2.4. Оценивание параметров моделей сигналов

2.4.1. Оценивание параметров моделей как задача аппроксимации

Рассмотрим возможную постановку задачи оценивания параметрических модельных функций сигналов. Реализуем подход, связанный с оптимальной аппроксимацией наблюдений сигналов.

Допустим, что имеется возможность замены параметрической функции сигнала нана специальную подобранную модельную параметрическую функцию сигнала в виде функции известного видазависящей от конечно-мерного вектора параметровБудем считать, что функциипринадлежат некоторому множествукоторое, в свою очередь, является подмножеством множества

Условие принадлежности будем считать эквивалентным введению ограничивающего множества для вектора параметровгде– заданное подмножество множества– множество всех возможных векторов размерности m. Примем, что множества иявляются замкнутыми.

Из-за того, что вектор с является конечно-мерным, в общем случае оказывается невозможным осуществить замену нас бесконечно малой погрешностью. Однако всегда можно подобрать такую функциюкоторая с некоторой заданной конечной точностью смогла бы заменить параметрическую функциюПоследнее означает, что для любой функциипринадлежащей ки некоторых малых(не любых малых), должны найтись векторыи, соответственно, функциикоторые обеспечивали бы выполнение неравенств

(2.4.1)

В связи с условием (2.4.1) в качестве параметрической модели сигнала может быть принята функция вида

(2.4.2)

Примем, что функция наблюдения модель сигнала и погрешности наблюденийcвязаны соотношением

Введём функционал являющийся мерой близости наблюденийи модельной функции

Оценка исходной параметрической функции вследствие замкнутостиопределяется на основе решения задачи оптимальной и аппроксимации наблюдений заданной моделью сигнала, сводящейся к применению нелинейного программирования

(2.4.3)

Таким образом, благодаря введению замены функции нас удовлетворением условий (2.4.1), формированием соответствующей модели сигнала(2.4.2) и введению функционалапредложена технология решения задачи получения оценок исходных параметрических функцийна основе нелинейного программирования в задаче (2.4.3).

Поясним особенности выбора модельных параметрических функций на примере для нестационарного колебательного сигналарассматриваемого на некотором ограниченном интервале времени

Амплитудная и фазовая функции служат в качестве параметрических функций для сигналаВекторная параметрическая функциядля сигнала имеет размерность(2, 1).

Положим, из априорных сведений, связанных с физическими особенностями сигнала и объекта, что сигнал имеет почти синусоидальную амплитудную модуляцию и его несущая частота меняется почти линейно во времени. В этом случае параметрической функцииможет быть поставлена в соответствие модельная функцияпараметрической функции– модельная функцияВектордляимеет размерностьС учётом введённых формул дляфункцияпримет следующий вид

В качестве модели сигнала может выступать функция

.

Рассмотрим возможную постановку задачи нахождения решения для задачи (2.4.3) – оценивания параметрических функций сигналов в дискретном случае.

Положим, что все переменные заданы в дискретные моменты времени T – шаг дискретности по времени. Отрезок времени наблюдения определяется условиями: Разберём случай наблюдений, который представляется следующей моделью

Пусть погрешности наблюдений являются некоррелированными нормально распределёнными нормальными числами с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Функционалс учётом заданных свойств погрешностей запишется в виде соотношения

(2.4.4)

Минимизация функционала по вектору параметровприводит к задаче нелинейного программирования. Нахождение оптимального вектора параметровпозволяет построить оптимальную аппроксимационную модельоценку для параметрической модельной функциии на её основе определить оценку параметрической функции сигнала

2.4.2. Оценивание параметров линейных моделей

для действительных сигналов

Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для действительных сигналов. Пусть произведены наблюдения на конечном временном интервале для Представим линейную по параметрам модельную функцию сигнала с использованием (2.3.6)

Сформируем функционал являющийся мерой близости модели и наблюдений, который определяется разностями Вследствие линейности модели представляет собой квадратичную форму от c

=

Введём векторно-матричные переменные:

, ,,

где Y – вектор наблюдений размерности c – вектор параметров модели размерности X – матрица плана сигнала размерности Нетрудно видеть, что разность для наблюдений и модели может быть сформирована в векторном виде

. (2.4.5)

На основе введённых векторов и матриц функционал записывается как скалярное произведение и представляет собой квадратичную форму

(2.4.6)

С учётом того, что имеет место равенство можно записать

Нетрудно проверить, что для квадратичной формы справедливо равенство

Очевидно, минимальное значение этой квадратичной формы достигается при

(2.4.7)

Последнее выражение может быть представлено в виде системы линейных уравнений

Введём обозначения МатрицаD имеет размерность элементы этой матрицы симметричны относительно главной диагонали и определяются как скалярные произведения базисных функций

Элементы вектора размерности– коэффициенты Фурье, вычисляются как взвешенные суммы наблюдений

,

Нахождение оптимального вектора параметров сводится к решению линейной системы уравнений

2.4.3. Оценивание параметров линейных моделей

для комплексных сигналов

Рассмотрим решение задачи оценивания параметров линейных моделей для комплексных сигналов. Введём комплексные наблюдения и комплексную модель сигналаопределяемую комплексным вектором параметрови комплексной базисной функцией Функционал (2.4.6) в этом случае запишется с использованием суммы произведений сопряженных комплексных множителей

(2.4.8)

По аналогии с (2.4.5) введём комплексную разность функции наблюдения и модели Воспользовавшись введёнными векторно-матричными переменными, но в комплексной форме, представим функционал(2.4.8)

С учётом равенства запишем

(2.4.9)

Очевидно, справедливо равенство

Минимальное значение этой квадратичной формы (2.4.9) дости­гается при

(2.4.10)

Оценка из (2.4.10) может быть найдена с помощью решения системы линейных уравнений

(2.4.11)

Коэффициенты матрицы D вычисляются в виде скалярных произведений векторов

, (2.4.12)

Коэффициенты вектора b (коэффициенты Фурье) вычисляются в виде скалярных произведений векторов

, (2.4.13)

Если базисные функции ортогональны, то нахождение параметров модели упрощается. Матрица D будет диагональной с элементами

Оптимальные параметры модели выразятся через коэффициенты Фурье

(2.4.14)