Лабораторная работа n12. Определение показателя адиабаты для воздуха методом Клемана-Дезорма. Теория.

Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой. Уравнение адиабаты вытекает из уравнения первого начала термодинамики:

dQ=dU+dA=m/C_v dT+pdV.

А так как при адиабатном процессе dQ = 0, то

dU + dA = m/ C_v dT + p dV = 0. (2)

Выразив p через V и T, согласно уравнению состояния идеального газа, и сократив множитель m/в (2), получим:

C_v dT + RTdV/V = 0. (3)

Интегрирование соотношения (3) даёт

lnT + R/C_v lnV = const. (4)

Учтя, что для идеального газа R = C_p– C_v, отношение R/C_v можно представить в виде– 1, где= C_p/C_v. Произведя в (4) такую замену и пропотенцировав полученное выражение, мы придём к уравнению адиабаты:

TV^{ – 1}= const. (5)

От уравнения адиабаты в переменных T и V легко перейти к уравнению в переменных p и V, использовав уравнение состояния идеального газа и учтя, что m, и R – постоянные величины:

рV^= const. (6)

Соотношение (6) представляет собой уравнение адиабаты в переменных р и V и носит название уравнения Пуассона.

Сопоставление уравнений адиабаты и изотермы показывает, что адиабата идёт круче, чем изотерма. В самом деле, вычислимdp/dV для адиабаты и изотермы в одной и той же точке (p, V), для чего продифференцируем оба уравнения:

pdV + Vdp = 0 и pV^{ – 1} dV + V^ dp = 0.

Полученные соотношения показывают, что

(dp/dV)_Q=0= –p/V= –(dp/dV)_T=const, (7)

т. е. тангенс угла наклона адиабаты в раз больше, чем у изотермы (рис. 1).

р(атм) 1 2 4 3 V(л) Рис. 1.

Как известно идеальная тепловая машина представляет собой обратимый цикл (цикл Карно), состоящий из двух изотерм 1-2 и 3-4 и двух адиабат 2-3 и 4-1. Адиабатный процесс имеет место при распространении звука в газах; при течении газа по трубе со скоростью звука и достижении сверхзвуковых

скоростей в расширяющихся трубах, и ряде других случаев. Отсюда становится понятной важность изучения самого процесса и измерения показателя адиабаты.

Эксперимент.

Измерение показателя адиабаты = C_p/C_v сопряжено с двумя трудностями. В своих рассуждениях мы полагаем, что состояние газа в любой момент характеризуется определёнными значениями параметров p и T (при неизменном количестве газа), т. е. считаем сам процесс в газе равновесным. Таковым является изотермический процесс при условии его неспешного протекания. В данной работе нам придётся дожидаться теплового равновесия между окружающим нас воздухом и газом (воздухом) в экспериментальной установке, поэтому оболочка сосуда должна обладать неплохой теплопроводностью. Адиабатный же процесс необходимо проводить достаточно быстро, с целью уменьшить приток (отток) тепла к изучаемой системе в ходе адиабатного расширения (сжатия).

Вторая трудность заключается в том, что количество газа в опытной установке в ходе эксперимента меняется, по каковой причине уравнение состояния ко всему газу в установке применять нельзя. Для преодоления этого затруднения применяется метод Клемана-Дезорма, идея которого состоит в том, что из всего газа выделяется условно небольшая часть массы m, причём это количество предварительно закачивается в баллон. Далее предполагается, что все процессы происходят именно с этой массой.

Итак, если с помощью насоса не спеша закачать в сосуд некоторое количество воздуха, то давление в нём станет равным p1= p0+p1, где p1– абсолютное давление газа в сосуде, р0– атмосферное давление,p1 – избыточное давление газа, показывае-

p p1 1(p1,V1,T1 = T0) p3 3(p3,V3, Т3= Т1) p2 2 V1V2V Рис. 2.

мое большинством манометров. Температура газа равна температуре окружающей среды, а сама порция занимает объём V₁, будучи сжатой остальной частью газа.

Если теперь быстро выпустить часть газа из сосуда, так чтобы давление в нём сравнялось с атмосферным, и снова закрыть его, то рассматриваемая нами порция газа расширится адиабатно (1–2) и займёт объём V₂. Само количество газа в этой порции остаётся неизменным, т. к. полагается, что из сосуда вытекают другие части газа. Таким образом, кривая 1-2 на диаграмме (рис. 2) полагается адиабатой, а параметры выделенной порции газа будут равны

p₂= p₀ (p₂ = 0), V₂, T₂< T₁.

C течением времени температура газа в сосуде будет повышаться до значения Т₃= Т₁= Т₀, давление газа будет также расти, поскольку сосуд герметичен. Процесс полагается изохорным и по его окончании давление газа станет равным значению

p₃= p₀+p₃,

Таким образом, газ из состояния 1 мы переводим в состояние 3 сначала адиабатно, а затем изохорно. К изохорному переходу 2-3 можно применить закон Шарля и написать

р₃/р₂= Т₃/Т₂или (p₀+p₃)/р₀= Т₀/Т₂. (1)

Из данного соотношения следует, что

p₃ = р₀((Т₀ – Т₂)/Т₂). (2)

Это давление (избыточное) покажет манометр (жидкостный или металлический) в конце цикла.

К адиабатному переходу 1-2 применим уравнение Пуассона, записав его так:

р₁V₁^= р₂V₂^р₁^-1/Т₁^ = р₂^-1/Т₂^(р₀ +p₁)^-1/Т₀^ = р₀^-1/Т₂^. (3)

Перепишем последнее выражение следующим образом:

((р₀ +p₁)/р₀)^-1 = (Т₀/Т₂)^(1 +p₁/р₀)^-1 = (1 + (Т₀ – Т₂)/Т₂)^. (4)

Остаётся разложить равенство (4) по формуле Ньютона, оставив в разложении лишь два первых члена ввиду малости разностей p₁ и Т₀ – Т₂:

1 + (– 1)p₁/р₀ = 1 +(Т₀ – Т₂)/Т₂. (5)

Из (5) с учётом (2) следует, что

 = p₁/(p₁–p₃). (6)

Порядок выполнения работы.