат точки в зависимости от того, в каком квадранте она лежит, указаны на рис. 3.

Точки, лежащие на оси Îõ, имеют ординату y, равную нулю; точки на оси Îy — абсциссу õ, равную нулю.

Аналогично вводится прямоугольная декартова система координат в пространстве. Для этого возьмем три попарно перпендикулярные прямые с общим началом Î и одинаковым масштабом (рис. 4, à). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые Îõ è Îy, называется плоскостью õÎy, а две другие — плоскостями õÎz è yÎz. Точка Î называется нача- лом координат, прямые Îõ, Îy, è Îz — координатными осями, а плоскости õÎó, õÎz è óÎz — координатными плоскостями. Ïðè ýòîì îñü Îõ называется осью абсцисс, îñü Îy— осью ординат, à îñü Îz — осью аппликат.

Возьмем произвольную точку Ì и проведем че- рез нее плоскость, параллельную плоскости yOz (ðèñ. 4, á); тогда построенная плоскость пересечет ось Îõ в точке Ìõ.

Координатой õ точки Ì является число, равное по модулю длине отрезка ÎÌõ (оно положительно, если Ìõ лежит на положительной полуоси, и отрицательно, если Ìõ лежит на отрицательной полуоси). Аналогично определяются координаты y è z точки Ì.

34

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

Ðèñ. 4

3/4

1/4

Точку Ì с координатами x, y, z будем записывать так: Ì (x; y; z), причем õ называется абсциссой, y —

ординатой, à z — аппликатой.

Итак, каждой точке Ì в пространстве соответствуют три числа, взятые в определенном порядке, — координаты точки Ì в пространстве.

23. Полярная система координат. Положение точ- ки на плоскости можно задать не только ее декартовыми прямоугольными координатами õ, y, но и другими способами. Соединим, например, точку Ì ñ íà÷à- ëîì Î (рис. 5) и рассмотрим следующие два числа: длину отрезка ÎÌ = r и угол j наклона этого отрезка к положительному направлению оси Îõ (этот угол считается положительным, если поворот от оси Îõ до ее совмещения с направлением ÎÌ происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае). Отрезок r = ÎÌ называется полярным радиусом точки Ì, óãîë j — åå полярным углом, пара чисел (r; j) — åå полярными координатами, точка Î — полюсом, îñü Ox — полярной осью. Такая система координат называется полярной.

35

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

На рис. 5 изображены точки, заданные полярными

æ

3

; -

p ö

æ

1

3p ö

æ 3

ö

координатами: À(1;0), B ç

÷

, C ç

;

÷

,. D ç

; p÷ .

è 5

2 ø

è 2

4 ø

è 5

ø

Зная полярные координаты точки, можно найти

ее декартовы координаты по формулам

x = r cosj, y = r sinj,

(1)

непосредственно вытекающим из определения тригонометрических функций (см. п. 118). Наоборот, если известны декартовы координаты точки, то ее полярные координаты находятся по формулам

				r =			x2 + y2 ,
cos j =	x	–		x		,	sin j = y -	y	. (2)
	r		Öx2 + y2				r	x2 + y2

П р и м е р. Найти полярные координаты точки Ì

(–4; 4 3 ).

qИспользуя первую из формул (2), находим

r = (-4)2 + (4 3)2 = 16 + 48 = 8. Далее, согласно

второй и третьей формулам (2), имеем cos j =					-4		=	1	,
				8				2
sin j = 4 3			= 3 , откуда следует, что j =	2p		. Èòàê,
	8		2	3
æ	2p ö
M ç8;		÷.	n
è	3 ø

36

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

Ðèñ. 5

24. Обозначения некоторых числовых множеств. Основные понятия, связанные с множествами. Приведем обозначения часто встречающихся числовых множеств:

N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

I — множество иррациональных чисел; R — множество действительных чисел;

Ñ — множество комплексных чисел (см. п. 45). Если à является элементом множества À, òî ãîâî-

ðÿò, ÷òî à принадлежит множеству À и пишут a Î A (Î — знак принадлежности). В противном случае, т. е. если à не является элементом множества À,

пишут a Ï A . Так, например, 5 Î N , à O0 Ï N;

-5 Î Z, à 1,4 Ï Z;	2	Î Q, à	2 Ï Q.
3

37

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обозначение: Ж). Например, пустым является множество точек пересечения двух параллельных прямых или множество действительных корней уравнения õ2 + 1 = 0.

Множество Â называется подмножеством множества À, если любой элемент множества Â принадлежит множеству À. В этом случае пишут B Ì A

(Ì — знак включения). Например, N Ì Z, Z Ì R.

Объединением множеств À è Â называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств À è

Â. В этом случае пишут: A U B ( U — знак объединения). Например, N U Z = Z, Q U I = R.

Пересечением множеств À è Â называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств

À è Â. В этом случае пишут: A I B ( I — знак пересечения). Например, N I Z = N, Q I I = Æ.

25. Сравнение действительных чисел. Для любых неравных действительных чисел à è b можно сказать, какое больше, а какое меньше.

Говорят, что число à больше числа b, и пишут à > b, если разность à – b — положительное число; если разность à – b — отрицательное число, то говорят, что число à меньше числа b, и пишут à < b. Согласно этому определению любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Для любых заданных чисел à è b верно одно и только одно из соотношений à > b, a < b, a = b.

38

АЛГЕБРА

§ 3. Действительные числа

3/4

1/4

Геометрически неравенство a < b (à > b) означает, что точка à расположена на координатной прямой левее (правее) точки b.

Знаки < , > называются знаками строгих неравенств. Иногда используются знаки нестрогих неравенств ³ ,£ ; запись a £ b означает, что верно одно из двух: или число à меньше числа b, или число à равно числу b. Например, 3 £ 5, 5 ³ 5 — верные неравенства. Неравенства à > b è c > d называются

неравенствами одного знака; неравенства à > b è c < d называются неравенствами противоположных знаков. Если числа à, b, c таковы, что a < b è b < c, то используют запись a < b < c, которую называют двойным неравенством.

26. Свойства числовых неравенств. Для любых действительных чисел a, b, c, d выполняются следую-

щие свойства:

10. Åñëè à > b, òî b < a.

20. Åñëè à > b è b > c, òî à > ñ (свойство транзи-

тивности).

30. Åñëè à > b, òî à + ñ > b + ñ.

40. Åñëè à > b è ñ — положительное число (ñ > 0), òî àñ > bñ (если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство).

50. Åñëè à > b è ñ — отрицательное число (c < 0), òî

àñ < bñ (если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противополож-

ный, то получится верное неравенство).

60. Åñëè à > b è ñ > d, òî à + ñ > b + d (если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство).

39

3/4

1/4

АЛГЕБРА

Раздел I. ЧИСЛА

70. Åñëè a, b, c, d — положительные числа, при- чем à > b è ñ > d, òî àñ > bd (если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство).

80. Åñëè à > b è ñ < d, òî à – ñ > b – d.

90. Åñëè à > b > 0, òî 1 < 1 .

ab

100. Åñëè a > b > 0, òî an > bn для любого натурального числа n.

27.Числовые промежутки. Возьмем два числа

àè b такие, что à < b, и отметим на координатной прямой соответствующие им точки.

Множество всех чисел õ, удовлетворяющих неравенствам à < õ < b, обозначают (à, b) и называют èí-

тервалом.

Множество всех чисел õ, каждое из которых удовлетворяет неравенствам a £ x £ b, обозначают [à, b]

и называют отрезком.

Интервал и отрезок — это конечные числовые промежутки. Имеются конечные числовые промежутки еще двух видов: [a, b) — это множество чи-

ñåë õ, удовлетворяющих неравенствам a £ x < b, è (a, b] — это множество чисел õ, удовлетворяющих

неравенствам a < x £ b. Эти промежутки называют

полуинтервалами.

Существуют и бесконечные числовые промежутки. Множество всех чисел õ, удовлетворяющих

неравенству x ³ a, обозначают [a, + ¥) и называют лучом, а множество всех чисел õ, удовлетворяющих

неравенству õ > a, обозначают (a, + ¥) и называют

40