2.3. Наблюдения и модели сигналов

Из разд. 1.1 (см. рис. 1.1.1) следует, что исходный сигнал определяется фазовыми координатами объекта управления и зависит от параметрической функцииВ параметрической функциисодержится вся полезная инфор­мация об объекте. Обычно должно выполняться соотношение, где– заданное множество, к которому принадлежат параметрические функции. Будем полагать, что наблюдаемый сигналсвязан с исходным сигналоми случайным помеховым возмущениемчерезмодельную функцию наблюдения известного вида

(2.3.1)

В частном случае модельная функция наблюде­ния может быть аддитив­ной и представится выражением

(2.3.2)

где – случайная погрешность наблюдения с заданными статистическими характеристиками. Выражения (2.3.1), (2.3.2) являются моделями, по которым формируются наблюдения Для задач ЦОС необходимо располагать видом функцийи статистическими характеристикамичтобы по наблюдениямосуществить определение оценок фазовых координати параметрических функций

Наблюдения для задач цифровой обработки сигналов, как правило, задаются на конечном интервале времени в виде набора дискрет­ных данных N – число наблюдений. Чаще всего наблюдения осуществляются через равные промежут­ки времени, T – интервал дискрети­зации; однако вполне возможны ситуа­ции, когда наблюдения произво­дятся неравномерно во времени. Наблю­де­ния, в общем случае, могут быть комплексны­ми

Математические модели сигналов должны соответствовать физическим сигналам, для описания которых они предназначены. Выбор моделей зависит от объёма и характера априорной информации о физических сигналах. Будем рассматривать модели сигналов двух типов – функциональные и параметрические.

Функциональная модель сигнала представляется соотношением вида

(2.3.3)

Для модели (2.3.3) должна быть задана функция известного вида в которую осуществляется подстановка функций

Параметрическая модель сигнала определяется функцией известного вида определённой на заданном конеч­ном временном интервале в точкахи зависящей от вектора параметровразмерностислужит в качестве модели сигнала. Будем считать, что векторв общем случае принадлежит некоторому ограничивающему множествуиногдаВыбор вида функции модели производится на основе априорных сведений о природе сигнала и объекта управления. Вектор параметров моделиназначается таким образом, чтобы модельна заданном временном интервале описывала с заданной точностью исходный сигналОпределение векторадля моделиреализуется на основе решения задачи аппрок­си­мации наблюде­ний(прибли­жения наблюдений).

Рассмотрим некоторые примеры моделей, которые могут использоваться для задач цифровой обработки сигналов.

Узкополосному сигналу на малом интервале времени может быть поставлена в соответствие модель в виде кусочно-синусоидальной функции

(2.3.4)

где – вектор параметров модели, имеющий размер­ность (3,1). Амплитудыa, b входят в выражение для модели линейно, частота  нелинейно. Данная модельная функция имеет постоянную амплитуду и частоту. Разумеется, модельная функция (2.3.4) не в полной мере соответствует исходному узкополосному сигналу с переменной амплитудой и частотой; однако несоответствие может быть тем меньше, чем меньше рассматриваемый временной интервал. В случае, если требуется реализовать построение модели узкополосного сигнала на большом интервале времени, то в качестве такой модели может быть использована последовательность кусочно-синусоидальных модельных функций вида (2.3.4).

Возможно уточнение модели для узкополосного сигнала на малом интервале времени, учитывающее в сигнале частотную модуляцию. Примем модель в виде кусочно-синусоидальной функции с линейной частотной модуляцией

где амплитудные параметрыa, b входят в выражение для модели линейно, частота  и скорость частоты входят нелинейно.

Дальнейшее уточнение модели для узкополосного сигнала может быть реализовано на основе одновременного учёта амплитудной и частотной модуляции. В этом случае примем модель в виде кусочно-синусоидальной функции с линейной частотной и амплитудной модуляцией

где вектор параметров амплитудные параметрывходят в выражение для модели линейно; частота , скорость частоты и начальная фаза входят нелинейно.

Иногда узкополосный сигнал может реализовываться в аддитивной смеси с низкочастотным трендом, природа которого бывает самой различной. В этом случае модель сигнала с трендом на малом интервале времени для целесообразно принять в виде

где параметры входят в выражение для модели линейно; частота  нелинейно. Низкочастотный аддитивный тренд на малом временном интервале представится в виде модельной кусочно-линейной функции

Для полигармо­ническо­го сигнала, состоящего из суммы разночас­тотных узкополосных сигналов, на малом времен­ном интерва­ле для возможно использование следую­щей модели

В этом случае вектор параметров размерности. Амплитудывходят в модель линейно, частотынелинейно.

Следует отметить важный для дальнейших рассмотрений класс моделей сигналов, которые линейно зависят от вектора парамет­ров

(2.3.5)

Для линейных по параметрам моделей должны быть введены базисные функции известного вида, зависящие от дискретных аргументов. Модель (2.3.5) может быть представлена в виде скалярного произведения

(2.3.6)

где – векторная базисная функция.

Достаточно часто встречаются модели, линейные по части параметров

(2.3.7)

Параметры модели (2.3.7) объединяются в блочный вектор где векторразмерностивходит в модель линейно, векторразмерностивходит в модель нелинейно.

Отметим особо подкласс линейных моделей, для которых дискрет­ные базисные функции являются ортогональными. По определению, функции ,составляют ортогональный базис для точекесли выполняется условие

(2.3.8)