2.1.6. Амплитудный спектр сигнала с синусоидальной

частотной модуляцией

2.2. Комплексные сигналы. Энергетические характеристики сигналов

Комплексные сигналы являются естественным обобщением действи­тельных сигналов и записываются в виде

,

где – действительная и мнимая составляющие комплексного сигналакоторые определены на бесконечном интервалеили конечном интервалевремени. Комплексные сигналы могут быть пред­ставлены в показательной форме

В качестве примера комплексного сигнала приведём выражение для комплексной синусоиды с параметрами A, 

.

Для любого момента времени t значения комплексных сигналов представляют собой комплексные числа, над которыми можно производить все операции комплексной арифметики.

Использование комплексных сигналов доставляет определённые математические удобства; в том числе основные соотношения ЦОС записываются в комплексной форме с целью обеспечения компактности формул. Многие распространённые программы вычислений, используемые для задач ЦОС, работают с комплексными входными и выходными данными.

Энергия E комплексного сигнала по определению, записывает­ся в виде интеграла

где звёздочка наверху является знаком комплексного сопряжения. Данное определение энергии сформулировано в соответствии с аналогией из электротехники – величиной энергии, выделяемой на активном сопротивленииR при действии комплексного тока

Очевидно, что сигналы которые фигурируют в ЦОС, должны обладать конечной энергией

Однако необходимо иметь в виду, что не все сигналы, фигурирующие в ЦОС, обладают конечной энергией; например, у периодических сигналов, очевидно, энергия бесконечна.

Средняя мощность сигналаопределяется энергией, отнесённой к заданному интерва­лу времени

Мгновенная мощность сигнала в момент времениопределяется как предел

Средняя мощность действительного гармонического сигнала, определённого в разд. 2.1

на интервале времени, который соответствует периоду не зависит от начального момента времениt, частоты и начальной фазы, поскольку на таком интервале времени укладывается в точности одно колебание рассматриваемого гармонического сигнала. В самом деле, величина средней мощности гармонического сигнала может быть вычислена с помощью следующего интеграла

Средняя мощность действи­тельного полигар­монического сигнала

на отрезке времени должна представиться в виде интеграла

который вычисляется достаточно сложным образом для произвольных значений t, и частотРассмотрим частный случай, когда частоты сигнала являются упорядоченнымиикратны наименьшей частотеПоследнее означает, что существуют целые числаикоторые обеспечивают равенстваявляющееся условием кратности для частот. Рассмотрим интервал интегрированияравный наибольшему периоду для частотсоставляющих полигармонического сигнала. Кратность указанных частот означает, что все составляющие укладываются в точности целое число раз на времении выполняются следующие равенства

Благодаря указанным равенствам для полигармонических составляющих следует, что средняя мощ­ность P такого полигармонического сигнала равняется сумме средних мощностей гармонических составляю­щих

Для полигармоничес­ких сигналов с кратными частотами возмож­но нагляд­ное пред­став­ление дискретного спектра мощнос­ти сигнала в виде набора дискретных значений отдельных мощнос­тей соответ­ствую­щих частотам состав­ляющихгде(рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Дискретный спектр мощности