3. Гироскоп (волчок).

0^// 0 0^/0^/ 0 0^// Рис. 5.

Гироскоп (волчок) – это массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии (она же – главная ось инерции, она же свободная ось). Свободный симметричный волчокпоказан на рисунке. В силу закона сохранения момент импульса такого волчка не будет изменяться ни по

величине, ни по направлению: если привести волчок во вращение вокруг оси симметрии, векторы L и будут иметь одинаковое направление, сохраняющееся неограниченно долго.

При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается т.н. гироскопический эффект: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа 00 вокруг прямой 0^/0^/, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой 0^//0^//(ось 00 и прямая 0^/0^/предполагаются лежащими в плоскости рисунка, а прямая 0^//0^//и силыF1иF2 – перпендикулярными к этой

(Z) 0 dL L F1 L^/ d 0^//  M (X) 0^/0^/ ^/ (Y)0^// F2 0 Рис. 6.

плоскости). Противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа оказывается полностью соответствующим законам динамики вращательного движения. Действительно, момент М силF₁иF₂направлен вдоль прямой 0^/0^/. За время dt момент импульса гироскопаL получит приращение dL =Mdt, которое имеет такое же направление, как иM.Спустя время dt момент импульса гироскопа будет равен результирующейL^/=L +dL, лежащей в плоскости рисунка. Направление вектораL^/совпадает с новым направлением оси гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг прямой 0^//0^//на некоторый угол d. Из рисунка видно, что d= |dL|/L = Mdt/L. Отсюда следует, что поворот оси гироскопа в новое положение произошёл с угловой скоростью^/= d/dt = M/L. ВекторыM, L и^/взаимно перпендикулярны, поэтому связь между ними можно представить в виде

M = [^/ L]. (8)

Эта формула справедлива и в общем случае, поскольку

M = ^/ L sin. (9)

Имеется в виду случай, когда угол между осями Z и Y отличен от прямого (между векторами^/иL) (см. рис. 6 и 7).

L sin. dL L ^/ M Рис. 7.

Z 0 L  0^// 0^/ ^/0^/ 0^// 0 Рис. 8.

Если ось 00 (Z) гироскопа может свободно поворачиваться вокруг осей X иY, то вследствие гироскопического эффекта будет наблюдаться прецессия– вращение гироскопа с угловой скоростью^/= d/dt = M/L = М/J, которая будет тем меньше, чем больше скорость вращения гироскопа (рис 8).

Если ось гироскопа может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки 0 и гироскоп находится в поле сил тяжести, то будет также наблюдаться его прецессия вокруг вертикальной оси, проходящей через точку 0, с угловой скоростью ^/. Так движется детская игрушка – волчок (рис. 9).

Z + ^/  L =J ^/ mg 0 Рис. 9.

В случае прецесcии гироскопа ось Z совпадает с осью инерции, однако ось вращения и момент импульса гироскопа не совпадает с осью инерции (и с ), так как движение гироскопа представляет собой сумму двух вращений: +^/. Поскольку^/и+^/, постольку

можно считать, что L =J,и поворот вектора L и поворот оси гироскопа будут эквивалентны.

Если точку 0 поместить в центр масс гироскопа, момент силы тяжести будет равным нулю, и мы будем иметь т.н. свободный симметричный волчок (см. рисунки 5 и 10). Однако, если волчок привести во вращение вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то векторы L и не только не будут

совпадать, но и будет наблюдаться двойная прецессия: вектор , оставаясь постоянным по величине, опишет конус вокруг вектора L; одновременно ось симметрии волчка Z также опишет конус вокругL. Волчок вращается вок-

L Z  Рис. 10.

руг оси Z со скоростью _z = L_z/J_z, а скорость прецессии равна_пр = L/J_х=у.

Если ось гироскопа 00 закреплена в подшипниках, то при её принудительном повороте вокруг прямой 0^/0^/вследствие гироскопического эффекта возникнут гироскопические силы. Действительно, ось гироскопа будет поворачиваться вокруг прямой 0^//0^//и для предотвращения поворота к оси гироскопа должны быть приложены

0 F^/1 F^//1 0^// 0^/0^/ 0^//F^//2F^/2 0 Рис. 11.

силы F^//₁иF^//₂, действующие со стороны подшипников. По третьему закону Ньютона ось гироскопа будет действовать на подшипники с силами F^/₁ иF^/₂, которые и являются гироскопическими силами. С гироскопическими силами приходится считаться при конструировании подшипников газовых (паровых) турбин на кораблях и самолётах. Ротор газотурбинного двигателя представляет собой гироскоп. Поэтому при качке судна или манёвре самолёта возникают гироскопические силы, вызывающие дополнительное весьма значительное давление оси на подшипники.

И наконец, гироскопический эффект и сопутствующие ему гироскопические силы используют в устройстве называемом гироскопическим компасом. Если действовать на гироскоп длительное времяпостоянным по направлениюмоментом внешних силМ, то ось гироскопа будет поворачиваться до тех пор, пока не совпадёт с осью и направлением вращения под действием внешних сил (векторыL иM совпадут по направлению).

кольцо 0 обойма 0^/0^/ 0 Рис. 12.

Соответственно описанному поведению гироскопа устроен и гирокомпас: в подшипниках кольца устанавливается гироскоп; кольцо может свободно вращаться внутри обоймы. Если обойму вращать с угловой скоростью ^/вокруг оси 0^/0^/, то кольцо будет поворачиваться в направлении оси 0^/0^/с такой же скоростью, пока ось 00 не установится вдоль оси 0^/0^/(в этом положении момент внеш

них сил и равный ему момент гироскопических сил станут равными нулю).

Свойствами гироскопа обладают вращающиеся небесные тела, артиллерийские снаряды, роторы турбин, устанавливаемых на судах, винты самолетов и т. д. В современной технике гироскоп – основной элемент всевозможных гироскопических устройств или приборов, широко применяемых для автоматического управления движением самолетов, судов, торпед, ракет, для целей навигации (указатели курса, горизонта, стран света и пр.) и во многих других.

Эксперимент.

Формула (8) позволяет определить величину и направление угловой скорости прецессии, если известен момент сил, действующих на гироскоп. Из формулы (8) также видно, что момент сил определяет не угловое ускорение, а угловую скорость прецессии. Значит, как только внешнее воздействие прекращается (М = 0). ось гироскопа останавливается. Если воздействие было кратковременным, то ось успеет повернуться только на очень малый угол. Таким образом, видно, что гироскоп приобрел устойчивость.

Схема установки показана на рис. 13.

В данной работе в качестве гироскопа служит электромотор 1 с маховиком 2, укрепленный на одном конце массивного стержня 3. На другом конце стержня имеется противовес 4, предназначенный для создания свободной уравновешенной системы относительно горизонтальной оси и получения момента внешних сил, вызывающих прецессию гироскопа. Прецессия гироскопа вызывается смещением противовеса вдоль стержня. Таким образом, момент сил. вызывающих прецессию, М равен разности моментов, создаваемых противовесом в неуравновешенном и уравновешенном состояниях, М =mg(l-l₀), гдеm– масса противовеса вместе с контргайкой,l₀– плечо уравновешенного, аl– плечо неуравновешенного гироскопа. Скорость вращения гироскопа и скорость прецессии определяются блоком управления.

Порядок выполнения работы.

1. Проверить готовность прибора к работе: выравнивание по уровню, подключение проводов к разъёмам, наличие предохранителей в гнёздах, подключение к сети.

2. Передвигая противовес 4 вдоль рычага 3, добиться того, чтобы гироскоп находился в положении равновесия.

3. Нажать кнопку СЕТЬ и проверить готовность измерительного блока 5 к работе.

4. Включить питание двигателя; после небольшой паузы, после того как ротор двигателя начнёт вращаться, довести обороты двигателя до 4 – 6 тыс. оборотов в минуту; убедиться в отсутствии прецессии гироскопа (при качественной балансировке).

5. Сместить противовес на 2 – 3 см. в любую сторону и нажать кнопку СБРОС.

6. После поворота гироскопа на угол 30⁰и более градусов нажать кнопку СТОП. Вычислить угловую скорость прецессии^/= d/dt после снятия показаний измерительного блока.

7. По найденной угловой скорости и заданному моменту (М = mgΔl) внешней силы вычислить момент импульса гироскопа по формуле (9).

8. По известному моменту импульса гироскопа L и числу оборотов двигателя вычислить момент инерции ротора двигателя по формуле (3).

9. Повторить измерения при нескольких скоростях вращения ротора гироскопа.

10. Ответьте на контрольные вопросы.