3.4. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова

3.4.1. Дискретизация во времени и задача восстановления

непрерывных сигналов

Положим, что задан исходный непрерыв­ный сигнал который является в общем случае комплек­сным и определённым в бесконечных временных пределах. Для данного сигнала производится дискретизация во времени, гдеT – интервал дискретиза­ции; – дискретные значения непре­рыв­ного сигнала; – частота дискретиза­ции, Гц; – круговая частота дискретизации. При фиксированном временном интервалеT, дискретизация осуществляется равномерно для моментов времени Дискретизация может производиться неравномерно для произвольных моментов времении её результатом служит соответствующая последовательность дискретных значений непрерывного сигналаЗдесь будем рассматривать только равномерную дискретизацию во времени; пренебрежём погрешностями, возникающими из-за дискретизации по уровню.

Задача восстановления непрерывного сигнала по его дискретным значениямфактически представляет собой задачу интерполяции. Восстановление сигнала здесь состоит в том, что по бесконечной последовательности дискретных значе­ний сигналанеобходи­мо найти значения непрерывного сигнала для промежуточных моментов времени

Пусть исходный сигнал принадлежит к некоторому заданному классу функ­ций; допустим, что можно подобрать, учитывая свойства этого заданного класса функций, соответ­ствую­щие базис­ные функцииСформиру­ем функциюпредставляющую собой конечную взвешенную сумму базисных функцийс весовыми коэффициентамиВ качестве восстановлен­ного сигналадляпримем предел

Задача восстановления может считаться успешно решённой, если будет выполнено равенство

(3.4.1)

Возможность восстановления сигнала по его дискретизованным значениям зависит от частотных свойств сигнала и выбранной частоты дискретизации. Высокая частота дискретизации, очевидно, позволит осуществить восстановление сигнала; для низкой частоты дискретизации восстановление в ряде случаев проблематично.

3.4.2. Появление «кажущихся» частот

Неправильно выбранная частота дискретизации, которая не согласована с частотными свойствами сигналов, приводит к появлению так называемых «кажущихся» частотных составляющих. Разберём пример, в котором дискрети­за­ции подвергает­ся непрерывный синусоидальный сигнал вида с периодомНа рис. 3.4.1 исходный сигнализобра­жен сплош­ной линией.

Рис. 3.4.1. Появление «кажущихся» частотных составляющих

Подвергнем исходный непрерывный сигнал дискретизации с частотой– четыре точки дискретизации на один периодинтервал дискретизацииДискретизованные значения исходного сигнала отмечены чёрными жирными точками для синусоидального сигнала(см. рис. 3.4.1). Уменьшим частоту дискре­тизации, примем её равнойпериод дискретизацииэти точки дискрети­зации на графике сигналаотмече­ны кругами на пунктирной линии. В первом случае частота дискрети­зации больше двойной частоты сигнала, дискретизован­ный сигнал воспринимается как сигнал с периодоми его «кажущая­ся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Во втором случае частота дискретизации меньше двойной частоты сигнала, дискретизованный сигнал восприни­мается как сигнал с перио­доми его кажущаяся частота меньше частоты исходного сигналаВследствие неудачного выбора частоты дискретизации имеет место очень сильное искажение информа­ции, «кажущаяся» частота сигнала меньше частоты исходного сигнала, что и видно из рис. 3.4.1.

Рассмотрим более детально существо проблемы возникнове­ния «кажущихся» частотных составляющих для дискретной синусоидальной функции Введём частоту Найквиста, равную половине частоты дискретиза­ции,Всегда можно представитьгде– целое,Учитывая равенствозапишем:

Разберем первый пример – частота Найквиста больше частоты сигнала – тогдаи справед­ливо: ветствует значению -чай -частота 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Следует, что и – «кажущаяся» частота совпадает с частотой исходного сигнала. Разберём второй пример – частота Найквиста меньше частоты сигнала – в частном случае положимp четным, при этомиОказы­вается, что во втором примере «кажущаяся» частота меньше частоты исходно­го сигнала. Данные примеры позволяют сделать заключение, что для совпадения частоты сигнала и «кажущейся» частоты, частота Найквиста должна быть больше частоты дискретизуемого сигнала.

Вследствие неправильного выбора частоты дискрети­зации «кажущиеся» частоты приводят к эффекту маскировки (эффекту наложения частот). Рассмотрим двухчастотный сигнал Допустим, что выбрана частота дискрети­зации таким образом, что выполни­лись условияРасположение частоти частоты Найквистапроиллюстрировано на амплитудном спектре, изображённом на рис. 3.4.2.

Рис. 3.4.2. Амлитудный спектр двухчастотного сигнала

и эффект маскировки

При такой частоте дискретизации, которая определяется положением частоты , первая синусоида восприни­мается с «кажущей­ся» частотой, вторая синусоида воспри­нимается с «кажу­щейся» частотойВ данном дискретизованном двухчастотном сигнале появля­ется ложный сигнал с низкой частотой – смещённый в низкочастотную область, который во многих случаях может «маскиро­вать» исходный сигнал, так как. Дискрети­за­ция с такими параметрами может катастро­фически исказить исходный сигнал – спектр высокочастотного сигнала перемеща­ет­ся в низкочастотную область, и наложиться на спектр основного сигнала.

3.4.3. Теорема Котельникова

Установим возможность точного восстановления непрерывных сигналов по их дискретным значениям. В рамках теоремы Котельникова рассматриваются сигналы, принадлежащие к классу сигналов с финит­ным преобразовани­ем Фурье. Сигнал имеет финит­ное преобра­зование Фурье, обозначаемое какесли: 1)для всех частот2)тождественно не равно нулю для частотгде– верхнее значение частоты сигнала – полоса сигнала. Теорема Котельникова утверждает, что для сигналов с финитным преобразовани­ем Фурье возмож­но точное восста­новление сигнала по дискрет­ным наблюде­ни­ям, если круговая частота дискретиза­цииудовлетво­ряет строгому неравен­ствугде– полоса сигнала, Гц,

Представим исходный сигнал на основе обратного преобра­зо­вания Фурье, если– финит­ное преобра­зова­ние Фурье:

Возьмём разложим функциюв комплексный ряд Фурье на данном интервале

(3.4.2)

Учитывая введённое соотношение между величинами изапишем

(3.4.3)

Справед­ливо равен­ство, вытекающее из (3.4.2), (3.4.3), связыва­ющее дискрет­ные значе­ния сигнала и коэффициен­ты фурье-разложе­ния

Подставим коэффициенты фурье-разложения в выражение дляиз (3.4.2):

(3.4.4)

Подставим выражение (3.4.4) в ( 3.4.3)

Переменим порядок интегрирования и суммирования

Сделаем замену при этом частота дискретизации окажется равнойи переобозначим индексы суммирования

(3.4.5)

Интеграл в (3.4.5) легко вычислить

В результате сигнал на основании (3.4.5) может быть представлен в виде разложения по базисным функциямс весовыми коэффициентами:

Таким образом, в соответствии с теоремой Котельникова сигнал с финитным преобразованием Фурье с полосой при выборе частоты дискретизациидопускает точное восстановление – выполнение равенства (3.4.1).

Теорема Котельникова имеет чрезвычайно большое значение для практики задач ЦОС.

3.4.4. Противомаскировочные фильтры

Устранение эффекта маскировки (наложения) может быть реализовано двумя способами.

Во-первых, устранение может быть осуществлено с помощью назначения высокой частоты дискретиза­ции, которую необходимо выбрать таким образом, чтобы её величина была бы более чем в два раза больше, чем значение полосы сигнала.

Во-вторых, если по некоторым техничес­ким причинам нельзя назначить высокую частоту дискретиза­ции, то исходный непрерывный сигнал, прежде чем подвергнуть дискрети­зации, следует пропустить через аналого­вый низкочас­тотный фильтр с частотой среза и с АЧХ, изображенной на рис. 1.3.6. В отфиль­трован­ном сигнале не должны содержать­ся составля­ющие с частотой выше, чем указанная частота срезаНизкочас­тотный фильтр должен отсечь неинфор­мативные (помеховые) высоко­час­тотные состав­ляющие сигнала. Для частоты дискретизации подобным образом отфильтрованного сигнала необходи­мо выполнение неравен­ства

Указанная фильтра­ция называется противомаскиро­вочной, а используемые аналоговые фильтры – противомаскировочными.

Список вопросов для самопроверки к гл. 3

1. Какое определение для функций законов распределения для случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

2. Какое определение для функций плотностей вероятностей для случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

3. Какое определение для моментных характеристик случайных сигналов приведено в разд. 3.1?

4. В чём состоит алгоритм вычисления оценок плотностей вероятностей и моментных характеристик на множестве реализаций случайных сигналов?

5. Какие варианты определений для стационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС?

6. Какое определение для эргодических случайных сигналов используется в задачах ЦОС?

7. В чём состоит алгоритм вычисления оценок моментных характеристик для стационарных эргодических случайных сигналов в дискретном случае?

8. Какие определения для нестационарных случайных сигналов используются в задачах ЦОС?

9. Какие определения для локальных интервалов используются в задачах ЦОС?

10. В чём состоит алгоритм вычисления локальных оценок статистических характеристик нестационарных случайных сигналов?

11. В чём состоят причины возникновения аддитивных и мультипликативных трендов в сигналах?

12. В чём состоит методика устранения трендов для нестационарных случайных сигналов?

13. В чём состоят причины возникновения аномальных значений в наблюдениях случайных сигналов?

14. В чём состоит методика устранения аномальных значений в наблюдениях сигналов?

15. Какие варианты и характеристики процедур дискретизации непрерывных сигналов приведены в разд. 3.4?

16. В чём состоит формулировка и описание основных этапов вывода теоремы Котельникова?

17. В чём состоят причины возникновения «кажущихся частот» в дискретизованных сигналах?

18. В чём состоит методика устранения «кажущихся частот» в дискретизованных сигналах?

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Физматгиз. 1963. 656 с.

115