Глава 3. Предварительная обработка сигналов

3.1. Оценивание статистических характеристик

для стационарных и нестационарных сигналов

3.1.1. Определение статистических характеристик сигналов

Дадим определения для основных статистических характеристик случайных сигналов, используемых в практике ЦОС. Пусть случайный сигнал обозначается как и его значения рассмат­рива­ются для некоторого момента времениТогдабудет пред­ставлять собой случайную величину. Для случайной величиныможно опреде­лить функцию одномерного закона распределения вероятностейкак вероятность выполнения неравен­ства

Функции являются монотонно неубывающими; еслито должно выполняться соотношениеИз физических соображений, очевидно, справедливы равенстваиВероятность выполнения неравенстванаходится с помощью функции

Общий вид функции одномерного закона распределения вероятностей для некоторого момента временипредставлен на рис. 3.1.1а.

Если функция дифференцируема пото вводится функция одномерной плотности распределения вероятностей

Вероятность выполнения неравенства находится с помощью интегрирования функции

.

Рис. 3.1.1а. Функция закона распределения случайной величины

Рис. 3.1.1б. Функция плотности распределения вероятностей

случайной величины

Для функции должно выполняться вполне естественное равенство

Общий вид функции плотности распределения вероятностей представлен на рис. 3.1.1б.

Функция двумерного закона распределения вероятностей определяется как вероятность одновременного выполнения двух неравен­ств

В том случае, если функция дифференцируема пото вводится функция двумерной плотности распределения вероятностейна основе частных производных

Функция n-мерного закона распределения вероятностей для случайного сигнала определяется на основе обобщения одномерного и двумерного законов и вычисляется как вероятность одновременного выполнения системы из неравен­ств для моментов времени:

.

Рассмотрим моментные характеристики первого порядка для одномерных функций плотности распределения вероятностей случайного сигнала. Математическим ожиданием и дисперсией случайного сигнала называются неслучайные функциикоторые при каждом значении времениравны математическому ожиданию и дисперсии случайной величины

Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного сигнала называется функциязначения которой для моментов времениравны корреляции для центрированных случайных величинФункцияявляется неслучайной и определяется на основе функции двумерной плотности распределения вероятностей:

Очевидно, в соответствии с определением, корреляционная функция не изменится, если к рассматриваемому случайному сигналу добавить произвольную детерминированную функцию. Если берутся два случайных сигнала то для них определяется взаимная корреля­ционная функция, которая принимает вид

Введённые моментные характеристики имеют вполне наглядный физический смысл: определяет функцию времени для среднего значения случайного сигнала, представляет собой функцию времени для среднеквадратич­ного отклоне­ния случайного сигнала от среднего значения. Функция двух временных переменных определяет усреднён­ное произве­дение центрирован­ных значений сигнала для разнесён­ных моментов времени

3.1.2. Оценивание статистических характеристик сигналов

на множестве реализаций

Рассмотрим получение для случайных сигналов оценок функций плотностей распределения вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций. Пусть – реализации случайного сигнала M – число реализа­ций сигна­ла. Будем полагать, что для некоторого момента имеютсяM значений наблюде­ний

Для вычисления оценки функции одномерной плотности распределения вероятностей в виде гистограммы найдём макси­мальное и мини­маль­ноезначения наблюде­ния сигнала для Разобьём интервал наинтерва­лов выбран­ны­ми точками

Опреде­лим индика­тор­ную функ­цию: Для интервала,подсчитаемчисло выполнений неравенства:

Оценка плотности веро­ятности случайного сигнала для момента времени на интервале с номеромs вычисляется в виде кусочно-постоян­ной функции как отношение

Для всего интервала оценка функции плотности распределения вероятностей представится системой кусочно-постоянных функций

На рис. 3.1.2 схематически изображена кусочно-постоянная функция оценки одномерной плотности распределения вероятностей, полученная в форме гистограммы.

Рис. 3.1.2. Функция оценки одномерной плотности

распределения вероятностей

Оценки моментных характеристик случайных сигналов для времени на множестве реализаций вычисляются по следую­щим формулам:

3.1.3. Стационарные сигналы, оценивание статистических

характеристик для стационарных сигналов

Стационарность случайных cигналов подразумевает неизмен­ность их статистических характеристик во времени.

Случайный сигнал называется стационарным в узком смысле, если его n-мерные функции закона распределения вероятностей для группы переменных сдвинутых на время, совпадают и, таким образом, не зависят от времени сдвига

Случайный сигнал является стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени – а его корреляционная (ковариаци­он­ная) функция зависит от разности аргументов –

Стационарный сигнал является эргодическим, если нахожде­ние его статистических характеристик может быть осуществлено усреднением по одной реализации с помощью интегриро­вания на конечном временном интервале длительностьюс последу­ющим предельным переходом:

При дискретизации единственной реализа­ции случай­ного стационарного эргодического сигнала N – число наблюдений сигнала, возмож­на запись оценок математического ожидания и дисперсии в следующем виде:

Оценка корреляционной функции представится как функция дискретного аргумен­та m, :

3.1.4. Нестационарные сигналы, оценивание локальных

статистических характеристик для нестационарных сигналов

К нестационарным сигналам относятся все случайные сигналы, не удовлетворяющие сформулированным ранее условиям стационар­нос­ти. Параметры или статисти­ческие характеристики нестацио­нарных сигналов зависят от времени и в общем случае могут быть установлены усредне­ни­ем на множестве реализаций. Однако во многих инженер­ных приложениях для анализа сигналов на стацио­нарность, как правило, не бывает достаточ­ного количес­тва реализаций (чаще всего в распоряже­нии бывает только одна реализация), и это обстоятельство затрудня­ет проведение статистического оценива­ния.

Один из подходов к исследованию статистических характе­ристик нестацио­нарных сигналов состоит в реализации разбиения основного временного интервала наблюдения сигнала на некоторое количество локаль­ных (малых) временных интерва­лов, на которых рассматри­ваемый нестационарный сигнал допустимо считать квазиста­ционарным (почти стационарным), и проведе­ни­я соответствующе­го статистического анализа на образован­ной последова­тельнос­ти локаль­ных интерва­лов, с последу­ю­щим объеди­нением набора локаль­ных оценок для получе­ния нестационарных статистических характеристик сигнала в целом. На локаль­ных интерва­лах более удобно осуществлять определе­ние статис­ти­ческих характе­ристик, которые в этом случае являются локаль­ны­ми и оцениваются на основе построе­ния упрощён­ных локаль­ных моделей сигналов.

Пусть наблюдается в общем случае нестаци­онарный случайный сигнал – общее число наблюде­ний. Ставится задача получе­ния функций оценок математи­ческих ожида­ний и дисперсий для нестационарно­го сигнала по одной реализа­ции. Общий интервал времени наблюде­ния разбивается налокаль­ных интерва­лов,j – номер локаль­ного интерва­ла, черезобозначаются номера точек, где происхо­дит стыковка локальных интерва­лов. К локально­му интерва­лу с номеромj принадлежат точки с номерами, которые удовлетво­ряют неравен­ствам:

В пределах выделен­ных локаль­ных интерва­лов будем считать, что случайные сигналы являются квазиста­цио­нарными. Тогда последо­ва­тель­ность для локаль­ных оценок математичес­ких ожиданий и дисперсий исследуемого сигнала на локаль­ных интервалах вычис­ляется следую­щими суммами:

Оценки указанных статистических характеристик нестационар­ного сигнала на основном временном интервале будут пред­ставляться в виде кусочно­-постоян­ных функций.