Лабораторная работа n10. Изучение крутильных колебаний и определение скорости пули. Теория.

Крутильные колебания удобно рассмотреть по аналогии с хорошо известными ещё со школы колебаниями пружинного маятника. Дифференциальное уравнение его движения и решение этого уравнения даны ниже:

x=Acos(ω₀t+α₀), – (1)

где ₀² = k/m – циклическая частота собственных незатухающих упругих колебаний; k = F/x – жёсткость пружины.

Заменив в этих уравнениях линейное ускорение на угловое, силу моментом силы, а массу маятника моментом его инерции, будем иметь:

.φ=φ_максcos(ω₀t+α₀). (2)

Циклическая частота крутильного маятника зависит от жёсткости пружины при её закручивании и момента инерции маятника – ₀² = G/J. Жёсткость пружины при её закручивании определяется моментом силы, закручивающим маятник на угол в 1 радиан –– G = M/(Н м/рад).

Дифференцирование уравнения движения крутильного маятника даст угловую скорость маятника при свободном его движении:

, – (3)

где – угловая скорость крутильного маятника,₀ – циклическая частота свободных незатухающих колебаний маятника.

Эксперимент.

До взаимодействия пули и маятника момент импульса системы равен:

L=mvr, –

где m– масса пули,v– её скорость, аr– радиус маятника (см. рис. 1). На основании же закона сохранения момента импульса имеем:

mvr=J_макс=J₀φ_макс, – (4)

т. е. момент импульса пули до столкновения равен моменту инерции маятника и пули после их взаимодействия. Из соотношения (4) можно найти скорость пули:

v=J/mr= (2/T) (φ_макс/mr)J(5)

M M r r Рис. 1.

Момент инерции маятника складывается из двух слагаемых: момента инерции грузов и момента инерции крутильного маятника, т. е. J= 2Мr^2+J0. Меняя положение грузов на стержне, будем иметь:

J₁= 2Мr₁²+J₀,J₂= 2Мr₂²+J₀, и т. д.

При этом изменение момента инерции маятника составляет

J₁–J₂= 2М(r₁²–r₂²). (6)

Момент инерции крутильного маятника и жёсткость при кручении находятся экспериментально. Так как ₀² = G/J, где₀= 2π/Т, то

J₁–J₂= G/4π²(Т₁²– Т₂²). (7)

Приравняв правые части соотношений (6) и (7), найдём для G

G = 4π²2М(r₁²–r₂²)/(Т₁²– Т₂²). (8)

_{Полученное соотношение позволяет найти момент инерции маятника:}

J = G/₀² = G/4π²Т²= Т²2М(r₁²–r₂²)/(Т₁²– Т₂²). (9)

Подставив найденное выражение в формулу (5), найдём для скорости пули:

v= (2T) (φ_макс/mr) 2М(r₁²–r₂²)/(Т₁²– Т₂²). (10)

Таким образом, измерив период колебаний крутильного маятника в двух случаях, мы можем определить и скорость пули по формуле (10).

Порядок выполнения работы:

– Выставить прибор с помощью установочных винтов так, чтобы маятник совершал свободные колебания.

– Включить прибор кнопкой «сеть» и убедиться в его готовности к работе.

– Установить грузы на минимальном расстоянии от оси r₁; установить маятник так, чтобы черта на мисочке для пули совпала с нулём на угловой шкале; зарядить пулю и сделать выстрел.

– Измерить максимальный угол отклонения маятника φ_макс; повторить измерение не менее трёх раз.

– Отклонить маятник на угол φ_макс, нажать кнопку «сброс» и одновременно отпустить маятник; измерить время 10 колебаний и определить период колебаний данного маятника Т₁.

– Установить грузы на максимальном расстоянии r₂, повторить работу и найти период колебаний во втором случае Т₂

– Вычислить скорость пули по формуле (10).

Ответьте на контрольные вопросы.

1. Какой маятник называется крутильным баллистическим маятником?

2. Каков физический смысл коэффициента момента упругих сил?

3. Запишите закон сохранения момента импульса для системы пуля-маятник.

4. Запишите закон сохранения энергии для системы маятник -упругая проволока?

5. Как можно найти момент инерции стационарной части крутильного маятника?

6. Как можно рассчитать коэффициент момента упругих сил по известной скорости полета пули?