3.2. Оценивание и устранение трендов

для нестационарных сигналов

3.2.1. Определение трендовых функций для нестационарных сигналов

В ряде случаев нестационарные сигналы могут обладать особен­ностями, которые значительно упрощают задачи цифровой обработки. Вполне возмож­ны ситуации, когда исследуемые случайные нестационар­ные сигналы имеют специальную структу­ру, позволяющую выде­лить в них детермини­рованные низкочастотные трендовые функции.

Положим, что рассматриваемые нестационарные сигналы описываются функциональными моделями, которые специальным образом учитывают их нестационарный характер. Пусть является заданным исходный стационарный широкополосный сигнал с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией и составляющие модулирующие функцииНа их основе определяются нестационарные сигналыс модулирующими функциями, которые действуют мультипликативно, аддитивно или изменяют временной масштаб:

(3.2.1)

Возможны определения нестационарных сигналов вида с действием комбинаций модулирующих функций, например, в виде

(3.2.2)

Формулы для функциональных моделей сигналов (3.2.1), (3.2.2) допускают различные варианты обобщений; так, в ряде случаев нестационарные сигналы могут состоять из суммы нескольких модулированных несущих сигналов или быть многомерными.

Модулирующие функции обусловливают нестационарный характер сигналовиКак правило, функцииявляются низкочастотными; по отношению к этим функциям сигналимеет существенно более высокие частоты. Условие низкочастотности для функцийпочти эквивалентно введению ограничений на их производные; поэтому в ряде случаев используется термин «медленные» модулирующие функции. Иногда модулирующие функцииназываютсятрендовыми.

3.2.2. Алгоритмы локального оценивания трендовых функций,

устранение трендовых функций

В практике ЦОС существует целое множество задач, в которых требуется произвести оценивание указанных трендовых функций для нестационарных сигналов или осуществить их устранение (центрирование и нормализацию).

Перейдём от непрерывных функций в (3.2.1), (3.2.2) к дискретным Будем рассматривать наблюдения нестационарных сигналов, описываемых функциональными моделями типа (3.2.1), (3.2.2),Осуществим разбиение временного интервала наблюдения наm равных локальных интервалов по N точек, допустим, что К локальному интервалу с номеромj, принадлежат точки с номерами, которые удовлетворяют неравенствам . Пусть модельные наблюдения формируются с помощью соотношения

(3.2.3)

где – модельные помехи, являющиеся случайными независимыми нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с мультипликативным и аддитивным трендами вида

. (3.2.4)

Будем полагать, что трендовые функции , являющиеся медленными, могут быть заменены на локальных интервалах на кусочно-постоянные. Примем, что мультипликативная трендовая функция всегда положительнав этом случае оценки трендовых функцийна локальных интервалах совпадают с оценками математических ожиданий и дисперсий:

(3.2.5)

для

для

Оценки трендовых функций представятся в виде суммы оценок на локальных интервалах

Проиллюстрируем предложенный алгоритм вычислениями на математических моделях. Сигнал сформируем с использованием датчика нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; возьмёмМодели для трендовых функций примем в виде

где параметры этих функций принимают следующие значения: Гц,На рис. 3.2.1 изображена отдельная реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала (3.2.3), (3.2.4) с

Рис. 3.2.1. Реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала

Рис. 3.2.2а и 3.2.2б содержат изображения оценок трендов в виде кусочно-постоянных функций – линии 1, полученные с помощью (3.2.5). Для вычисления оценок число локальных интервалов было принято равным Одновременно на этих же рисунках отмечены пунктирными линиями2 модельные трендовые функции.

Рис. 3.2.2а. Функция оценки мультипликативного тренда

Рис. 3.2.2б. Функция оценки аддитивного тренда

Устранение трендов в нестационарных сигналах реализуется на основе применения операций центрирования и нормализации:

Рассмотрим нестационарный случайный сигнал с медленным аддитивным трендом вида

(3.2.6)

Введём локальные интервалы. Будем полагать, что трендовая функция может быть с достаточной точностью заменена на локальных интервалах последовательностью локальных модельных кусочно-линейных функций вида

Для наблюдений из (3.2.3), в соответствии с (3.2.6), сформируем локальные функционалы:

Отыскание локальных оценок аддитивной трендовой функции сводится к задаче минимизации локальных функционалов:

для

для

Минимизация квадратичных функционалов реализуется по схеме, которая была предложена в разд. 2.4. С этой целью были сформированы соответствующие локальные базисные функции , на основе которых произведены вычисления весовых коэффициентов

Введём локальные векторы сигналов размерностисоответствующие локальному интервалу с номеромj

С использованием локальных векторов сигналов и локальных базисных функций вычислим локальные коэффициенты Фурье

с помощью которых находим оптимальные параметры локальных моделей для аддитивной трендовой функции

Оценка трендовой функции может быть представлена в виде суммы модельных локальных оценок

Проиллюстрируем результаты с помощью вычислений на математических моделях нестационарных сигналов. Сформируем сигнал по аналогии, возьмёмМодели для трендовых функций примем в виде

где параметры этих функций принимают следующие значения: На рис. 3.2.3 изображена отдельная реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала (3.2.5) с

Рис. 3.2.3. Реализация модельных наблюдений нестационарного сигнала

с аддитивной трендовой функцией

На рис. 3.2.4 изображена оценка трендовой функции в виде кусочно-линейных функций линии 1. Для вычисления оценки трендовой функции число локальных интервалов принято равным Одновременно на этом же рисунке отмечена пунктирной линией2 модельная трендовая функция.

Рис. 3.2.4. Оценка аддитивной трендовой функции