2.6. Z-Преобразование дискретных последовательностей

Положим, что сформирована комплексная бесконечная последовательность иz – некоторое комплексное число. Обозначим через сумму

(2.6.1)

По определению, выражение естьz-преобразование последовательности при условии существовании суммы (2.6.1).

Рассмотрим некоторые простейшие примеры вычисления z‑преобразований. Для единичной последовательности вида z-преобразование имеет следующий вид:

Для комплексной экспоненциальной последовательности представится в виде

Поскольку (2.6.1) является степенным рядом переменной то целесообразно проанализировать вопрос о сходимости этого ряда. Область сходимости ряда (2.6.1) определяется известным условием абсолютной сходимости

(2.6.2)

Для того, чтобы найти область сходимости для ряда (2.6.1), заменим модуль произведения в (2.6.2) произведением модулей

Вынесем нулевое слагаемое за знак суммы:

Представим сумму в виде

Обозначим верхний предел последовательности

Поскольку значение любого отсчёта конечно, то условие (2.6.2) выполняется, если

что возможно только при На комплексной плоскости область сходимости располагается вне круга радиусомR.

Для дискретной последовательности область сходимостиопределяется из условия сходимости

которое выполняется при откуда получаем область сходимостии радиус сходимости

На основе определения (2.6.1) z-преобразованию последовательности в формеможет быть поставлена в соответствие частотная функция с помощью подстановки

(2.6.3)

Формулу (2.6.3) можно интерпретировать как аналог преобразования Фурье для дискретного случая.

Очевидно, последовательность есть обратноеz‑пре­обра­зо­вание для которое может быть найдено из (2.6.1) с использованием теоремы Коши. Для этого сначала умножим обе части равенства (2.6.1) наи затем произведём интегрирование по замкнутому контуру обеих частей равенства. Если контур интегрирования лежит внутри области сходимости бесконечного ряда (2.6.1), то операцию суммирования и интегрирования можно поменять местами:

(2.6.4)

Согласно теореме Коши, в случае если контур интегрирования охватывает начало координат, то имеет место равенство

(2.6.5)

для всех за исключениемДляинтеграл (2.6.5) равенПрименим теорему Коши к выражению (2.6.4), получаем теорему об обратномz-преобразовании

(2.6.6)

Рассмотрим степенную последовательность Тогда видно, что

Для того, чтобы убедиться в том, что есть обратноеz‑пре­образование от применим (2.6.6) и выполним интегрирование вдоль окружности радиуса большего, чем. Запишем

(2.6.7)

Интеграл (2.6.7) вычисляется с помощью применения теоремы о вычетах, на основании которой если контур интегрирования охватывает полюс приТаким образом, подходящим контуром оказывается окружность радиусом

Рассмотрим z-преобразование от дискретной свёртки, представленной в виде

(2.6.8)

Пусть – z-преобразование от – z-преобразо­вание от – z-преобразование от Рассмотрим произведениеz-преобразований:

из которого при условии (2.6.8) следует, что

Рассмотрим z-преобразование от произведения двух последовательностей, которое представляется формулой

(2.6.9)

Для – z-преобразования от и для – z-пре­обра­зо­вания от запишем выражения для обратныхz-преобразо­ваний:

Выберем контур интегрирования в виде единичной окружности. Будем иметь

Поменяв местами операции интегрирования и суммирования и рассматривая результирующее суммирование как z-преобразование, получим

Последнее равенство представляет собой теорему о комплексной свёртке. Это действительно свёртка, в чём можно убедиться, если использовать условие, что контур интегрирования представляет собой единичную окружность. Сделаем подстановки и в результате получаем выражение в форме свёртки

(2.6.10)

Если сделать замены в (2.6.10), то получим свёртки для частотных функций

(2.6.11)

Список вопросов для самопроверки к гл. 2

1. Какие основные характеристики гармонических и полигармонических сигналов приведены в разд. 2.1.1?

2. Какие основные характеристики колебательных сигналов с модулированными амплитудными и фазовыми функциями указаны в разд. 2.1.2?

3. Какие основные характеристики колебательных сигналов с синусоидальной амплитудной и фазовой модуляцией приведены в разд. 2.1.2?

4. В чём состоит определение для полной энергии сигналов?

5. В чём отличие определений для средней и мгновенной мощности сигналов?

6. В чём состоят особенности вычисления средней мощности для полигармонических сигналов?

7. Какие варианты моделей наблюдений сигналов для задач ЦОС приведены в разд 2.3?

8. Какие варианты моделей сигналов приведены в разд. 2.3?

9. В чём состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи оценивания параметров сигналов на основе аппроксимации?

10. В чём состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи аппроксимации наблюдений для линейных моделей в действительном случае?

11. В чём состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи аппроксимации наблюдений для линейных моделей в комплексном случае?

12. В чём состоит формулировка основной постановки и описание этапов задачи построения моделей сигналов на основе действительного ряда Фурье?

13. В чём состоит формулировака основной постановки и описание этапов задачи построения моделей сигналов на основе комплексного ряда Фурье?

14. В чём состоит формулировка основной постановки и описание этапов вывода преобразования Фурье?

15. В чём состоит физический смысл преобразования Фурье?

16. Каковы основные свойства преобразования Фурье?

Список задач к гл. 2

1. Для приведенных ниже моделей указать параметры сигналов, входящие в состав вектора параметров; записать выражения для базисных функций; записать вид матрицы плана сигнала X; записать вид матрицы сформировать вектор наблюденийY; сформировать вектор коэффициентов Фурье сформировать линейную системудля вычисления оптимальных линейных коэффициентов модели. Модели:

1) ,

2) ,

3) – дискретные базисные или дискретные базисные ортогональные функции,

4)

2. Для приведенных ниже моделей указать параметры сигналов, входящие в состав вектора параметров; указать линейные и нелинейные параметры; фиксировать нелинейные параметры; записать выражения для базисных функций; записать вид матрицы плана сигнала X; записать вид матрицы сформировать вектор на­блюденийY; сформировать вектор коэффициентов Фурье сформировать линейную системудля вычисления оптимальных линейных коэффициентов модели; записать выражение для остаточной суммы; сформировать процедуру подпоиска по нелинейным параметрам. Модели:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Вычислить параметры моделей 1–5 для непрерывных сигналов на основе разложения в действительный ряд Фурье

т.е. найти для:

1)

2)

3)

4)

5)