Лабораторная работа n9. Изучение гармонического движения и определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Теория.

Гармоническим осциллятором называют систему, описываемую уравнением

_{x” + 2x = 0.}(1)

Гармонический осциллятор совершает гармонические колебания около положения равновесия по закону

, (2)

где А – амплитуда колебания, – циклическая частота, а– начальная фаза колебания (движения).

К числу гармонических осцилляторов относятся различные маятники: пружинный, математический, физический и т. д. Физический маятник представляет собой твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса маятника О, на одной с ней вертикали.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент

M = – mg lsin. (3)

Согласно же основному закону динамики вращательного движения

J= – mglsin. (4)

В случае малых колебаний (4) переходит в (1):

 + mgl/Jsin=^”+²= 0. (5)

Поскольку ² = mgl/J, постольку период колебаний физического маятника оказывается зависящим от момента инерции маятника относительно оси вращения, его массы и расстояния между осью вращения и центром масс:

T = 2/ = 2J/mgl. (6)

Из (6) следует, что математический маятник с длиной

l_пр= J/ml. (7)

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический. Величину (7) называют приведённой длинойфизического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции и лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (точка 0^/). При подвешивании маятника в центре качания приведённая длина, а значит и период колебаний, будут теми же, что и вначале. Т. е. точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности. Действительно, по теореме Штейнера J = J₀+ ml² и приведённая длина маятника оказывается равной

l_пр = J/ml = J₀/ml + l  l. (8)

Если же подвесить маятник в точке 0^/, то приведённая длина будет равна

l^/_пр= J₀/ml^/ +l^/. (9)

Так как l^/ = l_пр – l, то соотношение (9) можно записать следующим образом:

l^/_пр= J₀/m(l_пр –l) +l_пр –l =l_пр+ (J₀/m(l_пр –l) –l) =l_пр.

Последнее равенство вытекает из соотношения (7) и теоремы Штейнера.

Эксперимент.

На установленном свойстве взаимности точки подвеса и центра качания основано определение ускорения силы тяжести с помощью оборотного маятника, состоящего из спицы, на концах которой закреплены две опорные призмы, за которые он может поочерёдно подвешиваться. Вдоль маятника можно перемещать и закреплять в данном месте тяжёлые грузы (рис. 2). Перемещением грузов добиваются, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными призмами будет равно приведённой длине маятника. Измерив период колебаний маятника и зная приведённую длину, по формулам (6) и (7) находим ускорение силы тяжести g.

Порядок выполнения работы:

1). Установить и зафиксировать грузы в некотором положении.

2). Подвесить маятник за одну из призм, измерить время 10 колебаний и вычислить период колебаний маятника по формулеТ₁= t/n.

3). Установить маятник на противоположную призму и повторить измерения. При несовпадении значений Т₁и Т₂необходимо передвинуть призму ближе либо дальше. Как видно из рисунка 1 и следует из формул (6) и (7), в первом случае период колебаний должен уменьшиться, а во втором увеличится.

4). Измерьте расстояние между точками подвеса, т. е. приведённую длину.

5). Вычислить ускорение силы тяжести по формуле

g = 4²l_пр/Т².

Ответьте на контрольные вопросы.