2. Момент инерции. Главные оси вращения.

Момент инерции системы материальных точек относительно данной оси определяется как сумма произведений масс каждой точки на квадрат её расстояния от этой оси, т. е. является аддитивной величиной:

_N

J_z  m_iR_i² . (6)

^{i = 1}

Момент инерции сплошного твёрдого тела нужно вычислять путём интегрирования следующего выражения:

J  r²dV. (7)

Интеграл берётся по всему объёму тела. Величины r (расстояние до оси вращения) и (плотность вещества) являются функциями точки, т. е. декартовых координат.

Если какое-либо тело привести во вращение вокруг произвольной оси и предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве будет изменяться: ось будет либо поворачиваться, либо перемещаться относительно инерциальной системы отсчёта. Для удержания оси необходимо приложить к ней внешние силы.

Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия на неё внешних сил, называется свободной осьютела.

Для любого тела можно подобрать три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции тела (он жецентр масс), которые могут служить свободными осями. Их называютглавными центральными свободными осями инерциитела.

У однородного параллелепипеда главными осями инерции будут оси 0₁0₁, 0₂0₂и 0₃0₃, проходящие через центры противолежащих граней.

01 02 0303 0201 Рис. 1.

02 03 01 01 02 03 Рис. 2.

У тела, обладающего осевой симметрией (однородного цилиндра, например), одной из главных осей инерции является ось симметрии, которая чётко фиксирована. В качестве двух других осей могут служить две любые взаимно-перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции тела.

У тела с центральной симметрией, т. е. у шара, главными осями инерции являются любые три взаимно-перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции тела. Следовательно, ни одна из них не является фиксированной.

Если тело вращается в условиях, когда всякое воздействие извне на него отсутствует, то устойчивым будет вращение только вокруг главных центральных осей инерции, соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение тела вокруг оси, соответствующей среднему по величине моменту, будет неустойчивым: при малейшем отклонении оси вращения от этой главной оси возникают силы, увеличивающие это отклонение. При отклонении оси вращения от устойчивой оси под действием возникающих при этом сил первая возвращается к устойчивой оси.

При наличии внешнего воздействия устойчивым будет вращение только вокруг главной оси, соответствующей наибольшему значению момента инерции. По этой причине тонкий стержень, подвешенный на нити, прикреплённой к его концу, при быстром вращении будет в конечном итоге вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр. Аналогично ведёт себя и диск, подвешенный на нитке, прикреплённой к его краю.

Рис. 3.

Рис. 4.